Geometrie
Kreis
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Flächeninhalt Kreis einfach erklärt

Der Flächeninhalt vom Kreis ist die Größe der Kreisfläche A = π • r2. Der Kreis selbst ist die perfekte runde geometrische Form.

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Kreisfläche mit Radius berechnen

Der Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt M zum Kreisrand. Den Flächeninhalt A vom Kreis berechnest du mit der Kreiszahl π (\approx 3,14).

Aber wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises?

Kreisfläche Formel: A = π r2

Den Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius r berechnest du mit der Formel:

A = π r2

Weiter unten im Artikel siehst du sogar noch zwei Möglichkeiten, wie du die Kreisfläche ohne Radius berechnen kannst. Aber jetzt zeigen wir dir erst einmal, wie du die Flächenformel vom Kreis anwendest.

Flächeninhalt vom Kreis berechnen mit Radius: A = πr2 

Wenn du den Radius gegeben hast, kannst du die Fläche eines Kreises ganz schnell berechnen.

Um mit dem Radius den Kreis zu berechnen, brauchst du nur die Formel A = π r2. Schau dir dazu gleich zwei Beispiele an.

Beispiel 1

Berechne den Flächeninhalt vom Kreis mit Radius r = 3

A = π • r2 | Kreisfläche Formel aufstellen

A = π • (3 cm)2 | Radius einsetzen

A = 9π cm2 ≈ 28,27 cm2 | Kreisinhalt berechnen

Dieser Kreis hat einen Flächeninhalt von gerundet A 28,27 cm2.

Beachte: Du quadrierst im letzten Schritt immer die Einheit und erhältst deshalb hier cm2 statt cm.

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Kreisfläche mit Radius berechnen

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel sollst du wieder den Flächeninhalt eines Kreises berechnen. Sein Radius ist r = 8 m.

A = π r2

A = π • (8 m)2 

A = π • 64 m2 \approx 201,06 m2

Radius Kreis berechnen

Umgekehrt kannst du den Radius r eines Kreises berechnen, wenn du seinen Flächeninhalt A kennst:

Radius aus Kreisfläche berechnen

Den Radius r eines Kreises berechnest du mit der Formel

    \[\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{red}{A}}{\pi}} \]

Du erhältst sie direkt aus der Formel A = π r2 , wenn du die Gleichung nach r auflöst .

A = π r2 | : π

A : π  = r2 | √

\sqrt{\frac{\textcolor{red}{A}}{\pi}} = \textcolor{blue}{r}

Merke dir also die Formel \textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{red}{A}}{\pi}}.

Beispiel

Du sollst den Radius vom Kreis berechnen, der den Flächeninhalt A = 64π cm2 hat.

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{red}{A}}{\pi}}

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{red}{64 \pi cm^2}}{\pi}}

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{64 cm^2} = 8 cm

Hier wird umgekehrt im letzten Schritt die Einheit cm2 zu cm, weil du ja die Wurzel ziehst.

Kreisfläche berechnen mit Durchmesser: A = (d/2)2 • π

Manchmal hast du zum Berechnen der Kreis Fläche nicht den Radius, sondern den Durchmesser d gegeben.

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Kreisfläche mit Durchmesser berechnen

Der Durchmesser d ist der Abstand von einer Seite des Kreises zur anderen. Er ist immer genau doppelt so groß wie der Radius: d = 2 r.

Fläche Kreis mit Durchmesser: A = (d/2)2 • π

Den Flächeninhalt A eines Kreises mit Durchmesser d berechnest du mit der Formel:

A = (d/2)2 • π

Denn der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser. Also setzt du \frac{\textcolor{orange}{d}}{2} = \textcolor{blue}{r} in die Formel A = r2 π ein und erhältst \textcolor{red}{A} = \left(\frac{\textcolor{orange}{d}}{2}}\right)^2 \pi.

Beispiel 1

Gesucht ist die Oberfläche vom Kreis mit gegebenem Durchmesser d = 7 cm.

    \[\textcolor{red}{A} =\left(\cfrac{\textcolor{orange}{d}}{2}\right)^2 \cdot  \pi\]

    \[\textcolor{red}{A} = \left(\cfrac{\textcolor{orange}{7 cm}}{2}\right)^2 \cdot \pi\]

    \[\textcolor{red}{A} = \left(3.5 cm)^2 \cdot \pi \approx 38.48 cm^2\]

Der Flächeninhalt von diesem Kreis beträgt also etwa A=38,48\text{cm}^2

Beispiel 2

Berechne die Oberfläche vom Kreis mit einem gegebenen Durchmesser von d = 2 m.

    \[ \textcolor{red}{A} = \left(\cfrac{\textcolor{orange}{d}}{2}\right)^2 \cdot \pi\]

    \[\textcolor{red}{A} = \left(\cfrac{\textcolor{orange}{2 m}}{2}\right)^2 \cdot \pi\]

    \[\textcolor{red}{A} = \left(1 m)^2 \cdot \pi \approx 3.14 m^2\]

Kreis Fläche berechnen mit Umfang: A = U2 : (4π)

Du kannst die Kreisfläche auch aus dem Umfang U (Länge der Kreislinie) bestimmen.

