Funktionen

Scheitelpunktform

In diesem Artikel erklären wir dir, was die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist und wie du sie berechnest. Am Ende findest du einige Aufgaben mit Lösungsvorschlag zum selber üben. 

Du möchtest direkt am Beispiel sehen, wie du den Scheitelpunkt aus der Scheitelform berechnest? Dann ist unser Video%verlinken, wenn verfügbar genau das Richtige für dich!

Inhaltsübersicht

Scheitelpunktform einfach erklärt

Die Scheitelpunktform ist eine Möglichkeit, eine quadratische Funktion%verlinken, wenn verfügbar darzustellen. Sie hat den Vorteil, dass man aus ihr die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel direkt ablesen kann. 

Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

f(x) = a(x-d)^2+e

Hast du eine Parabel in dieser Form gegeben, liegt ihr Scheitelpunkt immer bei S(d|e). Du musst also nicht explizit den Scheitelpunkt berechnen. 

Parabel Scheitelpunkt Scheitel Scheitelpunktform
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Quadratische Funktion in Scheitelpunktform

Der Scheitelpunkt ist der minimale oder maximale Wert, den eine quadratische Funktion annehmen kann – abhängig davon, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Hier im Bild liegt der Scheitelpunkt bei S(4|5)

Achtung: Pass auf, dass du kein Vorzeichen übersiehst! Hast du beispielsweise die Scheitelform f(x)=2(x+1)^2+3 gegeben, so musst du S(-1|3) als Scheitelpunkt berechnen!

Merke: Eine Scheitelpunktform enthält immer eine binomische Formel! Grund hierfür ist ihre Berechnung mittels quadratischer Ergänzung

Scheitelpunkt berechnen

Insgesamt gibt es drei verschiedene Arten von Funktionsgleichungen , mit denen du eine quadratische Funktion beschreiben kannst. Sie lauten:

  1. Allgemeine Form f(x) = ax^2+bx+c (wenn a=1 dann Normalform genannt).
  2. Faktorisierte Form f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) mit Nullstellen x_1 und x_2.
  3. Scheitelpunktform oder Scheitelform f(x) = a(x-d)^2+e mit Scheitel S(d|e).

Jede dieser Formen hat Vor- und Nachteile. Welche du verwendest, hängt in erster Linie davon ab, ob du an den Nullstellen%verlinken wenn verfügbar interessiert bist oder den Scheitelpunkt berechnen willst. 

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Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Wichtig ist in jedem Falle, dass der Parameter a \neq 0 ist, da wir sonst statt einer quadratischen Funktion eine lineare Funktion%verlinken, wenn verfügbar erhalten würden. Das a gibt den Öffnungsgrad der Parabel an und bestimmt, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist.

Wie du die verschiedenen Darstellungsformen ineinander umwandelst und den Scheitelpunkt berechnen ganz einfach wird,  zeigen wir dir jetzt:

Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Am häufigsten rechnest du die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um. Die Idee dabei ist, die binomischen Formeln zu nutzen, um die beiden Formen mittels quadratischer Ergänzung ineinander umzuwandeln.  Ausführlich erklären wir dies im Artikel zur quadratischen Ergänzung%verlinken wenn verfügbar. Hier zeigen wir es dir konkret an einem Beispiel:

Angenommen, du willst die Scheitelform von f(x) =2x^2+12x+1 mittels quadratischer Ergänzung bestimmen.

  • Schritt 1: Klammere den Faktor vor x^2 aus den Termen mit x oder x^2 aus. 

f(x) =2x^2+12x+1 = 2(x^2+6x)+1

  • Schritt 2: Wähle die entsprechende binomische Formel aus.  Das ist hier die erste binomische Formel mit

(a+b)^2 = a^2+2a  b + b^2

2(x^2+6x)+1= 2(x^2+2\cdot 3x)+1.

  • Schritt 3: Wähle a und b der binomischen Formel entsprechend aus. In unserem Beispiel ist a=x und b=3
  • Schritt 4: Ergänze nun quadratisch mit dem fehlenden Term b^2 und ziehe ihn direkt wieder ab. Wir müssen also +3^2-3^2 rechnen und erhalten (nach Anwendung des Assoziativgesetzes)

2(x^2+2\cdot 3x)+1 = 2(x^2+2\cdot 3x+3^2-3^2)+1

=2(x^2+2\cdot 3x+9)-18 +1

=2(x+3)^2-17.

Die Scheitelpunktform von f(x) =2x^2+12x+1 ist somit gleich 2(x+3)^2-17. Daraus können wir  S(-3|-17) direkt ablesen und brauchen nicht extra den Scheitelpunkt berechnen. 

Analog funktioniert das Ganze natürlich auch, wenn du die Normalform in Scheitelform umrechnen möchtest.

Merke: Die Scheitelform ist ein Versuch, eine quadratische Funktion als „binomische Formel mit Rest“ zu interpretieren. 

Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann man jede Parabelgleichung auf die Form einer binomischen Formel bringen:

ax^2+bx+c = a(x-d)^2+e

mit d = -\frac{b}{2a} und e=c-\frac{b^2}{4a}. Setzt du die Werte ein und multiplizierst die binomische Formel aus, erhältst du die linke Seite. 

