Wie rechnet man Potenzen mit Wurzeln?

Potenzen mit Wurzeln rechnest du, indem du jede Wurzel als Potenz mit Bruch-Exponent schreibst, dann mit den Potenzgesetzen umformst und am Ende bei Bedarf wieder als Wurzel zurückschreibst. Beispiel: .

Was sind die Potenzgesetze?

Die Potenzgesetze sind Rechenregeln, mit denen du Potenzen zusammenfassen und umformen kannst. Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten und beim Dividieren ziehst du sie ab, zum Beispiel und . Bei gleicher Hochzahl fasst du die Basen zusammen, zum Beispiel . Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten, also .

Was macht man, wenn Wurzeln unterschiedliche Wurzelexponenten haben (z. B. Wurzel aus a mal Kubikwurzel aus b)?

Bei Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten kannst du die Wurzeln nicht direkt in einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen. Du schreibst sie zuerst als Potenzen mit Bruch-Exponenten, zum Beispiel . Wenn du eine gemeinsame Wurzel willst, bringst du die Brüche auf denselben Nenner: für .

Video

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Potenzgesetze Wurzel

Wichtige Inhalte in diesem Video

Potenzgesetze Wurzel einfach erklärt

(00:14)

Wurzel multiplizieren

(00:38)

Wurzel dividieren

(02:09)

Wurzel in einer Wurzel

(03:16)

Du möchtest wissen, welche Potenzgesetze es für Wurzeln gibt und wie du sie anwendest? Hier im Beitrag und im Video findest du alles, was du dazu wissen musst!

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Inhaltsübersicht

Potenzgesetze Wurzel einfach erklärt

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(00:14)

Wenn du Potenzgesetze bei Wurzeltermen anwenden möchtest, solltest du dir erst anschauen, wie eine Wurzel als Potenz dargestellt wird:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Anders als bei normalen Potenzen, setzt du bei Wurzeltermen für den Exponenten keine ganze Zahl wie 1 oder 2 ein, sondern rationale Zahlen wie ½ oder ¼. Auch wenn die Exponenten dabei Brüche sind, kannst du beim Rechnen die Potenzgesetze benutzen:

1. Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren oder dividieren:

aⁿ • a^m = a^n+m oder $\frac{\textcolor{blue}{a}^{n}}{\textcolor{blue}{a}^{m}}$ = a^n-m

2^1/4 • 2^2/4 = 2^1/4+2/4= 2^3/4

$\frac{\textcolor{blue}{2}^{3/4}}{\textcolor{blue}{2}^{1/4}}$ = 2^3/4-1/4= 2^2/4

2. Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren oder dividieren:

aⁿ • bⁿ = (a • b)ⁿ oder $\frac{a^{\textcolor{red}{n}}}{b^{\textcolor{red}{n}}}$ = $(\frac{a}{b})^{\textcolor{red}{n}}$

2^1/2 • 3^1/2 = (2 • 3)^1/2

$\frac{2^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}}{3^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}}$ = $(\frac{2}{3})^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}$

3. Potenzen potenzieren:

(aⁿ)^m = aⁿ^•^m

(2^1/2)^4/5= 2^1/2^•^4/5

Wurzelgesetze

Das 2. und 3. Potenzgesetz kannst du allgemein auf Wurzeln übertragen. Dann gelten zusätzlich folgende Wurzelgesetze:

Die n-te Wurzel multiplizierst du, indem du die Radikanden multiplizierst:
$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
Die n-te Wurzel dividierst du, indem du die Radikanden dividierst:
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
Die m-te Wurzel ziehst du aus einer n-ten Wurzel, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst:
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m\cdot n]{a}$

Wurzel multiplizieren

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(00:38)

Mit den nächsten Beispielen zeigen wir dir, wie du von den Potenzgesetzen zu den Wurzelgesetzen kommst.

Beispiel: $\sqrt{\textcolor{red}{2}}\cdot\sqrt{\textcolor{red}{8}}$

Du kannst gleiche Wurzeln multiplizieren, indem du das 2. Potenzgesetz anwendest:

Schritt: Wandle die Wurzeln in Potenzen um:
$\sqrt{\textcolor{red}{2}}\cdot\sqrt{\textcolor{red}{8}} = \textcolor{red}{2}^{\frac{1}{2}}\cdot \textcolor{red}{8}^{\frac{1}{2}}$

Merke: Steht auf einer Wurzel keine Zahl $\sqrt{a}$ , kannst du dir eine 2 auf der Wurzel vorstellen $\sqrt[2]{a}$ . Du nennst sie auch Quadratwurzel. Die dazugehörige Potenz ist dann $a^{\frac{1}{2}}$ .
Schritt: Wende das 2. Potenzgesetz an:
$\textcolor{red}{2}^{\frac{1}{2}}\cdot \textcolor{red}{8}^{\frac{1}{2}} = (\textcolor{red}{2}\cdot \textcolor{red}{8})^{\frac{1}{2}} = \textcolor{red}{16}^{\frac{1}{2}}$
Schritt: Wandle die Potenz wieder in eine Wurzel um:
$\textcolor{red}{16}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\textcolor{red}{16}} = 4$

Du kommst schneller auf das gleiche Ergebnis, wenn du das 1. Wurzelgesetz anwendest: $\sqrt{\textcolor{red}{2}}\cdot\sqrt{\textcolor{red}{8}} = \sqrt{\textcolor{red}{2}\cdot \textcolor{red}{8}} = \sqrt{\textcolor{red}{16}} = 4$

1. Wurzelgesetz

Du kannst gleiche Wurzeln multiplizieren, indem du ihre Radikanden multiplizierst:

$\sqrt[n]{\textcolor{red}{a}}\cdot\sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = \sqrt[n]{\textcolor{red}{a}\cdot \textcolor{red}{b}}$

