Mathematische Grundlagen
Binomische Formeln
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Du möchtest wissen was das Pascalsche Dreieck ist und wozu du es brauchst? Das erklären wir dir in diesem Beitrag anschaulich an vielen Bildern. In unserem Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du das Dreieck konstruierst und wie du es nutzen kannst.

Pascalsches Dreieck einfach erklärt

Das Pascalsche Dreieck ist ein Schema, in dem Zahlen pyramidenförmig angeordnet sind. Es hilft dir beim Aufstellen von binomischen Formeln oder bei der Ermittlung vom Binomialkoeffizienten . Das Pascalsche Dreieck kann unendlich erweitert werden. Dabei ergeben sich die Einträge in den Kästchen aus der Summe der beiden darüberliegenden Kästchen.

Pascalsches Dreieck
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Pascalsches Dreieck

 Schauen wir uns zuerst an, wie du das Dreieck konstruierst!

Konstruktion Pascalsches Dreieck

Um das Pascal Dreieck zu konstruieren, startest du mit der Zahl 1. Danach kommt je Zeile eine weitere Zahl hinzu. Die erste und letzte Zahl einer Reihe, also die äußeren Zahlen des Dreiecks, sind dabei immer nur Einsen. Alle anderen Zahlen ergeben sich durch Addition der beiden darüberliegenden Zahlen.

Beispiel: Da 1 + 2 = 3, steht unter den Zahlen 1 und 2 die 3

Hier hat das Dreieck 6 Reihen. Du kannst es aber unendlich erweitern. Dazu zählst du einfach immer nebeneinander liegende Zahlen zusammen und schreibst das Ergebnis in das Kästchen darunter. 

Pascalsches Dreieck Binomische Formeln

Das Pascalsche Dreieck ist eine sehr große Hilfe beim Ausmultiplizieren  von Klammern. Du kannst damit nämlich die binomischen Formeln ermitteln. Hast du ein Binom der Form (a+b)n gegeben, kannst du die Koeffizienten der Formel einfach ablesen.

Die Zahlenwerte im Pascalschen Dreieck sind also die Zahlen, die in der Formel vor den Variablen stehen. Der Exponent n des Binoms gibt dabei die Zeilennummer an. Beachte dabei, dass das Pascalsche Dreieck bei Zeile 0 beginnt. 

Pascalsches Dreieck binomische Formeln
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Binomische Formeln im Pascalschen Dreieck

Binomialkoeffizient Pascalsches Dreieck

Eine weitere Information, die du dem Pascalschen Dreieck entnehmen kannst, ist der Binomialkoeffizient .

Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus einer Menge n zu ziehen.

Dazu nummerierst du die Zeilen und Spalten jeweils bei 0 beginnend. Die Zeilen stehen dabei für n, die Spalten für k. Du findest das Ergebnis für \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{n} \\ \textcolor{orange}{k} \end{array} \right) also in der n-ten Zeile und der k-ten Spalte

Binomialkoeffizient Pascalsches Dreieck, Pascalsches Dreieck n über k
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Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck

Beispiel

Finde den Binomialkoeffizienten \left( \begin{array}{c}3 \\ 2 \end{array} \right) heraus.

Da n=3, musst du dir die 3. Zeile anschauen. Da k= 2, steht das Ergebnis in der 2. Spalte. Beachte dabei, dass die Zeilen und Spalten bei 0 beginnen. \left( \begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{orange}{2} \end{array} \right) = \textcolor{green}{3}.

Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient, Binomialkoeffizient ermitteln
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Beispiel: Binomialkoeffizient im Pascalschen Dreieck

Aber warum ist das so?

Die Zahl, die in einem Kästchen steht, gibt jeweils die Anzahl an verschiedenen Wegen an, die es dorthin gibt. Dabei beginnst du an der Spitze, also beim ersten Kästchen 1. Um dein Ziel zu erreichen darfst du dich nur abwärts bewegen.

Beispiel: Willst du das Kästchen mit der Zahl 4 erreichen, gibt es dazu 4 verschiedene Möglichkeiten.

Pascalsches Dreieck, Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient
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Wege im Pascalschen Dreieck

1.Weg: 1 → 1 → 1 → 1 → 4

2.Weg: 1 → 1 → 1 → 3 → 4

3.Weg: 1 → 1 → 2 → 3 → 4

4.Weg: 1 → 1 → 2 → 3 → 4

Um die 1 zu erreichen gibt es nur einen einzigen Weg. Zur 3 gibt es 3 verschiedene Wege. Da du dich ja nur abwärts bewegen darfst, kannst du die 4 nur über die Kästchen darüber erreichen, also über 1 oder 3. Deshalb addierst du bei der Konstruktion des Dreiecks immer die darüberliegenden Zahlen. 

Binomialkoeffizient

Mehr dazu findest du in unserem extra Video zum Thema. Dort erhältst du alle wichtigen Infos zum Binomialkoeffizienten einfach erklärt. Schau es dir gleich an!

Zum Video: Binomialkoeffizient
Zum Video: Binomialkoeffizient

 

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