Abstand Punkt Gerade
Hier und in unserem Video zeigen wir dir, wie du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade berechnest!
Abstand Punkt Gerade einfach erklärt
Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade ist ihre kürzeste Verbindung. Den Abstand berechnest du, indem du eine senkrechte Linie vom Punkt P zur Geraden ziehst. Du fällst also das Lot. Die Länge der Strecke 
ist dann der Abstand zwischen Gerade und Punkt.
In einem dreidimensionalen Raum kannst du den Abstand eines Punktes P(P1|P2|P3) zu einer Geraden 
ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen:
![\[d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1167976d0f0a3de55b3c55bc7ac20b82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Brauchst du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes S, verwendest du stattdessen besser eines der Lotfußpunktverfahren .
Um die Berechnung des Abstands zwischen Punkt und Gerade zu üben, haben wir dir ausführliche Beispiele vorbereitet.
Abstand Punkt Gerade berechnen
Wir wollen den Abstand zwischen der Geraden 
in Parameterform und dem Punkt 
bestimmen.
Schritt 1
Um die Formel lösen zu können, müssen wir zunächst den Vektor 
vom Vektor 
abziehen. Dadurch erhalten wir den Verbindungsvektor des Aufpunkts 
der Gerade und dem Punkt 
.
Schritt 2
Im nächsten Schritt müssen wir das Kreuzprodukt aus dem gerade berechneten Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wird ein Vektor erzeugt, der senkrecht auf diesen steht.
Kreuzprodukt allgemein: 
Für unser Beispiel setzen wir jetzt den zuvor berechneten Vektor 
und 
ein.
Schritt 3
Den Abstand 
berechnen wir nun, indem wir den Betrag des Kreuzproduktes durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden teilen.
Der Abstand zwischen und beträgt also ungefähr 3,59 Längeneinheiten.
Abstand Punkt Gerade – Beispiel
Aufgabe: Gesucht ist der Abstand von Punkt T (
) und der Geraden 
.
Bevor du mit dem Rechnen loslegst, solltest du immer überprüfen, ob der Punkt schon auf der Geraden liegt.
Dann wäre der Abstand logischerweise Null. Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, solltest du zuerst die folgenden drei Schritte durchführen:
Schritt 0
1. Punkt 
für 
in 
einsetzen
2. Gleichungssystem aufstellen
3. Nach 
zeilenweise auflösen
Der Punkt liegt nicht auf der Geraden , da in den Zeilen des Gleichungssystems unterschiedliche Werte annimmt. Das Gleichungssystem liefert also eine falsche Aussage.
Nachdem nun gesichert ist, dass der Abstand ungleich Null ist, können wir diesen nun mit Hilfe der Formel bestimmen.
![\[d = \frac{\vert (\vec{t} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c40ca8124a3699b0cca22dbfb1a86e56_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 1
Am einfachsten ist es, die Formel aufzuteilen und diese Unterteilungen einzeln zu berechnen. Zuerst ziehst du den Aufpunktsvektor der Geraden vom Punktvektor 
ab.
Schritt 2
Anschließend berechnen wir das Kreuzprodukt aus der eben berechneten Vektordifferenz und dem Richtungsvektor der Geraden. Wie beim Kreuzprodukt gerechnet werden muss, findest du im Absatz „Abstand Punkt Gerade Formel“.
Schritt 3
Zum Schluss teilt man den Vektorbetrag des Kreuzprodukts durch den Betrag des Richtungsvektors und erhält den Abstand.
![\[d = \frac{\sqrt{13^2+(-22)^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+4^2}} \approx 5,6\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd8b9a91f0d3079a4ad5fdb1bf08cdce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt beträgt circa 5,6 LE.
Alternative Berechnung mit der Hilfsebene
Den Abstand zwischen Punkt und Gerade kannst du auch mit einer Hilfsebene bestimmen. Dazu musst du nur dieser 5-Schritte-Anleitung folgen, die wir dir anhand eines Beispiels erklären:
Du hast den Punkt P (-1 | -3 | 3 ) und die Gerade 
gegeben.
Schritt 1 Zuerst bildest du die Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P geht und senkrecht zu dem Richtungsvektor ist. Dazu brauchst du den Normalenvektor
, er steht senkrecht auf der Ebene. Der aus der Gerade g ist der Vektor = der Hilfsebene.
![\[E: \left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right] \circ \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c92469358618132dce8ca7c22e1a62a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 2 Jetzt kannst du die Ebene E in die Koordinatenform umwandeln.
![\left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right] \circ \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-388ce22a08d32f1fd0613840bcb1eb16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
⇒ – (x1 – 1) + 3 (x2 + 3) + (x3 + 3) = 0
⇒ – x1 + 3x2 + x3 = – 13
Schritt 3 Nun setzt du in x1 , x2 , x3 den Vektor 
ein. Dadurch rechnest du λ aus und bestimmst den Schnittpunkt der Hilfsebene E mit der Gerade g.
– (2 – λ) + 3 (1 + 3λ) + (-3 + λ) = – 13
11 λ = -11
λ = – 1
Schritt 4 Als Nächstes setzt du λ in die Gerade g ein, um den Ortsvektor 
des Schnittpunktes zu bestimmen.
Schritt 5 Als Letztes berechnest du den Abstand der Punkte S und P.
d = 
Super! Du hast den Abstand zwischen Punkt und Gerade mithilfe der Hilfsebene bestimmt!
Abstandsrechnung – weitere Themen
Es gibt noch viel mehr Abstände, die du berechnen kannst. Hier findest du die Videos zu allen wichtigen Berechnungen!