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Wurzel dividieren

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(02:09)

Beispiel: $\frac{\sqrt[3]{\textcolor{red}{24}}}{\sqrt[3]{\textcolor{red}{3}}}$

Das Prinzip der Wurzeldivision ist gleich wie das der Wurzelmultiplikation. Du kannst gleiche Wurzeln dividieren, indem du das 2. Potenzgesetz anwendest:

Schritt: Wandle die Wurzeln in Potenzen um:
$\frac{\sqrt[3]{\textcolor{red}{24}}}{\sqrt[3]{\textcolor{red}{3}}} = \frac{\textcolor{red}{24}^{\frac{1}{3}}}{\textcolor{red}{3}^{\frac{1}{3}}}$
Schritt: Wende das 2. Potenzgesetz an:
$\frac{\textcolor{red}{24}^{\frac{1}{3}}}{\textcolor{red}{3}^{\frac{1}{3}}} = (\frac{\textcolor{red}{24}}{\textcolor{red}{3}})^{\frac{1}{3}} = \textcolor{red}{8}^{\frac{1}{3}}$
Schritt: Wandle die Potenz wieder in eine Wurzel um:
$\textcolor{red}{8}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\textcolor{red}{8}} = 2$

Um auch hier schneller auf das Ergebnis zu kommen, wendest du das 2. Wurzelgesetz an: $\frac{\sqrt[3]{\textcolor{red}{24}}}{\sqrt[3]{\textcolor{red}{3}}} = \sqrt[3]{\frac{\textcolor{red}{24}}{\textcolor{red}{3}}} = \sqrt[3]{\textcolor{red}{8}} = 2$

2. Wurzelgesetz:

Du kannst gleiche Wurzeln dividieren, indem du ihre Radikanden dividierst:

$\frac{\sqrt[n]{\textcolor{red}{a}}}{\sqrt[n]{\textcolor{red}{b}}} = \sqrt[n]{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{red}{b}}}$

Wurzel in einer Wurzel

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(03:16)

Beispiel: $\sqrt[\textcolor{orange}{3}]{\sqrt[\textcolor{orange}{4}]{5}}$

Wenn du eine Wurzel in einer Wurzel gegeben hast, dann kannst du für die Berechnung das 3. Potenzgesetz anwenden:

Schritt: Wandle die Wurzeln in Potenzen um:
$\sqrt[\textcolor{orange}{3}]{\sqrt[\textcolor{orange}{4}]{5}} = (5^{\frac{1}{\textcolor{orange}{4}}})^{\frac{1}{\textcolor{orange}{3}}}$
Schritt: Wende das 3. Potenzgesetz an:
$(5^{\frac{1}{\textcolor{orange}{4}}})^{\frac{1}{\textcolor{orange}{3}}} = 5^{\frac{1}{\textcolor{orange}{4}}}\cdot ^{\frac{1}{\textcolor{orange}{3}}} = 5^{\frac{1}{\textcolor{orange}{12}}}$
Schritt: Wandle die Potenz wieder in eine Wurzel um:
$5^{\frac{1}{\textcolor{orange}{12}}} = \sqrt[\textcolor{orange}{12}]{5} = 1,14$

Das 3. Wurzelgesetz erleichtert dir auch hier den Rechenweg: $\sqrt[\textcolor{orange}{3}]{\sqrt[\textcolor{orange}{4}]{5}} = \sqrt[\textcolor{orange}{3}\cdot \textcolor{orange}{4}]{5} = \sqrt[\textcolor{orange}{12}]{5} = 1,14$

3. Wurzelgesetz

Wenn du eine Wurzel in einer Wurzel gegeben hast, dann multiplizierst du die Wurzelexponenten:

$\sqrt[\textcolor{orange}{m}]{\sqrt[\textcolor{orange}{n}]{a}} = \sqrt[\textcolor{orange}{m\cdot n}]{a}$

Potenzgesetze Wurzel — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie rechnet man Potenzen mit Wurzeln?

Potenzen mit Wurzeln rechnest du, indem du jede Wurzel als Potenz mit Bruch-Exponent schreibst, dann mit den Potenzgesetzen umformst und am Ende bei Bedarf wieder als Wurzel zurückschreibst. Beispiel: $\displaystyle \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \frac{20^{1/2}}{5^{1/2}} = \left(\frac{20}{5}\right)^{1/2} = \sqrt{4} = 2$ .
Was sind die Potenzgesetze?

Die Potenzgesetze sind Rechenregeln, mit denen du Potenzen zusammenfassen und umformen kannst. Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten und beim Dividieren ziehst du sie ab, zum Beispiel $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ und $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ . Bei gleicher Hochzahl fasst du die Basen zusammen, zum Beispiel . Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten, also $(a^m)^n = a^{m n}$ .
Was macht man, wenn Wurzeln unterschiedliche Wurzelexponenten haben (z. B. Wurzel aus a mal Kubikwurzel aus b)?

Bei Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten kannst du die Wurzeln nicht direkt in einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen. Du schreibst sie zuerst als Potenzen mit Bruch-Exponenten, zum Beispiel $\sqrt{a}\,\cdot\,\sqrt[3]{b}=a^{1/2}\cdot b^{1/3}$ . Wenn du eine gemeinsame Wurzel willst, bringst du die Brüche auf denselben Nenner: $a^{1/2}\cdot b^{1/3}=a^{3/6}\cdot b^{2/6}=\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{1/6}$ für $a,b\ge 0$ .

Negative Potenzen

Jetzt weißt du, was es für Wurzelgesetze gibt und wie du sie anwendest. Du möchtest mehr über negative Potenzen erfahren? Dann schau in das Video rein!