Funktionen

Polynomdivision

Hier zeigen wir dir an einem ausführlichen Beispiel wie die Polynomdivision funktioniert. Mit unserem animierten Video verstehst du das Thema sofort. 

Inhaltsübersicht

Polynomdivision einfach erklärt

Bei der Polynomdivision teilst du ein Polynom durch ein anderes. Polynome sind mehrgliedrige Terme, die Potenzen enthalten, wie diese hier:

f(x) = 5x2 + 3x – 12,

g(x) = x – 4.

Mit der Polynomdivision kannst du also zum Beispiel (5x2 + 3x – 12) : (x – 4) ausrechnen. Das funktioniert vom Prinzip her ähnlich wie das schriftliche Teilen in der Grundschule. Am Ende des Artikels findest du einen Absatz dazu, wenn du nicht mehr ganz sicher bist, wie es funktioniert.

Wie genau du auf die unten stehende Lösung kommst, erklären wir dir gleich Schritt für Schritt.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=5x + 23+\frac{80}{x-4} \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&23&x&-12& \\ &&-23&x&+92 \\ \cline{3-5} &&&&80 & \end{alignat*}

Polynomdivision Schritt-für-Schritt Anleitung

Wir wollen nun f(x) = 5x^2 + 3x - 12 durch g(x) = x - 4 teilen:

( 5x2 + 3x -12 ) : ( x – 4 ) = ?

Erster Durchgang

Schritt 1: Im ersten Schritt müssen wir uns überlegen, womit wir x multiplizieren müssen, um 5x^2 zu erhalten. Die Antwort 5x schreiben wir als ersten Teil der Lösung rechts neben das =-Zeichen.

(5x^2 + 3x -12) : (x - 4) = \textcolor{blue}{5x}

Schritt 2: Als nächstes multiplizieren wir die gefundenen 5x mit dem Divisor x-4. Das Ergebnis 5x^2 - 20x schreiben wir unter das erste Polynom. Wie bei der schriftlichen Division müssen wir davor aber noch ein Minus-Zeichen und einen Strich darunter setzen.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=\textcolor{blue}{5x}  \\ \textcolor{blue}{-(5}&\textcolor{blue}{x^2}&\textcolor{blue}{-20}&\textcolor{blue}{x}) \\ \cline{1-3}  \end{alignat*}

Schritt 3: Jetzt ziehen wir 5x^2 - 20x vom Polynom darüber ab und schreiben das Ergebnis unter den Strich. Du siehst, das funktioniert wieder genauso wie beim schriftlichen Teilen normaler Zahlen.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=5x  \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{23}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{-12}&  \end{alignat*}

Zweiter Durchgang

Schritt 4: Mit dem ersten Durchgang sind wir fertig. Die Schritte 1 bis 3 wiederholen wir anschließend mit dem Term, der noch übrig ist: 23x - 12. Wir fragen uns wieder womit man x multiplizieren muss, um 23x zu erhalten. Die Antwort 23 schreiben wir wieder auf die Ergebnisseite rechts:

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=5x + \textcolor{blue}{23} \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&23&x&-12& \\ \cline{3-5} & \end{alignat*}

Schritt 5: Die 23 multiplizieren wir anschließend mit x - 4 und schreiben das Ergebnis unter das Restpolynom. Zum Schluss setzen wir noch ein Minuszeichen davor und ziehen einen Strich darunter.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=5x + \textcolor{blue}{23} \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&23&x&-12& \\ &&\textcolor{blue}{-23}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{+92} \\ \cline{3-5} & \end{alignat*}

Schritt 6: Wieder ziehen wir wir nun das Restpolynom von 23x - 12 ab und schreiben das Ergebnis 80 unter den Strich.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):(x-4)=5x + 23 \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&23&x&-12& \\ &&-23&x&+92 \\ \cline{3-5} &&&&\textcolor{blue}{80} & \end{alignat*}

Dritter Durchgang

Schritt 7: Auch den zweiten Durchgang haben wir damit geschafft. Wenn wir uns jetzt überlegen, womit wir x multiplizieren müssen, um auf 80 zu kommen, dann sehen wir, dass das nicht geht. Wir sind also fast am Ende der Polynomdivision angekommen. Wir müssen nur noch den Rest zum Ergebnis schreiben. Dafür schreiben wir einfach \frac{80}{x-4} zur Lösung.

    \begin{alignat*}{6} (5&x^2&+3&x&-12&):\textcolor{blue}{(x-4)}=5x + 23+\textcolor{blue}{\frac{80}{x-4}} \\ -5&x^2&+20&x \\ \cline{1-3} &&23&x&-12& \\ &&-23&x&+92 \\ \cline{3-5} &&&&\textcolor{blue}{80} & \end{alignat*}

Übrigens, wir haben einen extra Beitrag mit Polynomdivision Aufgaben ! Dort erklären wir dir noch viele weitere Beispiele Schritt für Schritt. 

