Wie du mit zwei Methoden den größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden kannst, zeigen wir dir hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Was ist der größte gemeinsame Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt.
➡️ Beispiel:
Der ggT von 36 und 42 ist 6, denn 36 ÷ 6 = 6 und 42 ÷ 6 = 7 → beides geht ohne Rest auf.
Du kannst das so aufschreiben: ggT(36, 42) = 6
Es gibt zwei Wege, den ggT zu bestimmen:
- die Teilermethode und
- die Primfaktorzerlegung.
Teilermethode
Die Teilermethode funktioniert am besten bei kleinen bis mittelgroßen Zahlen. Du ermittelst alle Teiler einer Zahl und prüfst dann, welcher davon auch die andere Zahl teilt.
So gehst du vor:
Schritt 1: Schreibe alle Teiler der kleineren Zahl auf. Um alle Teiler zu finden, benutzt du Teilerpaare: Suche immer zwei Zahlen, die miteinander multipliziert die Ausgangszahl ergeben. Fange bei 1 an und arbeite dich nach oben vor, bis sich die Paare wiederholen.
➡️Beispiel:
Du suchst den ggT von 36 und 48. Zuerst bestimmst du also alle Teilerpaare von 36:
| Teiler 1: | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
| Teiler 2: | 36 | 18 | 12 | 9 | 6 |
Die Teiler von 36 sind also: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Schritt 2: Jetzt prüfst du, welchen dieser Teiler du auch bei der größeren Ausgangszahl anwenden kannst. Beginne bei der größten Zahl.
➡️Beispiel:
- 48 ÷ 36 → geht nicht ✗
- 48 ÷ 18 → geht nicht ✗
- 48 ÷ 12 = 4 → geht ohne Rest auf ✓
Schritt 3: Der erste Teiler, der auch die größere Zahl ohne Rest teilt, ist der ggT.
➡️Beispiel: ggT(36, 48) = 12
Tipp: Teilt die kleine Zahl die große ohne Rest auf, ist die kleinere Zahl auch gleichzeitig der ggT. Zum Beispiel suchst du den ggT von 48 und 16.
48 ÷ 16 = 3 → die Rechnung geht ohne Rest auf. Daher ist 16 der ggT.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Primfaktorzerlegung
Du kannst den ggT auch über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Das hilft dir besonders bei großen Zahlen.
So gehst du vor:
Schritt 1: Teile beide Zahlen durch möglichst kleine Primzahlen — das sind beispielsweise 2, 3 oder 5.
➡️Beispiel:
Du suchst den ggT von 360 und 450:
- 360 lässt sich durch 2 teilen. Daraus ergibt sich die Zerlegung 2 · 180
- 450 lässt sich auch durch 2 teilen. Daraus ergibt sich die Zerlegung 2 · 225
Schritt 2: Wiederhole den ersten Schritt, bis die Zerlegung nur noch aus Primzahlen besteht.
➡️Beispiel:
| So kannst du 360 zerlegen: | So kannst du 450 zerlegen: |
| 2 · 180 2 · 2 · 90 2 · 2 · 3 · 30 2 · 2 · 3 · 2 · 15 2 · 2 · 3 · 2 · 3 · 5 |
2 · 225 2 · 5 · 45 2 · 5 · 5 · 9 2 · 5 · 5 · 3 · 3 |
Du kannst die Faktoren noch von klein nach groß sortieren — das ist übersichtlicher:
- 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
- 450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5
Schritt 3: Schau dir nun an, welche Faktoren in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Wenn du diese Faktoren multiplizierst, erhältst du den ggT.
➡️Beispiel:
In den Zerlegungen von 360 (2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5) und 450 (2 · 3 · 3 · 5 · 5) doppeln sich die Faktoren 2 · 3 · 3 · 5. Multiplizierst du diese, erhältst du 90. Das ist also der gesuchte größte gemeinsame Teiler.
ggT(360, 450) = 90
Wichtig: Doppeln sich die Zahlen in den Zerlegungen mehrfach, musst du sie auch mehrfach in die Multiplikation aufnehmen.
Um schnell kleine Primfaktoren zu finden, kannst du diese drei Teilbarkeitsregeln
anwenden:
- Gerade Zahlen kannst du immer durch 2 teilen.
- Kannst du die Quersumme einer Zahl durch 3 teilen, kannst du auch die Zahl durch 3 teilen.
- Wenn eine Zahl auf 0 oder 5 endet, kannst du sie durch 5 teilen.
Den ggT von drei Zahlen bestimmen
Wenn du den ggT von drei Zahlen bestimmen möchtest, nutzt du am besten die Primfaktorzerlegung. Am Ende multiplizierst du dann nur die Primfaktoren, die in allen drei Zahlen vorkommen.
➡️Beispiel:
Du suchst den ggT(24, 36, 60).
| So kannst du 24 zerlegen: | So kannst du 36 zerlegen: | So kannst du 60 zerlegen: | |
| 1. Schritt | 2 · 12 | 2 · 18 | 2 · 30 |
| 2. Schritt | 2 · 2 · 6 | 2 · 2 · 9 | 2 · 2 · 15 |
| 3. Schritt | 2 · 2 · 2 · 3 | 2 · 2 · 3 · 3 | 2 · 2 · 3 · 5 |
Für die Multiplikation fällt die 5 weg, weil sie nicht in allen drei Zahlen vorkommt. Die 2 kommt in jeder Zerlegung mindestens zweimal vor. Daher musst du sie auch zweimal beachten. Die 3 kommt bei allen nur mindestens einmal vor.
ggT(24, 36, 60) = 2 · 2 · 3 = 12
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Mit dem ggT kannst du auch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen bestimmen. Das erhältst du, wenn du die erste Zahl mit der zweiten multiplizierst und dann durch den ggT teilst.
➡️Beispiel:
Der ggT von 36 und 48 ist 12. Nun suchst du noch das kgV der beiden Zahlen:
kgV(36, 48) = 
= 
= 144
Das kgV von 36 und 48 ist also 144.
Mehr zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen und wie du es auch ohne ggT bestimmst, erfährst du in unserem Video zum kgV!
