Normalform und Scheitelpunktform

Normalform und Scheitelpunktform einfach erklärt

Die Normalform und die Scheitelpunktform einer Parabel kannst du ganz leicht unterscheiden:

• Die Normalform (auch: allgemeine Form) sieht zum Beispiel so aus:

2x² – 4x – 2

Allgemein hat die Normalform einer quadratischen Funktion immer die Struktur ax² + bx + c. Dabei kannst du für a, b und c verschiedene Zahlen wählen, wie oben im Beispiel 2, -4 und-2. 

• Die Scheitelpunktform zur Normalform 2x² – 4x – 2 lautet: 

2 • (x – 1)² – 4

Allgemein erkennst du immer die Struktur a • (x – d)² + e. Die Buchstaben a, d und e stehen dabei stellvertretend für Zahlen. 

An der Normalform kannst du den Schnittpunkt mit der y-Achse direkt ablesen. Bei der Scheitelpunktform erkennst du sofort den Scheitelpunkt. Daher musst du die beiden Formen oft ineinander umwandeln. Aber wie genau kannst du quadratische Funktionen umformen?

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass du daran direkt den Scheitelpunkt einer Parabel ablesen kannst. Deshalb formst du oft eine Normalform in die Scheitelpunktform um.

Dafür brauchst du mit der quadratischen Ergänzung nur 5 Schritte. Schau dir diese am Beispiel 2x² – 4x – 2 an:

• Schritt 1: Klammer die Zahl vor dem x² aus:
  

2 • (x² – 2x – 1)

• Schritt 2: Nimm die Hälfte der Zahl vor dem x (hier: Hälfte von 2 = 1). Addiere (+) und subtrahiere (-) das Quadrat dieser Zahl. Deshalb sprichst du auch von quadratischer Ergänzung.
  

2 • (x² – 2x + 1² – 1²– 1)

• Schritt 3: Bei (x² – 2x + 1²) kannst du eine binomische Formel rückwärts anwenden. Verwende dafür eine Klammer im Quadrat:
  In die Klammer schreibst du x – oder x + und dahinter die Zahl, die im Quadrat dasteht. Ob + oder – entscheidet das Vorzeichen vor dem 2x, hier also –. 

2 • ((x – 1)² – 1²– 1)

• Schritt 4: Rechne die beiden Zahlen hinter der Klammer zusammen (hier: – 1²– 1 = -2):

2 • ((x – 1)² – 2)

• Schritt 5: Löse die Klammern auf . Schreibe dafür die Zahl ganz vorne vor die Klammer und nimm sie mal die hintere Zahl (hier: 2 • (-2) = -4). 

2 • (x – 1)² – 4

Super, schon hast du deine Scheitelpunktform! Hier siehst du die Schritte nochmal im Überblick:

Übrigens: An der Scheitelpunktform kannst du sofort den Scheitelpunkt ablesen. Die x-Koordinate ist die Zahl in der Klammer (mit geändertem Vorzeichen!) und die y-Koordinate ist die Zahl hinter der Klammer. Der Scheitelpunkt S ist im Beispiel also:

S(1|-4)

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

Die Normalform einer quadratischen Funktion brauchst du, wenn du zum Beispiel die Mitternachtsformel oder die pq-Formel anwenden willst, um Nullstellen zu finden. Außerdem kannst du an der Normalform ganz leicht den Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) ablesen.

Deshalb musst du oft die Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln. Dafür brauchst du nur 3 einfache Schritte. Schau sie dir am Beispiel einer quadratischen Funktion an:

• Schritt 1: In der Scheitelpunktform 2 • (x – 1)² – 4 findest du die binomische Forme l (x – 1)² . Wenn du sie auflöst, erhältst du:

2 • (x² – 2x + 1) – 4

• Schritt 2: Multipliziere aus . Nimm dafür die 2 mit jedem Teil in der Klammer mal:
  

2x² – 4x + 2 – 4

• Schritt 3: Reche die beiden hinteren Zahlen zusammen (hier: 2 – 4 = -2):

2x² – 4x – 2

Prima! Damit hast du deine Normalform der Parabel gefunden!

Übrigens: An der Normalform kannst du sofort den Schnittpunkt S der Parabel mit der y-Achse ausrechnen. Er liegt bei S(0|-2).

Quadratische Ergänzung

Du hast gesehen, dass du die quadratische Ergänzung brauchst, um die Normalform einer quadratischen Funktion in eine Scheitelpunktform umzuformen. Du möchtest dazu noch mehr Beispiele sehen und Aufgaben rechnen? Dann schau dir unser Video und unseren Artikel an!