Muss man Wurzeln erst vereinfachen, bevor man sie addiert oder subtrahiert?

Wurzeln musst du vor dem Addieren oder Subtrahieren nicht immer vereinfachen, aber oft hilft es, damit du sie überhaupt zusammenfassen kannst. Zum Beispiel: kannst du erst nach dem Vereinfachen rechnen, denn , also .

Kann man eine normale Zahl mit einer Wurzel zusammenfassen (z. B. 5 + Wurzel aus 5)?

Eine normale Zahl kannst du nicht mit einer Wurzel zusammenfassen, weil dabei kein gemeinsamer Wurzelteil da ist. Deshalb bleibt einfach so stehen. Zusammenfassen geht nur bei Wurzeln, die gleich aussehen, zum Beispiel .

Wie rechnet man, wenn vor einer Wurzel ein Minus steht (z. B. minus Wurzel aus 7 plus 3 mal Wurzel aus 7)?

Ein Minus vor einer Wurzel rechnest du beim Zusammenfassen wie eine negative Zahl vor der Wurzel. Dabei zählt wie . Zum Beispiel: .

Video

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Wurzeln addieren und subtrahieren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Du fragst dich, wie man Wurzeln addiert oder subtrahiert? Hier und im Video erklären wir dir, wie das funktioniert und worauf genau du achten musst!

Klasse 8

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Inhaltsübersicht

Wurzeln addieren und subtrahieren einfach erklärt

Um Wurzeln addieren und subtrahieren zu können, müssen die Wurzeln in deiner Rechnung gleich aussehen. Dann kannst du die Zahlen vor der Wurzel zusammenfassen.

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$\textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} + \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{(4+3)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{7} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}}$

$\textcolor{red}{5} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} - \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{(5-2)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}} = \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{teal}{3}}$

Wann sind Wurzeln gleich?

Wurzeln sind gleich, wenn jeweils die Zahl vorne auf der Wurzel (Wurzelexponent) und die Zahl unter der Wurzel (Radikand) gleich sind.

Wurzeln addieren

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(00:13)

Du kannst zwei Wurzeln addieren, indem du die beiden Zahlen vor den Wurzeln (Koeffizienten) zusammenrechnest. Das zeigen wir dir mit den folgenden Beispielen:

$\textcolor{red}{3} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} + \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{(3+4)} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{7} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}}$

$\textcolor{red}{8} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} + \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{(8 + 2)} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{10} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{teal}{2}}$

Wenn vor der Wurzel keine Zahl steht, dann bedeutet das, dass der Koeffizient gleich 1 ist.

$\sqrt{3} = \textcolor{red}{1} \cdot \sqrt{3}$

Wurzeln addieren

Allgemein kannst du dir merken:

$\textcolor{red}{a} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} + \textcolor{red}{b} \cdot \sqrt [\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} = (\textcolor{red}{a}+\textcolor{red}{b}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}}$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Wurzeln subtrahieren

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(01:56)

Du kannst zwei Wurzeln subtrahieren, indem du die beiden Koeffizienten vor der Wurzel voneinander abziehst. Schau dir das an zwei Beispielen an:

$\textcolor{red}{5} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} - \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{(5-3)} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}} = \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt{\textcolor{teal}{5}}$

$\textcolor{red}{8} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} - \textcolor{red}{3} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{(8-3}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}} = \textcolor{red}{5} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{\textcolor{teal}{2}}$

Wurzeln subtrahieren

Nochmal kurz zusammengefasst:

$\textcolor{red}{a} \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} - \textcolor{red}{b} \cdot \sqrt [\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}} = (\textcolor{red}{a}-\textcolor{red}{b}) \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{teal}{x}}$

Wann kannst du Wurzeln nicht addieren oder subtrahieren?

Wenn zwei Wurzeln unterschiedliche Radikanden (Zahl unter der Wurzel) haben, kannst du die Wurzeln nicht addieren und subtrahieren.

$2 \cdot \sqrt[3]{\textcolor{teal}{5}} + 2 \cdot \sqrt[3]{\textcolor{teal}{6}} =$ ⚡️

$5 \cdot \sqrt[2]{\textcolor{teal}{3}} - 3 \cdot \sqrt[2]{\textcolor{teal}{7}} =$ ⚡️

Auch bei unterschiedlichen Wurzelexponenten (Zahl auf der Wurzel) ist das Zusammenfassen nicht möglich.

$3 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{3}]{5} + 2 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{2}]{5} =$ ⚡️

$5 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{4}]{7} - 3 \cdot \sqrt[\textcolor{olive}{5}]{7} =$ ⚡️

Addieren vs. Multiplizieren

Addieren und Subtrahieren funktioniert anders als Multiplizieren. Achte darauf, dass du die verschiedenen Rechenarten nicht verwechselst!

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5}$ ✅

$\sqrt{3} + \sqrt{5} \neq \sqrt{3 + 5}$ ❌

Wurzeln addieren und subtrahieren — häufigste Fragen

(ausklappen)

Muss man Wurzeln erst vereinfachen, bevor man sie addiert oder subtrahiert?

Wurzeln musst du vor dem Addieren oder Subtrahieren nicht immer vereinfachen, aber oft hilft es, damit du sie überhaupt zusammenfassen kannst. Zum Beispiel: $\sqrt{8}+\sqrt{2}$ kannst du erst nach dem Vereinfachen rechnen, denn $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ , also $2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ .
Kann man eine normale Zahl mit einer Wurzel zusammenfassen (z. B. 5 + Wurzel aus 5)?

Eine normale Zahl kannst du nicht mit einer Wurzel zusammenfassen, weil dabei kein gemeinsamer Wurzelteil da ist. Deshalb bleibt $5+\sqrt{5}$ einfach so stehen. Zusammenfassen geht nur bei Wurzeln, die gleich aussehen, zum Beispiel $2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$ .
Wie rechnet man, wenn vor einer Wurzel ein Minus steht (z. B. minus Wurzel aus 7 plus 3 mal Wurzel aus 7)?

Ein Minus vor einer Wurzel rechnest du beim Zusammenfassen wie eine negative Zahl vor der Wurzel. Dabei zählt $-\sqrt{7}$ wie $-1\cdot\sqrt{7}$ . Zum Beispiel: $-\sqrt{7}+3\sqrt{7}=(-1+3)\sqrt{7}=2\sqrt{7}$ .