Funktionen

Schnittpunkt zweier Geraden

 

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden ganz leicht ausrechnen kannst. Dazu verwenden wir viele Bilder und Beispiele, damit du es optimal verstehst. 

Du möchtest lieber direkt sehen, wie sich der Schnittpunkt zweier Geraden berechnen lässt? Dann schau dir dieses kurze Video %Video verlinken wenn verfügbar an.

Inhaltsübersicht

Schnittpunkt berechnen einfach erklärt

Wenn du den Schnittpunkt zweier Geraden beziehungsweise ganz allgemein den Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen willst, dann interessierst du dich für den x-Wert, an dem beide Funktionsgleichungen denselben y-Wert haben. Im Falle der linearen Funktionen hast du also zwei Geradengleichungen gegeben 

f(x) = m \cdot x + b     und     g(x) = n \cdot x + t.

Setzt du jeweils den x-Wert des Schnittpunktes ein, so erhältst du jeweils das gleiche Ergebnis! 

Zuerst erklären wir dir hier, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest, wenn du die obige Form gegeben hast. Im zweiten Teil des Artikels zeigen wir dir das Vorgehen für Gerade in Vektordarstellung. 

Schnittpunkt zweier linearer Funktionen

Wie du den Schnittpunkt zwischen zwei linearen Funktionen berechnest, zeigen wir dir hier in Form einer allgemeinen Schritt für Schritt Anleitung. Danach betrachten wir zwei verschiedene Beispiele und zeigen dir konkret, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmst.

Schnittpunkt zweier Geraden: Allgemeine Vorgehensweise

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, hast du zwei Möglichkeiten. 

Entweder zu zeichnest die beiden linearen Funktionen und bestimmst den Schnittpunkt zweier Geraden graphisch, oder du rechnest ihn direkt aus.

Zeichnen hat dabei den Nachteil, dass es sehr ungenau werden kann, wenn der Schnittpunkt nicht genau auf einem Kästchen liegt. Rechnen dahingegen liefert dir immer das präzise Ergebnis. Dazu gehst du immer gleich vor und befolgst am besten einfach diese Schritt-für-Schritt-Anleitung: 

Vorgehen

  • Schritt 1: Betrachte deine beiden Funktionsgleichungen f(x)= m \cdot x + b und g(x)= n \cdot x + t. Haben die beiden Funktionsgleichungen die gleiche Steigung%Steigung berechnen? Das erkennst du daran, dass m=n ist, beziehungsweise das du am Graph dasselbe Steigungsdreieck%verlinken wenn verfügbar einzeichnen kannst. Wenn die beiden Geraden dieselbe Steigung haben, sind sie parallel. Sofern sie einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt haben, das heißt b \neq t, haben sie keinen Schnittpunkt. 
  • Schritt 3: Haben die beiden Geraden nicht dieselbe Steigung, das heißt m \neq n, so haben sie einen eindeutigen Schnittpunkt, dessen Koordinaten du leicht berechnen kannst. Stelle dazu einfach ein lineares Gleichungssystem auf.
  • Schritt 4: Löse das lineare Gleichungssystem beispielsweise mit dem Gleichsetzungsverfahren.  Damit berechnest du die x-Koordinate des Schnittpunktes.

m \cdot x + b= n \cdot x + t

  • Schritt 5: Setze den berechneten x-Wert in eine der beiden linearen Funktionen ein, um den zugehörigen y-Wert zu erhalten.
  • Schritt 6: Probe: Um sicherzugehen, dass du richtig gerechnet hast, kannst du den x-Wert auch noch in die andere Geradengleichung einsetzen. Es sollte beides mal dasselbe Ergebnis herauskommen. 
Merke:

Für die Berechnung eines Schnittpunkts zweier Geraden gibt es genau drei mögliche Ergebnisse:

