Analysis

Satz des Thales

In diesem Beitrag erklären wir dir, was der Satz des Thales über ein Dreieck im Kreis aussagt. Außerdem zeigen wir dir Aufgaben und den Beweis vom Satz des Thales Schritt für Schritt. Du willst dir das lieber visuell erklären lassen? Dann schau dir jetzt unser Video an!

Inhaltsübersicht

Was ist der Satz des Thales?

Der Satz des Thales sagt dir, wann ein Dreieck einen 90°- Winkel hat.

Wenn zwei Punkte A und B den Durchmesser des Halbkreises bilden und der dritte Punkt C irgendwo auf dem Kreisbogen liegt, dann ist dieses Dreieck im Kreis immer rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt bei dem Punkt C auf dem Halbkreis. Egal wo du den Punkt C auf dem Kreisbogen hinsetzt, es ist immer ein 90°-Winkel. 

Satz des Thales, Thaleskreis, Dreieck im Kreis
direkt ins Video springen
Satz des Thales

Hinweis: Statt einem Halbkreis kannst du auch einen kompletten Kreis um den Durchmesser \overline{AB} zeichnen. Der Punkt C kann überall auf diesem Kreis liegen, das Dreieck wird dort immer einen 90°- Winkel haben. 

Schauen wir uns die verschiedenen Anwendungen und einige Satz des Thales Aufgaben einmal genauer an. Am Ende findest du auch den Beweis zum Satz des Thales.

Thaleskreis

Am häufigsten brauchst du den Thaleskreis, um damit ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. Sehen wir uns diese Anwendung vom Satz des Thales einmal genauer an.

Schritt 1: Zuerst wählst du zwei Punkte A und B, vielleicht hast du sie auch vorgegeben. Diese zwei Punkte verbindest du zur Strecke \overline{AB}.

Thaleskreis, rechtwinkliges Dreieck konstruieren
direkt ins Video springen
Schritt 1

Schritt 2: Als nächstes konstruierst du den Mittelpunkt M auf der Strecke \overline{AB}.

Thaleskreis, rechtwinkliges Dreieck konstruieren
direkt ins Video springen
Schritt 2

Schritt 3: Jetzt zeichnest du den Thaleskreis. Der Halbkreis hat als Mittelpunkt den Punkt M und geht durch die beiden Punkte A und B. 

Thaleskreis, Satz des Thales konstruieren
direkt ins Video springen
Schritt 3

Schritt 4: Jetzt suchst du dir einen beliebigen Punkt C, der auf dem Thaleskreis liegt. Verbinde den Punkt C mit den Punkten A und B. So entsteht ein Dreieck ABC.

Thaleskreis, Satz des Thales konstruieren
direkt ins Video springen
Schritt 4

Nach dem Satz des Thales ist dieses Dreieck im Kreis rechtwinklig und der 90°- Winkel liegt bei dem Punkt C. 

Du willst mehr zum Thema Analysis - Differentialgeometrie?

Umkehrung

Der Satz des Thales gilt auch in seiner Umkehrung. Wenn du also einen Kreis durch die drei Punkte eines rechtwinkligen Dreiecks legst, dann liegt der Mittelpunkt dieses Kreises genau in der Mitte der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist in einem Dreieck mit dem rechten Winkel immer die längste Seite, die gerade dem 90°- Winkel gegenüber liegt. 

Satz des Thales Aufgaben

Mit dem Satz des Thales kannst du natürlich auch einige Aufgaben lösen. Sehen wir uns zwei Beispiele genauer an. 

Beispielaufgabe 1

Entscheide, ob die Dreiecke einen rechten Winkel haben. 

Satz des Thales, Satz des Thales Aufgabe, Satz des Thales Aufgaben
direkt ins Video springen
Satz des Thales Aufgabe 1

Lösung 1

a) Die Strecke \overline{AB} ist gerade der Durchmesser des Kreises und der Punkt C des Dreiecks liegt auf der Kreislinie. Damit ist dieses Dreieck nach dem Satz des Thales rechtwinklig und besitzt einen 90°- Winkel beim Punkt C.

b) Hier liegt das Dreieck im Kreis, allerdings ist keine Strecke der Durchmesser des Kreises. Deshalb gilt der Satz nicht und das Dreieck hat keinen rechten Winkel. 

Beispielaufgabe 2

Konstruiere die Tangenten am Kreis, die durch den Punkt P gehen. 

