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Dezimalzahl in Bruch

Hier und im Video lernst du Schritt für Schritt, wie du jede Art von Dezimalzahl sicher in einen Bruch verwandelst und dein Ergebnis überprüfst.

Inhaltsübersicht

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Ob du eine Dezimalzahl als Bruch schreiben kannst, hängt von der Zahl selbst ab. Nicht jede Dezimalzahl lässt sich in einen Bruch umwandeln.

Das funktioniert nur bei Zahlen, deren Nachkommastellen enden oder sich regelmäßig wiederholen. Solche Zahlen nennst du rational.

Du unterscheidest bei rationalen Dezimalzahlen drei Arten:

Endliche Dezimalzahlen wie 0,5 oder 1,25
Periodische Dezimalzahlen wie $0.\overline{3}$ …
Gemischtperiodische Dezimalzahlen wie 0,12343434…

Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne Muster kannst du nicht als Bruch schreiben. Ein Beispiel ist π = 3,1415926535…

Wie du rationale Dezimalzahlen in einen Bruch umwandelst, schauen wir uns jetzt Schritt für Schritt an.

Endliche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Endliche Dezimalzahlen haben nur eine feste Anzahl an Nachkommastellen. Zum Beispiel 0,5 oder 2,75. Die Zahlen hören nach einigen Stellen auf.

So wandelst du eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch um:

Schreibe die Zahl ohne Komma in den Zähler.
Schreibe als Nenner eine 1 mit so vielen Nullen, wie die Zahl Nachkommastellen hat.
Kürze den Bruch, wenn möglich.

Schauen wir uns das an ein paar Beispielen an.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1: 0,75 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Komma weglassen
Zuerst schreibst du die Dezimalzahl ohne Komma auf. Aus 0,75 wird 75. Diese 75 kommt in den Zähler des Bruchs:

$\frac{75}{}$

Schritt 2: Nenner bilden
Jetzt schaust du, wie viele Stellen hinter dem Komma bei der Dezimalzahl stehen. 0,75 hat zwei Nachkommastellen. Also brauchst du im Nenner eine 1 mit zwei Nullen. Das macht 100:

0,75 = $\frac{75}{100}$

Schritt 3: Bruch kürzen
Nun kürzt du den Bruch. Das heißt, dass teilst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

75 und 100 kannst du beide durch 25 teilen.

75 : 25 = 3
100 : 25 = 4

→ Ergebnis: 0,75 = $\mathbf{\frac{3}{4}}$

Tipp: Wenn du dein Ergebnis überprüfen willst, kannst du den Bruch als Division in deinem Taschenrechner eingeben. Kommt deine ursprüngliche Dezimalzahl heraus, ist dein Bruch korrekt!

Beispiel 2: 3,482 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Komma weglassen
Zuerst schreibst du die Dezimalzahl ohne Komma auf. Aus 3,482 wird 3482. Diese 3482 kommt in den Zähler des Bruchs.

$\frac{3482}{}$

Schritt 2: Nenner bilden
Schau dir jetzt an, wie viele Stellen hinter dem Komma stehen. Bei 3,482 sind das drei. Deshalb brauchst du im Nenner eine 1 mit drei Nullen — also 1000:

3,482 = $\frac{3482}{1000}$

Schritt 3: Bruch kürzen
Jetzt kürzt du den Bruch. Beide Zahlen kannst du nur durch 2 teilen.

3482 : 2 = 1741
1000 : 2 = 500

→ Ergebnis: 3,482 = $\mathbf{\frac{1741}{500}}$

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Eine periodische Dezimalzahl erkennst du daran, dass sich eine oder mehrere Ziffern hinter dem Komma wiederholen. Diesen wiederholenden Teil nennst du eine Periode. Die Periode erkennst du auch an einem Strich über der Ziffer oder der Zifferngruppe.

0,777… ( $0.\overline{7}$ ) → Die 7 wiederholt sich.
2,4545 … ( $2.\overline{45}$ ) → Die 45 wiederholt sich.

So gehst du vor, wenn du eine periodische Zahl in einen Bruch umwandeln möchtest:

Trenne die Zahl vor dem Komma von der Periode.
Schreibe die Periode in den Zähler.
Schreibe für jede Ziffer der Periode eine 9 in den Nenner und kürze den Bruch, wenn möglich.
Addiere die ganze Zahl wieder dazu.