Kreisfläche mit Umfang: A = U2 : (4π)

Den Flächeninhalt A eines Kreises mit Umfang U berechnest du mit der Formel:

A = U2 : (4π)

Schau dir zum Beispiel einen Kreis mit dem Umfang U = 62,83 cm an.

    \[\textcolor{red}{A} = \cfrac{\textcolor{olive}{U}^2}{4 \pi}\]

    \[\textcolor{red}{A} = \cfrac{(\textcolor{olive}{62.83 cm})^2}{4 \pi}\]

    \[\textcolor{red}{A} \approx 314.14 cm^2\]

Kreisring berechnen

Es gibt auch die Möglichkeit, dass die Kreisfläche nicht ganz gefüllt ist, sondern ein Loch in der Mitte hat. So eine Figur nennst du einen Kreisring

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Kreisring

Die Fläche des Kreisrings kannst du ganz einfach mit der Kreisring Formel berechnen: A_{Kreisring} = A_{groß} - A_{klein}. Das heißt, du ziehst von der großen Kreisfläche (mit Radius 4) den Flächeninhalt vom kleinen Kreis („Loch“ mit Radius 2) ab.

  • Flächeninhalt vom großen Kreis berechnen: Mit der Formel bestimmst du nun zuerst die große Kreisfläche mit Radius r_1 = 4\text{cm}.

A_{groß} = {r_1}^2 \cdot \pi = (4\text{cm})^2 \cdot \pi \approx 50,27\text{cm}^2

  • Kreisfläche des Lochs bestimmen: Jetzt berechnest du den kleinen Kreis Flächeninhalt mit Radius r_2 = 2\text{cm}.

A_{klein} = {r_2}^2 \cdot \pi = (2\text{cm})^2 \cdot \pi \approx 12,57\text{cm}^2

  • Flächeninhalt Kreisring ausrechnen: Jetzt kommt die Kreisring Formel. Du ziehst die kleine Kreisfläche vom Flächeninhalt des großen Kreises ab. Damit bekommst du die Fläche des Kreisrings. 

A_{Kreisring} = A_{groß} - A_{klein} = 50,27\text{cm}^2 - 12,57\text{cm}^2 = 37,7\text{cm}^2

Hinweis: Du kannst die Kreisring Formel auch anwenden, wenn das Loch des Kreisrings nicht genau in der Mitte des großen Kreises liegt. Zieh genauso den kleinen Flächeninhalt vom großen ab und du bist fertig.

Flächeninhalt Kreis Formel

Zum Abschluss zeigen wir dir noch, woher die Formel für den Flächeninhalt vom Kreis eigentlich kommt. Dafür zerschneidest du den Kreis einmal in viele kleine Teile

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Herleitung Flächeninhalt Schritt 1

Die einzelnen Teile legst du dann so zusammen, dass die gekrümmten Linien immer abwechselnd oben und unten liegen. 

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Herleitung Flächeninhalt Schritt 2

Diese Figur sieht so ähnlich aus wie ein Rechteck. Es ist ungefähr so hoch wie der Radius r und so breit wie der halbe Umfang des Kreises. Diese Fläche kannst du jetzt berechnen.

    \[A = \textcolor{blue}{r} \cdot \frac{\textcolor{red}{U}}{2}\]

Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet U = 2rπ. Deshalb kannst du für U einfach 2rπ in die Formel A = \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{\frac{U}{2}} einsetzen.

    \[A = \textcolor{blue}{r} \cdot \frac{\textcolor{red}{2 r \pi}}{2}\]

Wenn du das vereinfachst, erhältst du gerade die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. 

    \[A = \textcolor{blue}{r} \cdot {\frac{\textcolor{red}{2 r \pi}}{2} = \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{r \cdot \pi}\]

    \[A = r^2 \pi\]

Kreisberechnung

In unserem Video zur Kreisberechnung findest du alle wichtigen Kreisformeln noch einmal erklärt, zum Beispiel Kreisfläche und Kreisumfang. Schau es Dir jetzt gleich an!

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Zum Video: Kreisberechnung

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