Nullstellen finden mit der Polynomdivision

Musst du für ein Polynom dritten Grades die Nullstellen berechnen und kennst bereits eine Nullstelle, dann kannst du mit der Polynomdivision einfach die weiteren Nullstellen finden: Du teilst das Polynom einfach durch 1 Minus der gefundenen Nullstelle. Das Ergebnis wird dann ein Polynom zweiten Grades sein für das du dann mit der Mitternachtsformel oder der abc-Formel die Nullstellen bestimmen kannst.

Wiederholung: Schriftliche Division

Wenn du dich noch bestens mit dem schriftlichen Teilen auskennst, kannst du diesen Abschnitt überspringen. Möchtest du die Zahl 2148 durch 6 schriftlich teilen, dann sieht die Lösung dafür so aus:

    \begin{alignat*}{6} 2&1&4&8:6=358 \\ 1&8 \\ \cline{1-2} &3&4 \\ &2&0 \\ \cline{2-3} &&4&8 \\ &&4&8 \\ \cline{3-3} &&& 0 & \end{alignat*}

Was du im Prinzip bei der schriftlichen Division machst, ist Folgendes: Du gehst nacheinander die Ziffern deiner ersten Zahl 2148 durch und versucht immer kleine „Blöcke“ zu bilden, in die die zweite Zahl 6 „hineinpasst“:

  • In die 2 als erste Ziffer würde die 6 nicht hineinpassen. Also nimmst du noch die nächste Ziffer dazu und versuchst die 21.
  • Der erste Block im Beispiel oben ist also 21, denn die 6 passt dreimal rein.

Durch Multiplizieren und Subtrahieren wanderst du dann die erste Zahl entlang bis du zur letzten Ziffer kommst.

Polynomdivision Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir dir zwei Aufgaben vor.

Aufgabe 1: Polynomdivision ohne Rest

Bestimme das Ergebnis der Division des Polynoms f(x) = x^2 + x - 12 durch das Polynom g(x) = x - 3.

Lösung Aufgabe 1

Der Term mit dem höchsten Exponenten von f(x) ist x^2. Wir müssen daher g(x) im ersten Schritt mit x multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist das Polynom x^2 - 3x. Dieses ziehen wir nun von f(x) ab und erhalten als Ergebnis 4x - 12

Das Polynom 4x - 12 besitzt als Term mit dem höchsten Exponenten 4x. Somit müssen wir g(x) diesmal mit 4 multiplizieren und erhalten als Ergebnis 4x - 12. Subtrahieren wir jetzt diese beiden Polynome (4x - 12 und 4x - 12) voneinander, erhalten wir als Ergebnis Null. Damit ist die Polynomdivision zu Ende. Das Gesamtergebnis sieht dann so aus:

    \begin{alignat*}{6} (&x^2&+&x&-12&):(x-3)=x + 4 \\ -&x^2&+3&x \\ \cline{1-3} &&4&x&-12& \\ &&-4&x&+12 \\ \cline{3-5} &&&&0 & \end{alignat*}

Aufgabe 2: Polynomdivision mit Rest

Du hast folgende Polynome gegeben 

f(x) = 5x^3 - 7x + 9 und

g(x) = x - 2.

Bestimme das Ergebnis der Division von f(x) durch g(x).

Lösung Aufgabe 2

Das Polynom f(x) besitzt als Term mit höchsten Exponent den Ausdruck 5x^3. Wir müssen daher g(x) mit 5x^2 multiplizieren und erhalten als Ergebnis das Polynom 5x^3 - 10x^2. Dieses ziehen wir von f(x) ab und bekommen 10x^2 - 7x + 9 (in der Polynomdivision wird immer nur der Term mit dem nächstgrößeren Exponenten verwendet; hier also nur -7x). 

Um 10x^2 zu eliminieren, müssen wir g(x) mit 10x multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist 10x^2 - 20x und die Subtraktion der beiden Polynome 10x^2 - 7x und 10x^2 - 20x führt zu 13x (jetzt wird der Term mit dem nächstgrößeren Exponenten (hier die 9) zu diesem Polynom ergänzt). 

Jetzt multiplizieren wir g(x) mit 13 und ziehen das Ergebnis von 13x + 9 ab. Wir erhalten daraus die Zahl 35, welche einen Exponenten von Null besitzt. Der höchste Exponent von g(x) ist aber 1 und damit ist die Polynomdivision zu Ende. Das Gesamtergebnis sieht dann so aus.

    \begin{alignat*}{7} (5&x^3&&&-7&x&+9):(x-2)=5x^2 + 10x + 13 + \frac{35}{x-2} \\ -5&x^3&+10&x \\ \cline{1-3} &&10&x^2&-7x& \\ &&-10&x^2&+20x \\ \cline{3-5} &&&&13&x+9 \\ &&&&-13&x+26 \\ \cline{5-6} &&&&& 35 & \end{alignat*}

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