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Cotangens

Wichtige Inhalte in diesem Video

Cotangens am rechtwinkligen Dreieck

Cotangens am Einheitskreis

Darstellung in einem Koordinatensystem

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Cotangens (auch Kotangens). Unter anderem zeigen wir dir, wie der Cotangens definiert ist und wie seine Ableitung lautet.

Du möchtest das Wichtigste zum Cotangens in kurzer Zeit erfahren? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich.

Inhaltsübersicht

Cotangens einfach erklärt

Mit dem Cotangens (auch Kotangens, abgekürzt cot oder cotan) kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck fehlende Seiten und Winkel bestimmen. Der Cotangens eines Winkels x, geschrieben cot(x), ist dabei eine Zahl: Das Verhältnis zwischen Ankathete zu Gegenkathete. Durch eine Rechnung kannst du nachweisen, dass der Cotangens gleich dem Quotienten aus Cosinus und Sinus entspricht, das heißt

$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$ .

Mit einem geometrischen Trick kannst du die Definition auf dem Einheitskreis erweitern. Dadurch kannst du eine periodische Funktion konstruieren, die Cotangensfunktion.

Cotangens am rechtwinkligen Dreieck

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Für die Definition des Cotangens (oder Kotangens) am rechtwinkligen Dreieck bezeichnen wir einen der Winkel, der nicht 90° ist, mit $\alpha$ . Die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete und die Seite, die an diesem Winkel angrenzt, Ankathete. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird als Hypotenuse bezeichnet.

Für ein solches Dreieck wird das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete, also

$\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

als Cotangens (oder Kotangens) bezeichnet.

Cotangens/Kotangens Formel

Bezeichnen wir die Ankathete mit und die Gegenkathete mit , dann ist der Cotangens des Winkels $\alpha$ definiert als

$\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a}$ .

Cotangens am rechtwinkligen Dreieck, Kotangens am rechtwinkligen Dreick — Cotangens (Kotangens) am rechtwinkligen Dreieck.

Verwenden wir die Beziehungen

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$ und

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$ ,

dann erkennen wir, dass

$\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

gilt. Da die Beziehung

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

für den Tangens gültig ist, folgt auch

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ .

Wir können daher folgendes festhalten.

Merke

Der Cotangens eines Winkels ist gerade der Quotient aus Cosinus und Sinus oder der Kehrwert des Tangens.

Cotangens am Einheitskreis

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Die Definition am rechtwinkligen Dreieck ist auf die Winkel von 0° bis 90° beschränkt. Im Folgenden erweitern wir den Cotangens auf alle Winkel.

Definition am Einheitskreis

Der Einheitskreis, mit dem Ursprung als Mittelpunkt, ist definiert als all diejenigen Punkte, die zum Ursprung genau den Abstand 1 besitzen. Auf diesem Einheitskreis wählen wir einen beliebigen Punkt P mit den Koordinaten (x|y).

In diesem Einheitskreis zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck folgendermaßen ein: Der Punkt wird zu einer Ecke und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse des Dreiecks. Der Winkel, den die Hypotenuse mit der -Achse einspannt, soll $\alpha$ heißen. Wir skalieren nun dieses Dreieck solange, bis die Gegenkathete zu diesem Winkel gleich 1 ist (die Winkel im Dreieck bleiben unverändert). Der Punkt mit den Koordinaten (x, y) wird dabei zum Punkt mit den Koordinaten (x', y') . Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, so erhalten wir

$\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{x'}{1} = x'$ .

Das heißt, dass der Cotangens gerade die -Koordinate des Punktes ist. Das folgende Bild illustriert die beschriebene Konstruktion, wobei das skalierte Dreieck nicht schraffiert dargestellt ist.

Cotangens am Einheitskreis, Kotangens am Einheitskreis — Cotangens (Kotangens) am Einheitskreis.

Hinweis: Das Vorzeichen von $\cot(\alpha)$ ist positiv, wenn die Koordinaten und des Punktes entweder beide positiv oder beide negativ sind. Ansonsten ist $\cot(\alpha)$ negativ. Das heißt, im ersten und dritten Quadranten besitzt der Cotangens positive Werte, im zweiten und vierten Quadranten hingegen negative Werte.

Darstellung in einem Koordinatensystem

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Um den Verlauf der Werte des Cotangens in Abhängigkeit des Winkels $\alpha$ zu konstruieren, lassen wir den Punkt einmal um den Kreis herumwandern. Der Winkel $\alpha$ nimmt dabei die Werte von 0° bis 360° an. Für jeden Punkt skalieren wir das Dreieck wie wir es vorhin beschrieben haben und notieren uns die -Koordinate des Punktes mit dem richtigen Vorzeichen.

Dadurch erhalten wir eine Kurve, die sich Cotangenskurve nennt. Die Cotangenskurve ist das Bild der sogenannten Cotangensfunktion. Das Vorzeichen des Cotangens ist folgendermaßen gegeben.

$\alpha$ liegt im Intervall [0°, 90°) (erster Quadrant): $\cot(\alpha)$ positiv,
$\alpha$ liegt im Intervall (90°, 180°) (zweiter Quadrant): $\cot(\alpha)$ negativ,
$\alpha$ liegt im Intervall [180°, 270°) (dritter Quadrant): $\cot(\alpha)$ positiv und
$\alpha$ liegt im Intervall (270°, 360°] (vierter Quadrant): $\cot(\alpha)$ negativ.

