Binomische Formeln Aufgaben
Du suchst Aufgaben zu den binomischen Formeln? Dann bekommst du hier und im Video Übungen mit Lösungen!
Inhaltsübersicht
Binomische Formeln einfach erklärt
Die binomischen Formeln helfen dir, Terme schneller umzuformen. Du kannst sie nutzen, um Rechnungen zu vereinfachen und Rechenwege abzukürzen.
Die drei binomischen Formeln auf einen Blick:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b) (a – b) = a² – b²
Aufgaben zur 1. binomischen Formel
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Aufgabe 1/2: Klammern auflösen 1. (x + 2)² = x² + 4x + 4 2. (a + 5)² = a² + 10a + 25 3. (3m + 4)² = 9m² + 24m + 16 4. (1,5y + 6)² = 2,25y² + 18y + 36 |
Schritt-für-Schritt-Lösung am Beispiel von (x + 2)²:
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Erkenne die binomische Formel:
Die Klammer hat die Form (a + b)²
Das bedeutet: (a + b)² = a² + 2ab + b
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Setze die Werte ein:
Hier ist a = x und b = 2
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Berechne die einzelnen Teile:
x2 = x2
2 ⋅ x ⋅ 2 = 4x
22 = 4
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Zusammenfassen:
Ergebnis: (x + 2)² = x² + 4x + 4
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Aufgabe 2/2: Klammern setzen 1. x² + 8x + 16 = (x + 4)² 2. m² + 12m + 36 = (m + 6)² 3. 9y² + 30y + 25 = (3y + 5)² 4. 4a² + 20a + 25 = (2a + 5)² |
Schritt-für-Schritt-Lösung für x² + 8x + 8:
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Was wurde quadriert, um auf x² zu kommen:
x, denn x ⋅ x ist x²
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Was wurde quadriert, um auf 16 zu kommen?
4, denn 4 ⋅ 4 ist 16
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Ergibt „2 ⋅ x ⋅ 4“ die 8x?
Ja
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Setze die Werte in die binomische Formel:
Ergebnis: (x + 4)²
Aufgaben zur 2. binomischen Formel
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Aufgabe 1/2: Klammern auflösen 1. (x – 3)² = x² – 6x + 9 2. (a – 7)² = a² – 14a + 49 3. (4m – 5)² = 16m² – 40m + 25 4. (2,5y – 8)² = 6,25y² – 40y + 64 |
Schritt-für-Schritt-Lösung am Beispiel von (x – 3)²:
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Erkenne die binomische Formel:
Die Klammer hat die Form (a – b)²
Das bedeutet: (a – b)² = a² – 2ab + b²
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Setze die Werte ein:
Hier ist a = x und b = 3
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Berechne die einzelnen Teile:
x2 = x2
2 ⋅ x ⋅ 3 = 5x
32 = 9
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Zusammenfassen:
Ergebnis: (x – 3)² = x² – 6x + 9
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Aufgabe 2/2: Klammern setzen 1. x² – 10x + 25 = (x – 5)² 2. m² – 16m + 64 = (m – 8)² 3. 25y² – 40y + 16 = (5y – 4)² 4. 9a² – 30a + 25 = (3a – 5)² |
Schritt-für-Schritt-Lösung am Beispiel von x² – 10x + 25:
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Was wurde quadriert, um auf x² zu kommen:
x, denn x ⋅ x ist x²
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Was wurde quadriert, um auf 25 zu kommen?
5, denn 5 ⋅ 5 ist 25
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Ergibt 2 ⋅ x ⋅ 5 die 10x?
Ja
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Setze die Werte in die binomische Formel:
Ergebnis: (x – 5)²
Merke: Die erste und die zweite binomische Formel unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Bei der ersten binomischen Formel wird ausschließlich Plus gerechnet, bei der zweiten gibt es ein Minus im mittleren Term. Wenn du eine der beiden kennst, kannst du die andere daraus ableiten.
