Geometrie

Abstand Punkt Gerade

Wie du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnen kannst, erklären wir dir in diesem Beitrag. Dazu zeigen wir dir die zugehörige Lösungsformel und erklären dir auch das Lotfußpunktverfahren. Nach unseren ausführlichen Beispielen hast du das Thema garantiert verstanden!

Für eine anschauliche Erklärung der Berechnungsweise schau dir einfach das Video zum Thema Abstand Punkt Gerade an.

Inhaltsübersicht

Abstand Punkt Gerade einfach erklärt

Wenn du den Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmen sollst, dann ist damit meist die kürzeste Verbindung gemeint. Du erhältst sie, indem du eine senkrechte Linie vom Punkt zur Geraden ziehst. Man sagt dazu auch, dass man das Lot durch den Punkt auf die Gerade fällt. Die Länge der Strecke vom Punkt P zum Schnittpunkt des Lotes und der Geraden S ist dann genau der Abstand zwischen Punkt und Gerade \overline{PS}.

In einem dreidimensionalen Raum kannst du den Abstand ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen. Brauchst du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes S, verwendest du stattdessen besser eines der Lotfußpunktverfahren .

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Abstand Punkt Gerade

Abstand Punkt Gerade Formel

Der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{u} beträgt:

Abstandsformel Punkt Gerade

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}

\vec{p}: Vektor des Punktes P
\vec{q}: Vektor des Aufpunkts der Geraden
\vec{u}: Richtungsvektor der Gerade g

Berechnest du den Abstand zwischen Punkt P und Gerade g mit der Abstandsformel, dann befolgst du stets diese drei Schritte:

Abstand berechnen
  1.  Vektor \vec{q} von Vektor \vec{p} abziehen. Du erhältst den Verbindungsvektor \vec{QP}
  2.  Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor der Geraden ausrechnen
  3.  Ergebnisse in Abstandsformel eintragen und ausrechnen

Was genau du bei den einzelnen Schritten machen musst, zeigen wir dir als nächstes in zwei ausführlichen Beispielen. 

Abstand Punkt Gerade berechnen

Wie genau du bei der Berechnung des Abstandes vorgehst, schauen wir uns am besten direkt an einem Beispiel an. Dafür wollen wir den Abstand zwischen der Geraden g in Parameterform und  dem Punkt P = (1 \vert 3 \vert 3) bestimmen.

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right)

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}

Schritt 1

Um die Formel lösen zu können, müssen wir zunächst den Vektor \vec{q} vom Vektor \vec{p} abziehen. Dadurch erhalten wir den Verbindungsvektor des Aufpunkts Q der Gerade und dem Punkt P.

\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 5 \\\ 5 \\\ \end{array}\right)

Schritt 2

Im nächsten Schritt müssen wir das Kreuzprodukt aus dem gerade berechneten Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wird ein Vektor erzeugt, der senkrecht auf diesen steht.

Kreuzprodukt allgemein: \vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \\\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \\\ \end{array}\right)

Für unser Beispiel setzen wir jetzt den zuvor berechneten Vektor \vec{AP} und \vec{u} ein.

(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{u} = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 5 \\\ 5 \\\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {5 \cdot 3 - 5 \cdot 1} \\\ {5 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3} \\\ {(-2) \cdot 1 - 5 \cdot (-2)} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 10 \\\ -4 \\\ 8 \\\ \end{array}\right)

Schritt 3

Den Abstand d berechnen wir nun, indem wir den Betrag des Kreuzproduktes durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden teilen. 

d = \frac{\sqrt{10^2 + (-4)^2 + 8^2}}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \approx 3,59

Der Abstand zwischen g und P beträgt also ungefähr 3,59 Längeneinheiten.

Abstand Punkt Gerade – Beispiel 

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand von Punkt T (8 \vert 4 \vert 5) und der Geraden h: \vec{x} = \q + \lambda \vec{u}.

h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \\\ \end{array}\right)

Tipp

Bevor du mit dem Rechnen loslegst, solltest du immer überprüfen, ob der Punkt schon auf der Geraden liegt.

Dann wäre der Abstand logischerweise Null. Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, solltest du zuerst die folgenden drei Schritte durchführen:

Schritt 0

1. Punkt T für \vec{x} in h einsetzen

\left( \begin{array}{c} 8 \\\ 4 \\\ 5 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \\\ \end{array}\right)

2. Gleichungssystem aufstellen

8 = 1 + 2 \lambda
4 = \lambda
5 = 2 + 4 \lambda

3. Nach \lambda zeilenweise auflösen

8 = 1 + 2 \lambda \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = 4,5
4 = \lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = 4
5 = 2 + 4 \lambda \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = \frac{3}{4}

\Rrightarrow Der Punkt T liegt nicht auf der Geraden h, da \lambda in den Zeilen des Gleichungssystems unterschiedliche Werte annimmt. Das Gleichungssystem liefert also eine falsche Aussage.

