Das Distributivgesetz ermöglicht es dir, Klammern aufzulösen und Terme zu vereinfachen. Wie du es anwendest, erfährst du hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Distributivgesetz einfach erklärt
Das Distributivgesetz beschreibt, wie du eine Zahl mit einer Klammer mal nimmst. Statt zuerst die Klammer auszurechnen, rechnest du die Zahl vor der Klammer mit den einzelnen Zahlen in der Klammer mal.
➡️ Beispiel: 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3) = 8 + 12 = 20
Als Formel sieht das Distributivgesetz so aus:
- a · (b + c) = a · b + a · c
- a · (b − c) = a · b − a · c
Wichtig: Das Distributivgesetz gilt nur, wenn in der Klammer ein Plus oder Minus steht — nicht bei Mal oder Geteilt!
Klammern ausmultiplizieren mit Zahlen
Schauen wir uns nun an, wie du das Distributivgesetz Schritt für Schritt anwendest. Zuerst nimmst du die Zahl vor der Klammer mit der ersten Zahl in der Klammer mal. Danach kommt die zweite Zahl in der Klammer dran. Am Ende addierst du beide Ergebnisse.
| 4 · (3 + 5) | 7 · (10 − 4) | |
| Schritt 1: | 4 · 3 = 12 | 7 · 10 = 70 |
| Schritt 2: | 4 · 5 = 20 | 7 · 4 = 28 |
| Ergebnisse addieren: | 12 + 20 = 32 | 70 − 28 = 42 |
Die Zahl mit der du Mal rechnest (Faktor) kann auch hinter der Klammer stehen, also z. B. (3 + 5) · 4. Das Ergebnis bleibt gleich, weil du Faktoren vertauschen darfst.
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Vorzeichen und Minus vor Klammer
Auch ein negativer Faktor außerhalb der Klammer funktioniert nach derselben Logik. Du multiplizierst die negative Zahl mit jedem Summanden einzeln:
(−3) · (4 + 5)
- (−3) · 4 = −12
- (−3) · 5 = −15
- −12 + (−15) = −27
Merke: Das Vorzeichen vor der Klammer gehört zu allen Summanden darin — nicht nur zum ersten.
Manchmal steht aber auch nur ein Minus vor der Klammer.
−(5 + 2)
Dann wirkt das Minus vor der Klammer wie eine Multiplikation mit (−1). Beim Verteilen drehst du also jedes Vorzeichen in der Klammer um.
- Plus wird zu Minus
- Minus wird zu Plus
−(5 + 2) = −5 − 2 = −7
Das Distributivgesetz mit Brüchen
Das Distributivgesetz funktioniert genauso, wenn der Faktor außerhalb der Klammer ein Bruch ist.
➡️Beispiel: ½ · (4 + 8)
- ½ · 4 = 2
- ½ · 8 = 4
- 2 + 4 = 6
Manchmal spart es aber Zeit, wenn du zuerst die Klammer ausrechnest.
➡️Beispiel: ¾ · (8 + 4)
- 8 + 4 = 12
- ¾ · 12 = 9
Beide Wege führen zum richtigen Ergebnis. Schau deshalb vor dem Rechnen kurz, welcher Weg einfacher ist.
Ausklammern mit dem Distributivgesetz
Beim Ausklammern wendest du das Distributivgesetz umgekehrt an. Statt einen Faktor in eine Klammer hineinzumultiplizieren, ziehst du ihn heraus:
a · b + a · c = a · (b + c)
Dazu musst du den gemeinsamen Faktor beider Terme erkennen:
➡️Beispiel: 12 + 18
Überlege dir, welche Zahl sowohl in 12 als auch in 18 steckt. Beide Zahlen sind durch 6 teilbar:
➡️Beispiel: 6 · (2 + 3) = 6 · 5 = 30
Das Distributivgesetz hilft dir beim schnellen Kopfrechnen. Teile dazu eine Zahl in zwei einfachere Teile auf:
3 · 43 = 3 · (40 + 3) = 3 · 40 + 3 · 3 = 120 + 9 = 129
6 · 98 = 6 · (100 − 2) = 6 · 100 − 6 · 2 = 600 − 12 = 588
Das Distributivgesetz mit Variablen
Variablen sind Platzhalter für Zahlen. Deshalb ändert sich an der Regel nichts: Du verteilst den Faktor genauso wie bei reinen Zahlen.
➡️Beispiel: x · (3 + y)
- x · 3 = 3x
- x · y = xy
- x · (3 + y) = 3x + xy
Das Distributivgesetz lässt sich oft auch bei Variablen umgekehrt anwenden. Entdeckst du in zwei Termen ein x als Faktor, ziehst du es vor die Klammer:
➡️Beispiel: 4x + 6x = x · (4 + 6)
Du kannst aber auch den größten gemeinsamen Faktor beider Zahlen ausklammern. Hier teilen sich 4 und 6 den Faktor 2:
➡️Beispiel: 4x + 6x = 2x · (2 + 3)
Distributivgesetz und Division
Beim Distributivgesetz denkst du bisher an Multiplikation. Doch auch bei der Division kommt es zum Einsatz — mit einer wichtigen Ausnahme. Du darfst bei der Division nur dann mit dem Distributivgesetz rechnen, wenn der Divisor hinter der Klammer steht:
(a + b) : c = a : c + b : c
➡️Beispiel: (12 + 6) : 3
- (12 : 3) = 4
- (6 : 3) = 2
- 4 + 2 = 6
Dreht sich die Situation um, gilt die Regel nicht mehr.
a : (b + c) ≠ a : b + a : c
Denn beide Rechenwege liefern unterschiedliche Ergebnisse.
➡️Beispiel
12 : (2 + 4) = 12 : 6 = 2
12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9
Übungen zum Distributivgesetz
Teste jetzt, was du gelernt hast. Zu jeder Aufgabe findest du direkt darunter die Musterlösung.
Aufgabe 1
5 · (6 + 3)
Lösung: 5 · 6 = 30; 5 · 3 = 15 → 30 + 15 = 45
Aufgabe 2
8 · (10 − 4)
Lösung: 8 · 10 = 80; 8 · 4 = 32 → 80 − 32 = 48
Aufgabe 3
−(9 − 4)
Lösung: −9 + 4 = −5
Aufgabe 4
½ · (10 + 6)
Lösung: ½ · 10 = 5; ½ · 6 = 3 → 5 + 3 = 8
Aufgabe 5
3 · (x + 4)
Lösung: 3 · x = 3x; 3 · 4 = 12 → 3x + 12
Kommutativgesetz
Das Distributivgesetz ist eine Regel zum Verteilen. Doch es gibt noch weitere Rechengesetze: Das Kommutativgesetz beschreibt, wie du Faktoren und Summanden vertauschen darfst – und wann das funktioniert. Schau dir hier an, welche Unterschiede es gibt!
