Lineare Algebra

Binomische Formeln Aufgaben

Du möchtest beim Thema binomische Formeln Aufgaben sehen und Übungen dazu machen? Dann bist du hier genau richtig! %In unserem Video gehen wir die Aufgaben Schritt für Schritt mit dir durch. Schau es dir an!

Inhaltsübersicht

Binomische Formeln Aufgaben einfach erklärt

Grundlage für alle diese Aufgaben sind die binomischen Formeln .

  1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. binomische Formel: (ab)² = a² – 2ab + b²
  3. binomische Formel: (a + b) (ab) = a² – b²

Binomische Formeln Aufgaben: Ausmultiplizieren

Beim sogenannten Ausmultiplizieren möchtest du alle Klammern auflösen. Hier kannst du mit den Formeln Zeit sparen.

Aufgabe 1:

Löse die Klammern auf.

  1.  (6 – 3)²
  2.  (7 + 2)²
  3.  (5 – 3) (5 + 3)
  4. (1 + 6)²
  5. (8 – 5)² 
  6. (2 + 5) (2 – 5)
  7. (3 – 4)²

Lösungen zu Aufgabe 1

Lösung a: Um beim Thema binomische Formeln Aufgaben zu lösen, setzt du häufig einfach Zahlen in die Formeln ein. In diesem Fall weist das Minuszeichen auf die zweite binomische Formel hin.

(6 – 3)² = 6² – 2 · 6 · 3 + 3² = 36 – 36 + 9 = 9

Lösung b: Aufgabe 1b löst du ganz schnell mit der ersten binomischen Formel.

(7 + 2)² = 7² + 2 · 7 · 2 + 2² = 49 + 28 + 4 = 81

Lösung c: Die dritte Teilaufgabe benutzt die Plus-Minus-Formel, also die letzte der drei binomischen Formeln.

(5 – 3) (5 + 3) = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

Lösung d: 

(1 + 6)² = 1² + 2 · 1 · 6 + 6² = 1 + 12 + 36 = 49

Lösung e: 

(8 – 5)² = 8² – 2 · 8 · 5 + 5² = 64 – 80 + 25 = 9

Lösung f: 

(2 + 5) (2 – 5) = 2² – 5² = 4 – 25 = -21

Lösung g:

(3 – 4)² = 3² – 2 · 3 · 4 + 4² = 9 – 24 + 16 = 1

Aufgabe 2:

Löse die Klammern auf.

  1.  (a – 5)²
  2.  (7 + x) (7 – x)
  3.  (8 + z)²
  4. (3 – x)²
  5. (d + 1) (d – 1)

Lösungen zu Aufgabe 2

Lösung a: Lass dich nicht durch die Buchstaben verwirren, du kannst sie wie Zahlen behandeln. Bei Aufgabe 2a weist dich das Minuszeichen auf die zweite Formel hin.

(a – 5)² = a² – 2 · a · 5 + 5² = a² – 10a + 25

Lösung b: Aufgabe b hat die Form der dritten binomischen Formel. Du kannst sie hier anwenden.

(7 + x) (7 – x) = 7² – x² = 49 – x²

Lösung c:

(8 + z)² = 8² + 2 · 8 · z + z² = 64 + 16z + z²

Lösung d: 

(3 – x)² = 3² – 2 · 3 · x + x² = 9 – 6x + x²

Lösung e: 

(d + 1) (d – 1) = d² – 1² = d² – 1

Aufgabe 3:

Multipliziere die Terme aus.

  1.  (x + y)²
  2.  (3a – b)²
  3.  (8x + 5y) (8x – 5y)

Lösungen zu Aufgabe 3

Lösung a: Hier kannst du die erste binomische Formel anwenden. Nur die Buchstaben unterscheiden sich.

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Lösung b: Der linke Teil bei Aufgabe b, also das 3a, wird jetzt wie eine Zahl behandelt. Du kannst das einmal ausführlich rechnen.

(3a – b)² = (3a)² – 2 · (3a) · b + b² = 3²a² – 6ab + b² = 9a² – 6ab + b²

Lösung c: Auch bei der dritten Teilaufgabe setzt du die Kombination aus Zahl und Buchstabe einfach in die Formel ein. Diesmal brauchst du die Plus-Minus-Formel.

(8x + 5y) (8x – 5y) = (8x)² – (5y)² = 8²x² – 5²y² = 64x² – 25y²

Binomische Formeln Übungen: Faktorisieren

Es gibt auch Aufgaben, bei denen du Klammern erzeugen musst. Wenn du damit den ganzen Ausdruck so umformen kannst, dass zwischen den Klammern nur noch Malzeichen stehen, nennt man das Faktorisieren. Auch hier gibt es beim Bereich binomische Formeln Aufgaben zum Üben.

Aufgabe 1:

Fasse möglichst weit zusammen.

  1.  a² + 6a + 9
  2.  4 – x²
  3.  w² – 10w + 25

Lösungen zu Aufgabe 1

Lösung a: Hier kannst du bei Teilaufgabe a die erste Formel nutzen.

a² + 6a + 9 = a² + 2 · 3 · a + 3² = (a + 3)²

Lösung b: Hinter Teilaufgabe b versteckt sich die dritte binomische Formel.

4 – x² = 2² – x² = (2 + x) (2 – x)

Lösung c: Bei Aufgabe c kannst du die zweite binomische Formel verwenden.

w² – 10w + 25 = w² – 2 · 5 · w + 5² = (w – 5)²

Aufgabe 2:

Faktorisiere die folgenden Terme.

  1.  25x² – 10xy + y²
  2.  a² + 20ba + 100b²
  3.  9u² – 16v²

Lösungen zu Aufgabe 2

Lösung a: Hier darfst du dich wieder nicht verwirren lassen von den verschiedenen Buchstaben. Hinter Teilaufgabe a versteckt sich nämlich einfach nur die zweite binomische Formel.

25x² – 10xy + y² = (5x)² – 2 · 5x · y+ y² = (5x – y)²

Lösung b: Die zweite Teilaufgabe sieht auch schwerer aus als sie ist. Wenn du die wichtigsten Quadratzahlen im Kopf hast, erkennst du sie schnell als binomische Formeln Aufgabe.

a² + 20ba + 100b² = a² + 2 · a · 10b + (10b)² = (a + 10b)²

Lösung c: Häufig findest du beim Thema binomische Formeln Aufgaben, die zwei quadratische Ausdrücke voneinander abziehen. Hier kannst du die dritte Formel nutzen.

9u² – 16v² = (3u)² – (4v)² = (3u + 4v) (3u – 4v)

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