Aufgaben zur 3. binomischen Formel
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Aufgabe 1/2: Klammern auflösen 1. (x + 4) · (x – 4) = x² – 16 2. (a + 6) · (a – 6) = a² – 36 3. (5m + 3) · (5m – 3) = 25m² – 9 4. (2,5y + 7) · (2,5y – 7) = 6,25y² – 49 |
Schritt-für-Schritt-Lösung am Beispiel von (x + 4) · (x – 4):
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Erkenne die binomische Formel:
Die Klammern haben die Form (a + b) · (a – b)
Das bedeutet: (a + b) · (a – b) = a² – b²
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Setze die Werte ein:
Hier ist a = x und b = 4
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Berechne die einzelnen Teile:
x ⋅ x = x2
4 ⋅ 4 = 16
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Zusammenfassen:
Ergebnis: (x + 4) · (x – 4) = x² – 16
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Aufgabe 2/2: Klammern setzen 1. x² – 9 = (x + 3) · (x – 3) 2. y² – 49 = (y + 7) · (y – 7) 3. 16m² – 25 = (4m + 5) · (4m – 5) 4. 36a² – 81 = (6a + 9) · (6a – 9) |
Schritt-für-Schritt-Lösung für x² – 9:
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Schau auf die beiden Zahlen:
Hier haben wir x² und -9.
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Welche Zahl wurde quadriert, um x2 zu bekommen?
x, denn x · x ergibt x2
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Welche Zahl wurde quadriert, um 9 zu bekommen?
3, denn 3 · 3 ergibt 9.
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Setze die Werte in die binomische Formel:
Ergebnis: (x + 3) · (x – 3).
Aufgaben zur Ergänzung
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Hier musst du die fehlenden Zahlen ergänzen, damit die Terme eine vollständige binomische Formel ergeben. 1. (x + 3)² = x² + 6x + 9 2. (a – 8)² = a² – 16a + 64 3. (x + 5)² = x² + 10x + 25 4. (3m – 3)² = 9m² – 18m + 9 5. (- x + 3y)(– x – 3y) = x²– 9y² 6. (x + 6)(x – 6) = x² – 36 7. (1/2 a + 1/2 b)² = 1/4 a² +1/2 ba + 1/4 b² 8. (1/3 m + n)² = 1/9 m² + 2/3 mn + n² |
Schritt-für-Schritt-Lösung für (x + …)² = x² + 6x + …
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Schau auf den mittleren Wert:
Hier hast du 6x.
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Welche Zahl wurde verdoppelt, um 6x zu bekommen?
3, denn 3 ⋅ 2 = 6.
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Überprüfe die letzte Zahl:
Diese Zahl ist das Quadrat von 3, also 3 ⋅ 3 = 9.
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Setze alles in die binomische Formel ein:
(x + 3)² = x² + 6x + 9
Vereinfachen und Zusammenfassen
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Hier kombinierst du die binomischen Formeln und vereinfachst die Terme. Die Aufgaben sind anspruchsvoller und fordern dein Wissen heraus! 1. (2x – 3)² – 2 · (x + 3)² = 2x² – 24x – 9 2. (0,2x – y)² – (0,2x – y) · (0,2x + y) = -0,4xy 3. 3 · (0,3x + 8) · (0,3x – 8) – (0,05x)² = 0,02x2 -192 4. (4a – 1)² – (2a + 3)² = 12a² – 20a – 8 |
Schritt-für-Schritt-Lösung für (2x – 3)² – 2 · (x + 3)²:
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Wende die binomische Formel an:
(2x – 3)² = 4x² – 12x + 9
(x + 3)² = x² + 6x + 9
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Setze in die Aufgabe ein:
(2x – 3)² – 2 · (x + 3)²
= (4x² – 12x + 9) – 2(x² + 6x + 9)
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Multipliziere die -2 aus:
= 4x² – 12x + 9 – 2x² – 12x – 18
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Fasse zusammen:
= 2x² – 24x – 9
Binomische Formeln
Du willst die binomischen Formeln noch besser verstehen? Dann schau dir hier unser ausführliches Video dazu an!