Was ist der Unterschied zwischen einer Zahlmenge und einem Intervall wie von minus eins bis drei?

Eine Zahlmenge ist allgemein eine Sammlung von Zahlen, die auch „Lücken“ haben kann, ein Intervall enthält dagegen alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Zum Beispiel ist eine Zahlmenge mit einzelnen Werten. Das Intervall enthält auch und .

Was bedeutet das Zeichen Teilmenge in Mathe und wie lese ich das richtig?

Das Teilmengenzeichen bedeutet: Jedes Element der linken Menge ist auch in der rechten Menge enthalten. Du liest als „ ist (eine) Teilmenge von “. Zum Beispiel gilt , weil jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist.

Wie bestimme ich den Definitionsbereich einer Funktion, wenn da eine Wurzel oder ein Bruch vorkommt?

Den Definitionsbereich bestimmst du, indem du verbotene Eingaben ausschließt: Unter einer Wurzel muss der Term sein und im Bruch darf der Nenner nicht werden. Beispiel: Für gilt . Für gilt .

Wie finde ich heraus, ob eine Zahl zu den ganzen Zahlen gehört, wenn sie als Dezimalzahl oder als Bruch gegeben ist?

Eine Zahl gehört zu den ganzen Zahlen , wenn sie keinen Nachkommateil hat oder sich als Bruch zu einer ganzen Zahl kürzen lässt. Zum Beispiel ist , aber . Und , während ist.

Was heißt Betrag von einer Zahl und in welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis dann?

Der Betrag ist der Abstand der Zahl von auf der Zahlengeraden und ist deshalb nie negativ. Zum Beispiel ist und . Für reelle Eingaben liegt das Ergebnis in , für ganze Eingaben sogar in .

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Zahlenmengen

Du fragst dich, was Zahlenmengen sind? Hier und im Video zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden.

Inhaltsübersicht

Zahlenmengen — einfach erklärt

Eine Zahlenmenge ist eine Gruppe von Zahlen, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben. Wenn du zum Beispiel eine Funktion untersuchst, zeigt dir die Zahlenmenge, für welche Zahlen die Funktion gültig ist.

Insgesamt unterscheidest du sechs Zahlenmengen:

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
Natürliche Zahlen mit 0 $\mathbb{N}_0$
Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$

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Wie in der Grafik dargestellt, ist jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren enthalten. Es gilt also:

$\textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}}$

Zahlenmengen — Übersicht

im Videozur Stelle im Video springen

(00:15)

In der folgenden Tabelle siehst du die Elemente und Definitionen aller sechs Zahlenmengen:

Formelzeichen	Name	Elemente	Definition
$\textcolor{blue}{\mathbb{N}}$	Natürliche Zahlen	{1; 2; 3; 4,…}	alle positiven ganzen Zahlen ohne Null
$\textcolor{teal}{\mathbb{N}_0}$	Natürliche Zahlen mit 0	{0; 1; 2; 3; 4…}	alle positiven ganzen Zahlen Null einbegriffen
$\textcolor{olive}{\mathbb{Z}}$	Ganze Zahlen	{…; -2; -1; 0; 1; 2…}	alle ganzen Zahlen negative, positive und die Null
$\textcolor{red}{\mathbb{Q}}$	Rationale Zahlen	{…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1}	alle ganzen Zahlen alle Brüche aus ganzen Zahlen
$\mathbb{I}$	Irrationale Zahlen	{…; -√2; e; π; …}	alle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma, ohne periodische Abfolge können nicht als Bruch dargestellt werden auch π und die Eulersche Zahl e
$\textcolor{magenta}{\mathbb{R}}$	Reelle Zahlen	{…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1;-√2; e; π; …}	alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können Brüche und nicht periodische Dezimalzahlen umfasst rationale und irrationale Zahlen
$\textcolor{green}{\mathbb{C}}$	Komplexe Zahlen	{…; -5 +2i; e^iπ; 0; √-1 …}	alle Zahlen der Form: a + bi a: reelle Zahl b: reelle Zahl i: imaginäre Zahl, für die gilt: i² = -1

Rationale und Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen — also als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Auch Dezimalzahlen gehören dazu, wenn sie entweder nach einer bestimmten Stelle enden oder sich regelmäßig wiederholen. Irrationale Zahlen dagegen lassen sich nicht als Bruch darstellen. Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter und folgen keinem erkennbaren Muster.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Zahlenmengen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen einer Zahlmenge und einem Intervall wie von minus eins bis drei?

Eine Zahlmenge ist allgemein eine Sammlung von Zahlen, die auch „Lücken“ haben kann, ein Intervall enthält dagegen alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Zum Beispiel ist $\{-1,0,3\}$ eine Zahlmenge mit einzelnen Werten. Das Intervall enthält auch und $\frac{1}{2}$ .
Was bedeutet das Zeichen Teilmenge in Mathe und wie lese ich das richtig?

Das Teilmengenzeichen $\subseteq$ bedeutet: Jedes Element der linken Menge ist auch in der rechten Menge enthalten. Du liest $A \subseteq B$ als „ ist (eine) Teilmenge von “. Zum Beispiel gilt $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ , weil jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist.
Wie bestimme ich den Definitionsbereich einer Funktion, wenn da eine Wurzel oder ein Bruch vorkommt?

Den Definitionsbereich bestimmst du, indem du verbotene Eingaben ausschließt: Unter einer Wurzel muss der Term $\ge 0$ sein und im Bruch darf der Nenner nicht werden. Beispiel: Für $f(x)=\sqrt{x-2}$ gilt $x\ge 2$ . Für $g(x)=\frac{1}{x-3}$ gilt $x\ne 3$ .
Wie finde ich heraus, ob eine Zahl zu den ganzen Zahlen gehört, wenn sie als Dezimalzahl oder als Bruch gegeben ist?

Eine Zahl gehört zu den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ , wenn sie keinen Nachkommateil hat oder sich als Bruch zu einer ganzen Zahl kürzen lässt. Zum Beispiel ist $2{,}0\in\mathbb{Z}$ , aber $2{,}5\notin\mathbb{Z}$ . Und $\frac{12}{4}=3\in\mathbb{Z}$ , während $\frac{7}{2}\notin\mathbb{Z}$ ist.
Was heißt Betrag von einer Zahl und in welcher Zahlenmenge liegt das Ergebnis dann?

Der Betrag ist der Abstand der Zahl von auf der Zahlengeraden und ist deshalb nie negativ. Zum Beispiel ist und . Für reelle Eingaben liegt das Ergebnis in $\mathbb{R}_{\ge 0}$ , für ganze Eingaben sogar in $\mathbb{N}_0$ .