Scheitelpunktform in Allgemeine Form

Hast du die Scheitelpunktform bereits gegeben und interessierst dich für die allgemeine Form, weil du beispielsweise mit der Mitternachtsformel%verlinken die Nullstellen berechnen%verlinken, wenn verfügbar willst, so brauchst du keine quadratische Ergänzung. Stattdessen multiplizierst du einfach aus. Auf die gleiche Art und Weise kannst du auch die Scheitelpunktform in Normalform umrechnen.

Willst du zum Beispiel die allgemeine Form aus der Scheitelform f(x)=\frac{1}{2}\left( x-2\right)^2-3 berechnen, gehst du wie folgt vor:

  • Schritt 1: Wende die binomische Formel an:

f(x)=\frac{1}{2}\left( x-2\right)^2+3=\frac{1}{2}( x-2)(x-2)-3

  • Schritt 2: Multipliziere die Klammern aus:

\frac{1}{2}( x-2)(x-2)-3= \frac{1}{2} \left( x^2-4x+4\right) - 3

= \frac{1}{2}x^2-2x+2-3

  • Schritt 3: Fasse soweit wie möglich zusammen:

\frac{1}{2}x^2-2x+2-3 = \frac{1}{2}x^2-2x-1

Faktorisierte Form in Scheitelpunktform

Die faktorisierte Form f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) einer quadratischen Gleichung ist insbesondere bei der Nullstellenbestimmung sehr nützlich, weil du sie direkt ablesen kannst. Beispielsweise hat f(x)=2(x-1)(x-5) die beiden Nullstellen x_1=1 und x_2=5. Um diese Form möglichst geschickt in Scheitelform f(x) = a(x-d)^2+e zu bringen, musst  du die Koordinaten S(d|e) vom Scheitelpunkt berechnen. Dazu gehst du folgendermaßen vor:

  • Schritt 1: Bestimme die x-Koordinate d des Scheitelpunkts. Da er genau zwischen den beiden Nullstellen liegt, musst du ihren Mittelwert berechnen: 

d = \cfrac{x_1+x_2}{2} = \cfrac{1+5}{2} = 3 

  • Schritt 2: Berechne die y-Koordinate e des Scheitels, indem du d in f(x) einsetzt.

f(3) = 2(3-1)(3-5)=2\cdot 2 \cdot (-2) = -8 = e

  • Schritt 3: Setze S(d|e) in die Scheitelform ein:

f(x) = 2(x-3)^2-8

Merke: Der Wert für a bleibt in der Scheitelform immer erhalten! 

Scheitelpunktform Aufgaben

Nun zeigen wir dir ein paar Aufgaben mit Lösungen zum Thema Scheitelpunktform und Scheitelpunkt berechnen.

Aufgabe 1: Scheitelpunktform aufstellen

Stelle die Scheitelform einer Normalparabel auf, die den Scheitelpunkt S(-2|4) hat.

Lösung Aufgabe 1:

Um die Scheitelform aus dem Scheitelpunkt S(-2|4) zu berechnen, musst du die Koordinaten einsetzen

f(x) = a(x-(-2))^2+4 = a(x+2)^2+4.

Um den Öffnungsgrad  a der Parabel zu bestimmen, brauchst du noch weitere Informationen, zum Beispiel einen Punkt auf der Parabel. Hier hast du jedoch gegeben, dass es sich um eine Normalparabel handeln soll, das heißt a=1. Die Scheitelpunktform lautet somit

f(x)=(x+2)^2+4.

Aufgabe 2: Scheitelpunkt bestimmen

Bestimme die Koordinaten vom Scheitelpunkt der Parabel f(x)=2x^2-4x-16, indem du die Scheitelpunktform aufstellst. 

Lösung Aufgabe 2:

Um die Scheitelpunktform zu bestimmen,  musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du zuerst den Faktor 2 aus

f(x)=2x^2-4x-16 = 2(x^2-2x)-16.

Das Minus in der Klammer verrät dir, dass du hier die zweite binomische Formel verwenden musst mit a=x und b=1. Du musst also b^2 = 1^2=1 quadratisch ergänzen:

2(x^2-2x)-16 = 2(x^2-2x+1-1)-16.

Das vereinfachst du nun und erhältst die Scheitelpunktform

2(x^2-2x+1-1)-16 = 2(x-1)^2-18.

Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten S(1|-18)

Aufgabe 3: Scheitelform berechnen

Berechne die Scheitelform der quadratischen Gleichung mit f(x) = \frac{1}{2}(x+4)(x-4).

Lösung Aufgabe 3:

Die quadratischen Funktion mit der Gleichung f(x) = \frac{1}{2}(x+4)(x-4) besitzt die beiden Nullstellen x_1=-4 und x_2=4. Da der Scheitel genau dazwischen liegt, ist d=0. Nun müssen wir noch die y-Koordinate vom Scheitelpunkt berechnen. Dazu setzen wir d=0 in die Funktionsgleichung ein und erhalten

f(0) = \frac{1}{2}(0-4)(0+4) = \frac{1}{2} \cdot (-16) = -8.

Als Scheitelpunktform berechnen wir daher f(x) = \frac{1}{2}(x+0)^2-8 = \frac{1}{2}x^2-8. Das hättest du auch direkt ablesen können, wenn du erkannt hast, dass es sich bei f(x) um die dritte binomische Formel handelt. Du könntest den Ausdruck daher schreiben als

f(x) = \frac{1}{2}(x^2-16).

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