Mathematische Grundlagen
Binomische Formeln
 – Video

Mit den binomischen Formeln kannst du leicht Klammern mit einem hoch 2 ausmultiplizieren, aber wie funktioniert das bei x hoch 3, x hoch 4 oder sogar x hoch 5? Das zeigen wir dir hier. Schaue dir auch unser passendes Video dazu an

Binomische Formel mit Exponent 3 einfach erklärt

Du kennst wahrscheinlich schon die 1. binomische Formel (a+b)2=a2+2ab+b2 und die 2. binomische Formel (a-b)2=a2-2ab+b2. Sie sind eine praktische Hilfe beim Ausrechnen und Umformen von Gleichungen, aber sie funktionieren nur bei x hoch 2. Was machst du, wenn der Exponent deines Binoms größer als 2 ist?

Zum Glück gibt es auch binomische Formeln hoch 3.

Binomische Formeln

    \begin{align*} (a\textcolor{red}{+}b)^3 &= a^3 \textcolor{red}{+} 3a^2b \textcolor{red}{+} 3ab^2 \textcolor{red}{+} b^3 \\ (a \textcolor{blue}{-}b)^3 &= a^3 \textcolor{blue}{-} 3a^2b\textcolor{red}{+}3ab^2\textcolor{blue}{-}b^3 \end{align*}

Binomische Formel hoch 3

Schaue dir zum Beispiel die Formel (a+b)3. Um binomische Terme mit dem Exponent 3 zu vereinfachen, rechnest du zuerst die Potenz aus. Dafür schreibst du deinen Term als Produkt von (a+b) und einer Klammer hoch 2 der ersten binomischen Formel (a+b)2.

    \[ (a+b)^3 = (a+b)\cdot (a+b)^2 \]

Die erste binomische Formel kennst du schon und kannst sie auflösen. Du ersetzt deshalb die Klammer hoch 2 durch (a+b)2 = (a2+2ab+b2):

    \[  (a+b)^3 = (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) \]

Als nächstes multiplizierst du die übrigen zwei Klammern aus. Du rechnest also (a+b) mal jeden Term in der zweiten Klammer (a2, 2ab und b2). Danach musst du noch einmal ausmultiplizieren, indem du die (a+b)-Klammern auflöst. Du bekommst dann zunächst einen langen und komplizierten Ausdruck.

    \begin{align*} (a+b)^3 &= (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\ (a+b)^3 &= (a+b)\cdot a^2 + (a+b)\cdot 2ab + (a+b)\cdot b^2 \\ (a+b)^3 &= a^3+\textcolor{blue}{a^2b} +\textcolor{blue}{2a^2b}+\textcolor{red}{2ab^2} + \textcolor{red}{ab^2}+b^3 \end{align*}

Du kannst ihn aber noch vereinfachen, indem du die farbigen Terme zusammenfasst. Dann bekommst du die binomische Formel mit dem Exponent 3 heraus:

    \[ (a+b)^3 = a^3 + \textcolor{blue}{3a^2b} + \textcolor{red}{3ab^2} + b^3\]

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele dazu an. Was ist das Ergebnis von (x+1)3? Das kannst Du mit der binomischen Formel hoch 3 ganz einfach lösen!

    \[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]

Natürlich kannst du auch die 2. binomische Formel hoch 3 rechnen. Was ist zum Beispiel (x-1)3?

    \[ (x-1)^3 = x^3 -3x +3x -1 \]

Mathe Binomische Formeln hoch 3

    \begin{align*} (a\textcolor{red}{+}b)^3 &= a^3 \textcolor{red}{+} 3a^2b \textcolor{red}{+} 3ab^2 \textcolor{red}{+} b^3 \\ (a \textcolor{blue}{-}b)^3 &= a^3 \textcolor{blue}{-} 3a^2b\textcolor{red}{+}3ab^2\textcolor{blue}{-}b^3 \end{align*}

Binomische Formeln hoch 4

Auf die gleiche Weise kannst du deine Aufgaben ausrechnen, wenn du eine Binom. Formel hoch 4 auflösen magst. Du kannst hoch 4 auch als deine binomische Formel hoch 3 mal (a+b) schreiben.

    \[ (a+b)^4 = (a+b)\cdot(a+b)^3 \]

Das Ergebnis von (a+b)³ kennst du schon. Das kannst du jetzt wie vorher mit der Klammer multiplizieren.

    \begin{align*} (a+b)^4 &= (a+b)\cdot (a^3 + 3a^3b +3ab^2 + b^3) \\ (a+b)^4 &= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^3 \end{align*}

Mathe Binomische Formeln hoch 4

    \begin{align*} (a\textcolor{red}{+}b)^4 &= a^4 \textcolor{red}{+} 4a^3b \textcolor{red}{+} 6a^2b^2 \textcolor{red}{+} 4 ab^3 \textcolor{red}{+} b^4\\ (a\textcolor{blue}{-}b)^4 &= a^4\textcolor{blue}{-} 4a^3b \textcolor{red}{+} 6a^2b^2 \textcolor{blue}{-} 4 ab^3 \textcolor{red}{+} b^4 \end{align*}

Schaue dir das am besten an einem Beispiel an: Was ist (x+2)4 und (x-2)4?

    \begin{align*} (x+2)^4 &= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \\ (x-2)^4 &= x^4 - 8x^3 + 24x^2 -32x + 16 \end{align*}

Binomische Formeln hoch 5

Eine Binom. Formel hoch 5 wird dir wahrscheinlich sehr selten begegnen, aber für alle Fälle haben wir dir auch dafür die richtige Formel ausgerechnet. Du kannst sie wie die binomische Formel hoch 3 und hoch 4 auch per Hand ausrechnen.

Mathe Binomische Formeln hoch 5

    \begin{align*} (a\textcolor{red}{+}b)^5 &= a^5 \textcolor{red}{+} 5a^4b \textcolor{red}{+} 10a^3b^2 \textcolor{red}{+} 10 a^2b^3 \textcolor{red}{+} 5ab^4 \textcolor{red}{+} b^5\\ (a\textcolor{blue}{-}b)^5 &= a^5 \textcolor{blue}{-} 5a^4b \textcolor{red}{+} 10a^3b^2\textcolor{blue}{-} 10 a^2b^3 \textcolor{red}{+} 5ab^4 \textcolor{blue}{-} b^5\\ \end{align*}

Auch hierfür haben wir dir ein Beispiel ausgerechnet. Was ist das Ergebnis, wenn du (x+2)5 mit der binomischen Formel hoch 5 umformst?

    \[ (x+2)^2 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 \]

Pascalsches Dreieck

Wenn du noch höhere Exponenten ausrechnen willst, hilft dir das Pascalsche Dreieck weiter. Daran kannst du sofort erkennen, wie deine binomischen Formeln aussehen. Schaue dir gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Pascalsches Dreieck
Zum Video: Pascalsches Dreieck

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