Wir erwarten daher, dass auch die Werte der Cotangensfunktion diese Vorzeichen besitzen. Der Cotangens ist für den Winkel $\alpha = 0^{\circ}$ nicht definiert. Je näher sich $\alpha$ dem Winkel 0° nähert, umso größer wird $\cot(\alpha)$ . Für $\alpha = 90^{\circ}$ ist $\cot(\alpha)$ gleich Null. Im zweiten Quadranten beginnt der Cotangens mit Null und nähert sich beliebig negativen Werten, wenn $\alpha$ gegen den Winkel 180° läuft. Im dritten und vierten Quadranten wiederholt sich diese Beobachtung. Auch dieses Verhalten soll die Cotangenskurve widerspiegeln. Das folgende Bild zeigt die besprochene Konstruktion der Kurve.

Kotangens Kurve, Cotangens Kurve, Cotangenskurve, Verlauf Cotangens, Cotangens, Kotangens — Konstruktion der Kurve des Cotangens (Kotangens) als Funktion des Winkels.

Cotangens berechnen

Direkt am Einheitskreis lassen sich die Werte des Kotangens nur für ganz bestimmte Winkel ablesen. Für die meisten Winkel ist das aber nicht einfach. Daher fasst die folgende Tabelle ein paar wichtige Werte zusammen.

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	150°	180°
$\cot(\alpha)$	n. d.	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	n. d.

Beachte, dass die Tabelle nur die Werte bis 180° darstellt. Das liegt daran, dass sich die Werte für die Winkel von 180-360° wiederholen. Die Bezeichnung „n. d.“ ist die Abkürzung für „nicht definiert“, da sich für diese Winkel die Cotangenskurve einer senkrechten Asymptote nähert. Weiterhin solltest du darauf achten, dass dein Taschenrechner auf „deg“ für „Degree“ eingestellt ist, wenn du die Werte nachrechnen möchtest. Auf den meisten Taschenrechnern findest du keine Taste, um cot(x) direkt zu berechnen. Stattdessen musst du cot(x) als Kehrwert von tan(x) eingeben.

Eine andere Möglichkeit Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß. Die Umrechnung basiert auf folgender Beziehung.

$1 \pi = 180$ °

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von ° im Bogenmaß lautet, dann berechnest du

$x=\frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi$ .

Auf deinem Taschenrechner findest du das Winkelmaß unter der Abkürzung „rad“ für englisch „radian“.

Die Tabelle von vorhin sieht dann im Bogenmaß folgendermaßen aus.

$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\cot(\alpha)$	n. d	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	n. d.

Ableitung Cotangens

Verwenden wir die Darstellung von cot(x) als Quotient, das heißt

$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ ,

dann können wir die Ableitung des Cotangens mit Hilfe der Quotientenregel bestimmen.

Für den Cotangens ist der Zähler f(x) gleich $\cos(x)$ und der Nenner g(x) gleich $\sin(x)$ . Die Ableitungen dieser beiden Funkionen sind

$f'(x) = -\sin(x)$ und

$g'(x) = \cos(x)$ .

Wir müssen nun nur noch f(x) , g(x) , f'(x) und g'(x) in die Formel der Quotientenregel einsetzen und erhalten

$cot'(x) = \frac{(-\sin(x)) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot\cos(x)}{(\sin(x))^2} = \frac{-(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin^2(x)}$ .

Verwenden wir schließlich den trigonometrischen Pythagroas

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ ,

so ergibt sich die Ableitung des Cotangens zu

$\cot'(x) = \frac{-1}{\sin^2(x)}$ .

Wichtige Begriffe der Trigonometrie

Neben dem Kotangens gibt es noch weitere Funktionen und wichtige Begriffe in der Trigonometrie, welche du kennen solltest.

In den extra Beiträgen erfährst du mehr dazu!

Cotangens Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben zum Cotangens aus.

Aufgabe 1: Zwei Seiten gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Cotangens Aufgabe — Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 1.

(a) Bestimme die fehlende Seite .

(b) Bestimme die fehlenden Winkel $\alpha$ und $\beta$ .

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2 .

Setzen wir in diese Gleichung die gegebenen Werte für die Seiten und ein, so erhalten wir

c^2 = (5)^2 +(10)^2 = 125

und nach ziehen der Wurzel

c = 11,18 .

(b) Es gilt

$\cot(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{10}{5}$ .

Wenden wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an, so erhalten wir

$\alpha = \cot^{-1}(\frac{10}{5}) = 26,57$ °.

In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach ergibt sich der fehlende Winkel $\beta$ zu

$\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 26,57^{\circ}) = 63,43^{\circ}$ .

Aufgabe 2: Ein Winkel und die gegenüberliegende Seite gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Cotangens Aufgabe — Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 2.

(a) Bestimme den fehlenden Winkel $\beta$ .

(b) Bestimme die fehlenden Seiten und .

Quiz zum Thema Cotangens

Lösung Aufgabe 2

(a) In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach berechnet sich der fehlende Winkel $\beta$ zu

$\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$ .

(b) Es gilt

$\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$ .

Stellen wir diese Gleichung nach um, so erhalten wir

$b = a \cdot \cot(\alpha)= 12 \cdot \cot(60^{\circ})= 4 \sqrt{3}$ .

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2 .

Einsetzen der Werte für und ergibt

$c^2 = (12)^2 + (4 \sqrt{3})^2 =192$

und nach ziehen der Wurzel

$c = 8 \sqrt{3}$ .

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