Schauen wir uns auch dazu wieder zwei Beispiele an.

Beispiel 1: 2,7777 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Periode trennen
Du prüfst zuerst: Was steht vor dem Komma? Das ist die 2.
Dann schaust du: Was wiederholt sich? Das ist die 7.
Also hast du: die ganze Zahl 2 und die Periode 7.

Schritt 2: Periode in den Zähler
Die Periode 7 schreibst du als Zähler:

$\frac{7}{}$

Schritt 3: Neun in den Nenner
Die Periode hat eine sich wiederholende Ziffer. Deshalb kommt nur eine 9 in den Nenner.

So wird aus der Periode der Bruch $\frac{7}{9}$

Diesen Bruch kannst du nicht weiter kürzen, weil 7 und 9 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Damit ist der Bruch bereits vollständig gekürzt.

Schritt 4: Ganze Zahl dazurechnen
Jetzt rechnest du noch die Zahl dazu, die vor dem Komma stand:

2 + $\mathbf{\frac{7}{9}}$

Damit du sie addieren kannst, brauchst du denselben Nenner. Dafür schreibst du die 2 zuerst als Bruch:

2 = $\mathbf{\frac{2}{1}}$

Jetzt machst du aus $\mathbf{\frac{2}{1}}$ einen Bruch mit dem Nenner 9. Das heißt, du multiplizierst Zähler und Nenner mit 9:

$\frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{18}{9}$

Jetzt kannst du die beiden Brüche addieren:

$\frac{18}{9} + \frac{7}{9} = \frac{25}{9}$

→ Ergebnis: $2,\overline{7}$ = $\mathbf{\frac{25}{9}}$

Beispiel 2: 0,3636 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Trennen
Vor dem Komma steht 0.
Die Periode ist 36, weil sich genau diese zwei Ziffern wiederholen.

Schritt 2: Periode in den Zähler
Du schreibst die Periode 36 in den Zähler:

$\frac{36}{}$

Schritt 3: Neun in den Nenner
Die Periode hat zwei Ziffern. Deshalb schreibst du zwei Neunen in den Nenner:

$0.\overline{36}$ = $\mathbf{\frac{36}{99}}$

Jetzt kannst du kürzen, damit der Bruch einfacher wird.
36 und 99 sind beide durch 9 teilbar:

36 : 9 = 4
99 : 9 = 11

Damit wird daraus: $\mathbf{\frac{36}{99}} = \mathbf{\frac{4}{11}}$

Schritt 4: Ganze Zahl dazurechnen
Vor dem Komma stand eine 0. Das heißt, dass du nichts dazurechnen musst.

→ Ergebnis: $0.\overline{36} = \mathbf{\frac{4}{11}}$

Gemischtperiodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Eine gemischtperiodische Dezimalzahl hat zwei Teile hinter dem Komma:

zuerst einen nicht periodischen Teil, der sich nicht wiederholt
danach eine Periode, die sich wiederholt

Zum Beispiel steht bei $3.1\overline{45}$ hinter dem Komma nur einmal die 1. Danach wiederholt sich die 45.

Um eine gemischtperiodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, gehst du diese vier Schritte durch:

Multipliziere die Zahl so oft mit 10, bis nur noch die Periode hinter dem Komma steht.
Wandle die Periode in einen Bruch um und setze so viele Neunen wie Stellen in den Nenner.
Wandle die ganze Zahl in einen passenden Bruch um und addiere die beiden Brüche.
Teile das Ergebnis wieder durch 10, genauso oft wie du vorher malgenommen hast.
Kürze den Bruch, wenn möglich.

Wie das geht, siehst du an den folgenden Beispielen.

Beispiel 1: 3,14545 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Mit 10 multiplizieren
Nach dem Komma steht zuerst eine einzelne Ziffer, die nicht periodisch ist. Deshalb multiplizierst du die Zahl einmal mit 10.

$3.1\overline{45}$ · 10 = $31.\overline{45}$

Jetzt beginnt die Periode direkt nach dem Komma.

Schritt 2: Periode in einen Bruch umwandeln
Trenne die Periode vom Rest der Dezimalzahl. Hier wiederholt sich die 45, also heißt das:

Ganze Zahl = 31
Periode= 45

Um die Periode in einen Bruch umzuwandeln, zählst du die Ziffern. Die Periode hat zwei Ziffern. Deshalb kommen zwei Neunen in den Nenner:

$\frac{45}{99}$

Jetzt kürzt du $\frac{45}{99}$ . Beide Zahlen sind durch 9 teilbar.