  1. Die Geraden scheiden sich in einem Punkt. Die Koordinaten dieses Schnittpunktes lassen sich duch Auflösen des linearen Gleichunggsystem berechnen. 
  2. Die Geraden haben keinen Schnittpunkt. Dann sind sie echt parallel und haben beide die gleiche Steigung. Dein lineares Gleichungssystem gibt dann eine unsinnige Lösung, zum Beispiel 2=5
  3. Die Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Das ist immer dann der Fall, wenn sie identisch sind. Das bedeutet, die Gerade f liegt auf der Geraden g. Das lineare Gleichungssystem liefert dir dann eine Aussage, die immer wahr ist, zum Beispiel 3=3

Beispiel 1

Gesucht wird der Schnittpunkt zweier Geraden f(x) = 2\cdot x -2 (blau) und g(x)= -\frac{2}{3}\cdot x+6 (lila). Wir sehen sofort, dass die beiden Funktionen eine unterschiedliche Steigung besitzen, sie sind also nicht parallel, sondern haben einen eindeutigen Schnittpunkt. 

Schnittpunkt zweier Geraden lineare Funktionen
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Schnittpunkt zweier Geraden

Graphisch kann man die Koordinaten von S(3|4) zwar ablesen, wir wollen sie aber rechnerisch überprüfen: Dazu stellen wir das lineare Gleichungssystem auf und setzen die beiden Funktionsgleichungen gleich

2 \cdot x -2 = -\frac{2}{3} \cdot x +6 \quad \quad \quad \quad \bigg|+2

2 \cdot x = -\frac{2}{3} \cdot x +8 \quad \quad \quad \quad \bigg| + \frac{2}{3} \cdot x

\frac{8}{3} \cdot x = 8 \quad \quad \quad \quad \bigg| \cdot \frac{3}{8}

x=3

Jetzt müssen wir noch den zugehörigen y-Wert berechnen. Dazu setzen wir x=3 in f(x) = 2\cdot x -2  ein und erhalten als Ergebnis

2 \cdot 3 -2 = 4.

Zur Probe setzen wir x=3 auch noch in g(x) ein und erhalten -\frac{2}{3}\cdot 3+6 = 4. Wir haben den Schnittpunkt zweier Geraden somit richtig berechnet mit den Koordinaten S(3|4).

Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Funktionsgraphen f(x) = \frac{1}{2} \cdot x +5 und g(x) = \frac{1}{2} \cdot x +2. Hier haben die beiden Geraden dieselbe Steigung und damit keinen Schnittpunkt. Stattdessen sind sie echt parallel. 

Angenommen, du hast das nicht gesehen und versuchst, rechnerisch den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. Dazu setzt du wie oben die beiden Funktionen gleich und erhältst:

\frac{1}{2} \cdot x +5 =  \frac{1}{2} \cdot x +2 \quad \quad \quad \quad \bigg| -\frac{1}{2} \cdot x

2 = 5.

Das ist offensichtlich immer falsch! Hier kannst du keinen Schnittpunkt zweier Geraden berechnen, weil es keinen gibt.

Geraden lineare Funktion parallel
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Parallele Geraden

Schnittpunkt zweier Geraden: Vektordarstellung

In der analytischen Geometrie ist die Vektordarstellung von Geraden im Raum sehr verbreitet. Hier wird im Gegensatz zu oben die Gerade als Sammlung von Punkten interpretiert, wobei ausgehend von einem Aufpunkt die Richtung angegeben wird. Als nächstes zeigen wir dir, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden der folgenden Form berechnen kannst:

f:\vec{x}=\vec{A} + \lambda \cdot \vec{v}     und     g:\vec{x} = \vec{B} + \lambda \cdot \vec{u}

Die beiden Punkte \vec{A} und \vec{B} werden Aufpunkte der Geraden genannt, \vec{u} und \vec{v} heißen Richtungsvektoren. 

