Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
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Du willst wissen, wie du Brüche gleichnamig machen kannst und wofür du diese Umformung brauchst? Das alles erklären wir dir hier %und in unserem Videoanhand vieler Beispiele! 

Brüche gleichnamig machen einfach erklärt 

Brüche gleichnamig machen bedeutet, dass zwei oder mehr Brüche durch Umformen den gleichen Nenner erhalten.

    \[\frac{1}{\textcolor{blue}{2}} \; \text{und} \; \frac{3}{\textcolor{orange}{4}} \; \Longrightarrow \;  \frac{4}{\textcolor{olive}{8}} \; \text{und} \;\frac{6}{\textcolor{olive}{8}}\]

Nur Brüche, die den gleichen Nenner haben, kannst du miteinander addieren oder voneinander subtrahieren . Außerdem kannst du die Größe von gleichnamigen Brüchen auf einen Blick vergleichen.

Wir zeigen dir hier zwei Wege, wie du Brüche auf den gleichen Nenner bringen kannst:

  • Du kannst zwei Brüche gleichnamig machen, indem du die Nenner der beiden Brüche miteinander multiplizierst. Dabei musst du sowohl den Nenner als auch den Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern:
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Brüche gleichnamig machen – Nenner multiplizieren
  • Ein weiterer Weg, wie du Brüche gleichnamig machen kannst, ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu finden. Du suchst also nach der kleinsten Zahl, die sowohl ein Vielfaches des einen als auch des anderen Nenners ist:
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Brüche gleichnamig machen – Kleinstes gemeinsames Vielfaches finden

Brüche gleichnamig machen — Nenner multiplizieren 

Du kannst einen gemeinsamen Nenner für Brüche finden, indem du ihre Nenner miteinander multiplizierst. Wie du dabei vorgehst, zeigen wir dir jetzt ausführlich an zwei Beispielen.

Beispiel 1: Zwei Brüche

Angenommen, du sollst diese zwei Brüche gleichnamig machen:

    \[\frac{1}{4} \qquad \[\frac{2}{5}\]

Dafür gehst du so vor:

Du kannst die Brüche \frac{1}{\textcolor{blue}{4}} und \frac{2}{\textcolor{orange}{5}} gleichnamig machen, indem du ihre Nenner (4 und 5) miteinander multiplizierst. Das Ergebnis (45 = 20) ist dann der gemeinsame Nenner der Brüche. 

Vorsicht! Bei deinen Umformungen musst du beachten, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Nenner des anderen Bruches zu multiplizieren. Nur so sorgst du dafür, dass sich der Gesamtwert der Brüche nicht ändert.

    \[\frac{1}{\textcolor{blue}{4}} \Rightarrow \frac{1 \cdot \textcolor{orange}{5}}{\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{orange}{5}} \Rightarrow \frac{5}{\textcolor{olive}{20}}\]

    \[\frac{2}{\textcolor{orange}{5}} \Rightarrow \frac{2 \cdot \textcolor{blue}{4}}{\textcolor{orange}{5} \cdot \textcolor{blue}{4}} \Rightarrow \frac{8}{\textcolor{olive}{20}}\]

Beispiel 2: Drei oder mehr Brüche

Angenommen, du sollst diese drei Brüche auf den gleichen Nenner bringen:

    \[\frac{1}{4} \qquad \[\frac{2}{5} \qquad \[\frac{3}{8}\]

Du gehst dafür wie folgt vor:

Du kannst die Brüche \frac{1}{\textcolor{blue}{4}}, \frac{2}{\textcolor{orange}{5}} und \frac{3}{\textcolor{magenta}{8}} gleichnamig machen, indem du die Nenner der drei Brüche (4, 5 und 8) miteinander multiplizierst. Das Produkt der drei Nenner (45 8 = 160) bildet dann den gemeinsamen Nenner der Brüche.

Vorsicht! Auch hier darfst du bei deinen Umformungen nicht vergessen, sowohl den Zähler als auch den Nenner jedes Bruches mit den Nennern der beiden anderen Brüche zu erweitern.

    \[\frac{1}{\textcolor{blue}{4}} \Rightarrow \frac{1 \cdot \textcolor{orange}{5} \cdot \textcolor{magenta}{8}}{\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{orange}{5} \cdot \textcolor{magenta}{8}} \Rightarrow \frac{40}{\textcolor{olive}{160}}\]

    \[\frac{2}{\textcolor{orange}{5}} \Rightarrow \frac{2 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{magenta}{8}}{\textcolor{orange}{5} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{magenta}{8}} \Rightarrow \frac{64}{\textcolor{olive}{160}}\]

    \[\frac{3}{\textcolor{magenta}{8}} \Rightarrow \frac{3 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{orange}{5}}{\textcolor{magenta}{8} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{orange}{5}} \Rightarrow \frac{60}{\textcolor{olive}{160}}\]

Diese Vorgehensweise kannst du schließlich auf jede beliebige Anzahl von Brüchen übertragen: 