Satz des Thales Aufgabe, Kreistangente konstruieren, Konstruktion Kreistangente
direkt ins Video springen
Satz des Thales: Aufgabe 2

Lösung 2

Diese Aufgabe kannst du mit dem Satz des Thales lösen.

Schritt 1: Verbinde die Punkte M und P. 

Schritt 2: Konstruiere einen Kreis durch die Punkte M und P. Die Strecke \overline{MP} bildet den Durchmesser dieses Kreises, der grüne Punkt ist sowohl Mittelpunkt der Strecke als auch Mittelpunkt des Kreises. Der grüne Kreis ist damit ein Thaleskreis.

Kreistangente konstruieren, Konstruktion Kreistangente, Satz des Thales Aufgabe, Thaleskreis Aufgabe
direkt ins Video springen
Lösung 2

Schritt 3: Markiere die Schnittpunkte der zwei Kreise. So bekommst du die Punkte \textcolor{blue}{A_1} und \textcolor{blue}{A_2}

Schritt 4: Zeichne die Geraden durch die Punkte \textcolor{blue}{A_1} und P und \textcolor{blue}{A_2} und P. Diese blauen Geraden sind die gesuchten Kreistangenten.

Die blauen Geraden treffen den Kreis im rechten Winkel, es gibt einen 90°- Winkel zwischen den blauen Geraden und den grauen gestrichelten Linien an den Punkten A_1 und A_2. Weil der grüne Kreis ein Thaleskreis ist, gilt der Satz des Thales und die Dreiecke MPA_1 und MPA_2 sind rechtwinklig. 

Satz des Thales Beweis

Zum Schluss zeigen wir dir noch, warum der Satz des Thales eigentlich gilt. Der Satz des Thales Beweis ist nämlich gar nicht so schwer.

Satz des Thales, Satz des Thales Beweis, Satz des Thales Winkel
direkt ins Video springen
Satz des Thales Beweis

Du beginnst mit einem rechtwinkligen Dreieck im Thaleskreis. Dieses Dreieck im Kreis teilst du in zwei Dreiecke ein, indem du dem Mittelpunkt M auf der Strecke \overline{AB} mit dem Punkt C des Dreiecks verbindest. So ergibt sich die rote Trennlinie in der Mitte. 

Die beiden Dreiecke AMC und MBC sind gleichschenklige Dreiecke , weil die Strecken \overline{AM}, \overline{MB} und \overline{MC} gerade dem Radius des Thaleskreis entsprechen und gleich lang sind. 

Für den Beweis vom Satz des Thales schaust du dir einige Winkelbeziehungen an, um zu zeigen, dass der Winkel bei C gerade 90° hat.

In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 180°. Deshalb gilt im großen Dreieck ABC die Gleichung

\alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180°.

Jetzt schaust du dir die beiden Teildreiecke an. Weil diese Dreiecke gleichschenklig sind, sind die Winkel an den beiden gleichlangen Schenkeln auch gleich. Es gilt also

\alpha = \gamma_1    und    \beta = \gamma_2.

Nun musst du dieses Wissen nur noch in die erste Gleichung einsetzen und auflösen.

    \begin{align*} \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) &= 180° \\ \gamma_1 + \gamma_2 + (\gamma_1 + \gamma_2) &= 180° \\ 2 \cdot (\gamma_1 + \gamma_2) &= 180° && | : 2 \\ \gamma_1 + \gamma_2 &= 90° \end{align*}

Die beiden Winkel bei C, die zusammen den ganzen grauen Winkel ergeben, haben also 90°. Deshalb ist das Dreieck im Kreis rechtwinklig. Dabei ist es egal, wo du den Punkt C auf dem Kreis hinsetzt. Damit ist der Beweis abgeschlossen. 

Zusammenfassung Satz des Thales

Der Satz des Thales sagt dir etwas über ein Dreieck im Kreis. Wenn der Punkt C eines Dreiecks auf dem Kreis mit der Strecke \overline{AB} als Durchmesser liegt, dann hat das Dreieck ABC beim Punkt C einen 90°- Winkel.

Du brauchst den Satz für verschiedene Aufgaben.

  • rechtwinkliges Dreieck konstruieren,
  • Kreistangente konstruieren,
  • entscheiden, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Du willst mehr zum Thema Analysis - Differentialgeometrie?

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.