Schnittpunkt zweier Vektoren: Allgemeine Vorgehensweise

Da wir hier Geraden im dreidimensionalen Raum betrachten, ist die zeichnerische Methode um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, sehr unzuverlässig. Rechnerisch funktioniert es – so wie oben – durch Gleichsetzen der beiden linearen Funktionen. Wie genau du am besten vorgehst, beschreiben wir dir Schritt für Schritt: 

  • Schritt 1: Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, betrachtest du zuerst die Richtungsvektoren \vec{u} und \vec{v} der beiden Geradengleichungen. Ist einer davon das Vielfache des anderen, das heißt sind die Vektoren linear abhängig , dann sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel. Um das zu überprüfen, setzt du den Aufpunkt \vec{A} in die Gerade g ein und prüfst, ob du \lambda eindeutig bestimmen kannst.  
  • Schritt 2: Sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig, so kannst du entweder den Schnittpunkt der Vektoren berechnen, oder die Geraden sind windschief. Um das herauszufinden, setzt du die beiden Funktionsgleichungen gleich und löst das zugehörige lineare Gleichungssystem.
  • Schritt 3: Nun setzt du den errechneten x-Wert in eine der beiden Geradengleichungen ein, um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen. 

Diese Vorgehensweise um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, zeigen wir dir am besten direkt an einigen Beispielen.

Achtung: Es kann sein, dass du den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum nicht berechnen kannst, obwohl sie linear unabhängige Richtungsvektoren haben! Im Raum können sich auch Geraden nicht schneiden, obwohl sie nicht parallel sind! Sie liegen sozusagen in unterschiedlichen Ebenen. Solche Geraden nennt man windschief!

windschiefe Geraden im Raum
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Windschiefe Geraden im Raum

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Funktionen

f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right)     und     g:\vec{x} = \left( \begin{matrix}5\\ -1\\6 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right)

Zuerst überprüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren \vec{u} = \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right) und \vec{v} = \left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) linear abhängig oder lineare unabhängig sind. Damit siehst du sofort, ob es einen Schnittpunkt zweier Geraden überhaupt gibt.

Durch scharfes Hinsehen oder Lösen des zugehörigen linearen Gleichungssystems sehen wir, dass die beiden Vektoren \vec{u} und \vec{v} mit \lambda = -0,5 linear abhängig sind. Die Geraden f und g sind somit entweder identisch oder echt parallel. Um das herauszufinden, setzen wir den Punkt \vec{B}=\left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) in f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right) ein und berechnen \lambda

\left( \begin{matrix}5\\ -1\\6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right)

(I)           5 = 1 + \lambda \cdot 2

(II)       -1 = 1 + \lambda \cdot (-1)

(III)           6 = -2 + \lambda \cdot 4

Für \lambda = 2 sind alle drei Gleichungen erfüllt. Das bedeutet, dass \vec{B}=\left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) auf beiden Geraden liegt. Daher sind sie identisch und nicht echt parallel. 

Beispiel 2

Den Schnittpunkt zweier Geraden in Vektordarstellung wollen wir in diesem Beispiel berechnen. Dafür sei gegeben:

f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right)     und     g:\vec{x} = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)

Hier sind die beiden Richtungsvektoren \vec{u} = \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) und \vec{v} = \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) linear unabhängig. Um herauszufinden, ob wir den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen können, oder ob sie windschief zueinander liegen, setzen wir die beiden Funktionen gleich:

\left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)

(I)          1 + 2\cdot \lambda = 2

(II)          0 = 1-1 \cdot \mu

(III)          4 \cdot \lambda = 3 -  \mu

Aus (I) folgt direkt, dass hier \lambda = \frac{1}{2} gelten muss und aus (II) bestimmen wir \mu = 1. Nun setzen wir beides in die dritte Gleichung ein und erhalten 2=2. Damit schneiden sich die beiden Geraden und wir können den Schnittpunkt zweier Geraden durch Einsetzen von \lambda oder \mu berechnen:

\left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right).

schnittpunkt zweier Geraden Raum 3 d
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Schnittpunkt zweier Geraden im Raum

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