45 : 9 = 5
99 : 9 = 11

Also: $\frac{45}{99}$ = $\frac{5}{11}$

Schritt 3: Ganze Zahl umwandeln und die beiden Brüche addieren
Wandle zuerst die ganze Zahl 31 in einen Bruch um. Dafür schreibst du eine 1 in den Nenner:

$\frac{31}{1}$

Damit du die $\frac{31}{1}$ und $\frac{5}{11}$ addieren kannst, müssen beide Brüche denselben Nenner haben. Der Bruch $\frac{5}{11}$ hat schon den Nenner 11. Also bringst du jetzt auch die $\frac{31}{1}$ Zähler und Nenner mit 11:

$\frac{31}{1} = \frac{31 \cdot 11}{1 \cdot 11} = \frac{341}{11}$

Jetzt kannst du die Brüche addieren:

$\frac{341}{11} + \frac{5}{11} = \frac{346}{11}$

Schritt 4: Wieder durch 10 teilen
Am Anfang hast du einmal mit 10 multipliziert. Jetzt musst du wieder durch 10 teilen.

$\frac{346}{11}$ ÷ 10

Durch 10 teilen heißt: Den Nenner mit 10 multiplizieren.

$\frac{346}{11}$ = $\frac{346}{110}$

Schritt 5: Kürzen
Beide Zahlen sind durch 2 teilbar.

346 : 2 = 173

110 : 2 = 55

→ Ergebnis: $3.1\overline{45}$ = $\mathbf{\frac{173}{55}}$

Beispiel 2: 0,26888 in einen Bruch umwandeln

Schritt 1: Mit 10 multiplizieren
Es stehen zwei nicht periodische Ziffern hinter dem Komma. Deshalb multiplizierst du zweimal mit 10.

$0.26\overline{8}$ · 10 = $2.6\overline{8}$

$2.6\overline{8}$ · 10 = $26.\overline{8}$

Jetzt beginnt die Periode direkt nach dem Komma.

Schritt 2: Periode in einen Bruch umwandeln
Trenne wieder die Periode vom Rest der Dezimalzahl. Hier wiederholt sich nur die 8. Die 26 gehört noch nicht zur Periode.

Ganze Zahl: 26
Periode: 8

Eine Ziffer in der Periode bedeutet, dass du eine 9 in den Nenner setzen musst:

$\frac{8}{9}$

Schritt 3: Ganze Zahl umwandeln und die Brüche addieren
Zuerst schreibst du die 26 als Bruch:

$\frac{26}{1}$

Jetzt bringst du diesen Bruch auf den Nenner 9. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner mit 9:

$\frac{26}{1} = \frac{26 \cdot 9}{1 \cdot 9} = \frac{234}{9}$

Jetzt kannst du addieren:

$\frac{234}{9} + \frac{8}{9} = \frac{242}{9}$

Schritt 4: Wieder durch 10 teilen
Du hast zweimal mit 10 multipliziert. Also teilst du jetzt durch 100.

$\frac{242}{9}$ ÷ 100

Das ergibt: $\frac{242}{900}$

Schritt 5: Kürzen
Beide Zahlen sind durch 2 teilbar.

242 : 2 = 121
900 : 2 = 450

→ Ergebnis: $0.26\overline{88}$ = $\mathbf{\frac{121}{450}}$

Wichtige Dezimalzahlen als Brüche

Manche Dezimalzahlen kommen in Aufgaben immer wieder vor. Wenn du ihre Bruchschreibweise kennst, sparst du Zeit und rechnest schneller.

Häufige endliche Dezimalzahlen

Dezimalzahl	Bruch
0,5	1/2
0,2	1/5
0,4	2/5
0,8	4/5
0,05	1/20
0,125	1/8
0,375	3/8

Häufige periodische Dezimalzahlen

Dezimalzahl	Bruch
0,3	1/3
0,6	2/3
0,1	1/9
0,4	4/9
0,27	3/11

Bruchrechnen

Sehr gut — jetzt weißt du, wie du Dezimalzahlen sicher in Brüche umwandelst! Wenn du lernen willst, wie du mit diesen Brüchen weiterrechnest, haben wir hier einen passenden Beitrag für dich!

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