Brüche gleichnamig machen — Nenner multiplizieren 

Du kannst Brüche gleichnamig machen, indem du die Nenner der einzelnen Brüche miteinander multiplizierst. Ihr Produkt bildet den gemeinsamen Nenner der Brüche. Dabei darfst du nicht vergessen, auch den Zähler mit den Nennern der anderen Brüche zu erweitern.%FS-Formulierung Brüche gleichnamig machen

Brüche gleichnamig machen — Kleinstes gemeinsames Vielfaches finden 

Prima! Du weißt jetzt, wie du Brüche durch Multiplikation der Nenner gleichnamig machst. Allerdings kann es dabei schnell passieren, dass der gemeinsame Nenner der Brüche ziemlich groß wird. Um dies zu vermeiden, kannst du Brüche auch mit einer anderen Methode gleichnamig machen: Du ermittelst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner! 

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die sowohl ein Vielfaches der einen, als auch der anderen Zahl ist. Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du Brüche mithilfe des kgV auf den gleichen Nenner bringen kannst. Das kgV der Nenner nennst du übrigens auch Hauptnenner

Beispiel: Gemeinsamer Nenner über das kgV finden

Angenommen, du sollst folgende Brüche gleichnamig machen:

    \[\frac{1}{9} \qquad \[\frac{5}{12}\]

Dafür ermittelst du nun das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner:
  • Schritt 1: Bilde für beide Nenner (9 und 12) eine Zahlenreihe, indem du ihre Vielfachen  ausrechnest. 

    Z= {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …}

    Z₁₂ = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …}

  • Schritt 2: Betrachte beide Zahlenreihen und suche nach der kleinsten Zahl, die in beiden Zahlenreihen vorkommt (36). Hierbei handelt es sich um das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner (Hauptnenner).

    Z= {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, …}

    Z₁₂ = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …}

  • Schritt 3: Überlege dir für jeden Bruch, mit welcher Zahl du den Nenner multiplizieren musst, um auf den Hauptnenner zu kommen.

        \[\textcolor{blue}{9} \cdot \textcolor{purple}{4} = \textcolor{red}{36}\]


        \[\textcolor{orange}{12} \cdot \textcolor{violet}{3} = \textcolor{red}{36}\]

  • Schritt 4: Multipliziere sowohl den Zähler als auch den Nenner jedes Bruches mit der jeweiligen Zahl, die du in Schritt 3 gefunden hast.

        \[\frac{1 \cdot \textcolor{purple}{4}} {\textcolor{blue}{9} \cdot \textcolor{purple}{4}} = \frac{4}{\textcolor{red}{36}} \]


        \[\frac{5 \cdot \textcolor{violet}{3}} {\textcolor{orange}{12} \cdot \textcolor{violet}{3}} = \frac{15}{\textcolor{red}{36}} \]

Brüche gleichnamig machen — Anwendungsbeispiel

Super! Du hast nun verschiedene Wege kennengelernt, wie du Brüche auf den gleichen Nenner bringen kannst. Doch wozu brauchst du diese mathematische Umformung?

Nur Brüche, die den gleichen Nenner haben, können miteinander addiert oder voneinander subtrahiert werden. Zudem kannst du gleichnamige Brüche viel leichter hinsichtlich ihrer Größe vergleichen.

Angenommen, du sollst herausfinden, welcher der beiden Brüche größer ist: 

    \[\frac{7}{8} \qquad \text{oder} \qquad \[\frac{19}{24}\]

Bringe dafür die Brüche auf den gleichen Nenner:

Z₈ = {8, 16, 24, 32, …}

Z₂₄ = {24, 48, 72, 96, …}

    \[\frac{7}{8} \Rightarrow \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} \Rightarrow \frac{21}{\textcolor{red}{24}}\]

    \[\frac{19}{\textcolor{red}{24}} \Rightarrow \frac{19\cdot 1}{\textcolor{red}{24} \cdot 1} \Rightarrow \frac{19}{\textcolor{red}{24}}\]

Nun kannst du auf den ersten Blick sehen, welcher der beiden Brüche größer ist. Dafür genügt es, die Zähler der Brüche zu betrachten:

    \[\frac{\textcolor{teal}{21}}{24} \; > \; \[\frac{\textcolor{teal}{19}}{24} \qquad (\text{da} \; \; \textcolor{teal}{21} > \textcolor{teal}{19})\]

Der Bruch  \frac{7}{8}  ist somit größer als der Bruch  \frac{19}{24}

Brüche addieren 

Geschafft! Jetzt weißt du, wie du Brüche auf den gleichen Nenner bringen kannst. Brüche gleichnamig machen ist der erste Schritt, wenn du Brüche addieren willst. Stell dir vor, du möchtest folgende Brüche miteinander addieren: 

    \[\frac{4}{6} + \[\frac{1}{3} = ?\]

Aktuell kannst du die Brüche nicht zusammenrechnen, da du nur gleichnamige Brüche addieren kannst. Wie das genau funktioniert, zeigen wir dir in unserem Video !

Zum Video: Brüche addieren
Zum Video: Brüche addieren

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