Funktionen

Steigungsdreieck

Du möchtest verstehen, was ein Steigungsdreieck ist und wie du es am besten berechnest und zeichnest? Dann bist du hier genau richtig, denn wir erklären es dir mit vielen Bildern und Beispielen!

Du verstehst es besser, wenn es dir jemand anschaulich erklärt? Dann schau dir unbedingt unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

Steigungsdreieck einfach erklärt

Ein Steigungsdreieck brauchst du immer dann, wenn du von einer Funktion die Steigung berechnen  willst.

Es gibt dir an, wie stark sich eine Funktion in einem bestimmten Intervall verändert, also wie groß ihre Steigung ist. Steigungsdreiecke können dabei unterschiedlich groß und an verschiedenen Stellen eingezeichnet werden. Bei linearen Funktionen macht das keinen Unterschied. Am häufigsten wirst du das Steigungsdreieck verwenden, um die Funktionsgleichung  einer linearen Funktion zu bestimmen, konkret bedeutet das, die Steigung m einer Geraden f(x) = m\cdot x + t herauszufinden. 

Prinzipiell kannst du damit aber für jede Funktion mit zwei gegebenen Punkten die durchschnittliche Steigung bestimmen. 

Steigungsdreieck zeichnen

Angenommen, du hast den Funktionsgraphen einer linearen Funktion gegeben und willst nun an der Geraden ein Steigungsdreieck einzeichnen, dann gehst du dabei wie folgt vor:

Gerade lineare Funktion
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Gerade
  • Schritt 1: Wähle zwei beliebige Punkte auf der Geraden aus. Besonders geschickt ist es, die Punkte so zu wählen, dass sie direkt auf einem Kästchen liegen. Hier im Bild wählen wir deshalb P(3|3) und Q(6|5).
Gerade durch zwei Punkte
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Gerade mit P und Q
  • Schritt 2: Bestimme den Punkt C indem du von P ausgehend waagrecht nach rechts läufst und von Q senkrecht nach unten. Der Schnittpunkt der beiden gestrichelten Linien ist der Punkt C
Gerade Steigungsdreieck zeichnen
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Gerade mit rechtwinkligem Dreieck
  • Schritt 3: Zeichne nun das rechtwinklige Steigungsdreieck PQC ein. 
Gerade Steigungsdreieck rechtwinklig
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Gerade mit Steigungsdreieck

Achtung: Da die beiden Punkte P und Q frei wählbar sind, kannst du ganz verschiedene Steigungsdreiecke einzeichnen. Klassischerweise zeichnet man es aber bei steigenden Funktionen unterhalb der Funktion ein und bei fallenden Geraden oberhalb.

Beispiel 1: Steigung einer Geraden

Zeichne ein Steigungsdreieck an die Gerade f(x)= -0,5x+4 ein. Dazu wählen wir die beiden Punkte P(-4|6) und Q(4|2). Den Punkt C finden wir hier, indem wir von P nach rechts laufen und von Q  nach oben. 

Steigungsdreieck Gerade fallend
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Steigungsdreieck einer fallenden Gerade

Steigungsdreieck Formel

Wie genau du mit einem Steigungsdreieck eine Steigung m einer Geraden ausrechnest, zeigen wir dir jetzt. 

Steigungsdreieck Formel

Mit den Punkten P(x_p|y_P) und Q(x_Q|y_Q) ergibt sich die Steigung

m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ y_Q - y_P}{ x_Q - x_P}.

Angenommen du hast einen Funktionsgraphen einer linearen Funktion (also eine Gerade) gegeben, und möchtest ihre Steigung bestimmen. Dann führst du die folgenden Schritte aus:

  • Schritt 1: Zeichne  wie oben beschrieben ein Steigungsdreieck ein. Wähle dazu zuerst zwei beliebige Punkte P und Q
Steigung berechnen Steigungsdreieck
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Steigung bestimmen
  • Schritt 2: Bestimme als nächstes den Abstand der x-Werte \Delta x und den Höhenunterschied \Delta y. Du kannst dabei entweder die Kästchen zählen, oder du berechnest den Wert aus den Koordinaten der beiden Punkte P(x_P|y_P) und Q(x_Q|y_Q). Dazu ziehst du jeweils die beiden x-Werte und die beiden y-Werte voneinander ab:

\Delta x = x_Q - x_P

\Delta y = y_Q -y_P

  • Schritt 3: Berechne nun die Steigung m als

m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ y_Q - y_P}{ x_Q - x_P}

Beispiel 2: Steigungsdreieck berechnen

Hier wollen wir die Steigung der oben abgebildeten Geraden explizit berechnen. Hier sind P(-3|2) und Q(5|6) gegeben. Um m zu bestimmen, berechnen wir zuerst 

\Delta x = 5 - (-3) = 8

\Delta y = 6-2 = 4.

Die beiden Ergebnisse setzen wir jetzt in die Formel ein und erhalten für die Steigung der Geraden

m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ 4}{8} = \cfrac{1}{2}.

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