Nachdem nun gesichert ist, dass der Abstand ungleich Null ist, können wir diesen nun mit Hilfe der Formel bestimmen.

d = \frac{\vert (\vec{t} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}

Schritt 1

Am einfachsten ist es, die Formel aufzuteilen und diese Unterteilungen einzeln zu berechnen. Zuerst ziehst du den Aufpunktsvektor \vec{q} der Geraden vom Punktvektor \vec{t} ab.

(\vec{t} - \vec{q}) = \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 4 \\\ 5 \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 7 \\\ 4 \\\ 3 \\\ \end{array}\right)

Schritt 2

Anschließend berechnen wir das Kreuzprodukt aus der eben berechneten Vektordifferenz und dem Richtungsvektor der Geraden. Wie beim Kreuzprodukt gerechnet werden muss, findest du im Absatz „Abstand Punkt Gerade Formel“.

(\vec{t} - \vec{q}) \times \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 7 \\\ 4 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 13 \\\ -22 \\\ -1 \\\ \end{array}\right)

Schritt 3

Zum Schluss teilt man den Vektorbetrag des Kreuzprodukts durch den Betrag des Richtungsvektors und erhält den Abstand.

d = \frac{\sqrt{13^2+(-22)^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+4^2}} \approx 5,6

Der Abstand zwischen der Geraden h und dem Punkt T beträgt circa 5,6 LE.

Lotfußpunktverfahren

Den Abstand eines Punktes von einer Geraden können wir neben der Formel auch mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass es uns nicht nur den Abstand liefert, sondern auch den Lotfußpunkt auf der Geraden, also den Schnittpunkt von Lot und Gerader. 

Für den Abstand eines Punkt zu einer Geraden stehen uns zwei verschiedene Lotfußpunktverfahren offen. Ausführliche Rechenwege und Rechenbeispiele findest du zu beiden in unserem Beitrag zu den Lotfußpunktverfahren.

Lotfußpunktverfahren mit einer Hilfsebene

Beim diesem Verfahren stellen wir zunächst eine Hilfsebene auf, die senkrecht auf der Geraden steht und durch den Punkt verläuft. Anschließend berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Hilfsebene. Dieser Punkt ist gleich dem Schnittpunkt, den man durch das Fällen eines Lotes erhalten würde. Um den Abstand zu bestimmen, müssen wir dann nur die Länge des Verbindungsvektors des Punktes und des auf der Gerade liegenden Lotfußpunktes (Durchstoßpunkt ) bestimmen.

Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Der Verbindungsvektor des außerhalb liegenden Punktes und eines Punktes auf der Geraden ist immer am kürzesten, wenn der Vektor senkrecht auf der Geraden steht. Diese Tatsache nutzt das Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt aus. Den Lotfußpunkt auf der Geraden können wir bestimmen, weil das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren immer Null ergibt. Der laufende Punkt auf der Geraden entspricht demnach dann dem Lotfußpunkt, wenn der Verbindungsvektor multipliziert mit dem Richtungsvektor der Geraden gleich Null ist. Den Abstand können wir dann berechnen, indem wir den Betrag des Vektor von Punkt zu Lotfußpunkt bestimmen.

Abstandsformel Herleitung

Zum Verständnis der Abstandsformel bildet man ein Dreieck aus dem Aufpunkt der Gerade A, dem Richtungsvektor \vec{u} und dem außen liegenden Punkt P. Der Flächeninhalt kann jetzt mit dem Vektorprodukt bestimmt werden:

A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot \vert \vec{AP} \times \vec{u} \vert

Diese Formel können wir nun mit der bekannten Flächengleichung von Dreiecken (A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h) gleichsetzen. Die Höhe h entspricht dabei dem Abstand d von Punkt zu Gerade und die Grundseite g dem Betrag des Richtungsvektors \vec{u}.

\frac{1}{2} \cdot \vert \vec{AP} \times \vec{u} \vert = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

\frac{1}{2} \cdot \vert (\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{u} \vert = \frac{1}{2} \cdot \vert \vec{u} \vert \cdot d \ \ \ \ \ \vert \ \  h = d; g = \vert \vec{u} \vert

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}

Abstand Punkt Gerade, Formel, dreidimensional
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Formel für den Abstand Punkt Gerade

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