Geometrie

Abstand Gerade Gerade

Du suchst nach dem einfachsten Rechenweg für den Abstand zweier Geraden? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du die Distanzen zwischen Geraden bestimmen kannst.

Alternativ zum Artikel kannst du dir auch unser Erklärvideo zum Thema Abstand zweier Geraden ansehen, in dem alle Berechnungen kompakt und anschaulich durchgegangen werden.

Inhaltsübersicht

Abstand Gerade Gerade einfach erklärt

Der Abstand zwischen zwei Geraden entspricht der kürzesten Strecke zwischen zwei auf den jeweiligen Geraden liegenden Punkten. Man berechnet also die Distanz genau dort, wo sich die Geraden am nächsten kommen. Bei dieser Abstandsrechnung musst du zunächst prüfen, welche Lagebeziehung die Geraden aufweisen.

Lagebeziehungen von Geraden

  • identische Geraden: Vektoren sind Vielfache voneinander (kollineare Richtungsvektoren). Der Abstand beträgt 0.
  • sich schneidende Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, die Schnittpunktbestimmung liefert eine wahre Aussage. Der Abstand beträgt 0.
  • echt parallele Geraden: Die Richtungsvektoren sind kollinear; die Aufpunkte liegen nur auf einer Gerade. Der Abstand muss berechnet werden.
  • windschiefe Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht-kollinear; die Berechnung des Schnittpunkts liefert eine falsche Aussage

Den Abstand müssen wir also nur bei parallelen und windschiefen Geraden bestimmen. In diesem Artikel besprechen wir drei Wege den Abstand für Geraden zu bestimmen, die parallel sind. Für windschiefe Geraden haben wir einen eigenen Artikel für dich.

Abstand paralleler Geraden

Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich groß. Zur Berechnung kannst du daher einen beliebigen Punkt auf einer der beiden Geraden wählen und danach dessen Entfernung zur anderen bestimmen. Die anschließenden Rechenschritte sind dann die selben wie beim Abstand Punkt Gerade . Wir können uns also je nach Aufgabenstellung entscheiden, ob wir die Distanz mit Hilfe der Abstandsformel bestimmen oder eines der Lotfußpunktverfahren anwenden.

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Abstand paralleler Geraden
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Abstand paralleler Geraden Formel

Den Abstand zweier paralleler Geraden können wir auf dem gleichen Weg wie den Abstand Punkt Gerade bestimmen. Gesucht ist der Abstand der Geraden g_1: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{u} und g_2: \vec{x} = \vec{p} + \phi \cdot \vec{n}.

Abstandsformel paralleler Geraden

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}

\vec{p}: Vektor des Aufpunkts der Geraden g_1
\vec{q}: Vektor des Aufpunkts der Geraden g_2
\vec{n}: Richtungsvektor der Gerade g_2

Lösungsweg
  1. Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von g_2)
  2. Vektor \veq{q} von Vektor \veq{p} abziehen. Du erhältst den Verbindungsvektor \veq{QP}
  3. Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor der Geraden ausrechnen
  4. Ergebnisse in Abstandsformel eintragen und ausrechnen

Wenn du wissen möchtest, wie man den ersten Schritt umsetzt, dann schau dir unser Beispiel weiter unten an. Sobald du diesen Schritt erledigt hast, kannst du genauso fortfahren, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade. In einem eigenen Beitrag findest du ein ausführliches Beispiel.

Abstand paralleler Geraden Lotfußpunktverfahren

Genau wie beim Abstand Punkt Gerade können wir die Entfernung zweier paralleler Geraden auch mit den Lotfußpunktverfahren berechnen. Gesucht ist der Abstand der Geraden g_1: \vec{x} = \vec{q} + \Lambda \cdot \vec{u} und g_2: \vec{x} = \vec{p} + \phi \cdot \vec{n}.

Lösungsweg mit Hilfsebene

Abstand paralleler Geraden mit einer Hilfsebene
  1. Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von g_2)
  2. Hilfsebene aufstellen, die senkrecht auf den Geraden g_1 und g_2 steht und den Punkt P enthält
  3. Schnittpunkt S der Gerade g_1 und der Ebene H bestimmen
  4. Berechnung des Abstands d = \vert \vec{PS} \vert
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Abstand parallele Geraden mit Hilfsebene

In unserem Beispiel rechnen wir mit genau diesem Lösungsweg.

Lösungsweg mit laufendem Punkt

Abstand paralleler Geraden mit laufendem Punkt
  1. Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von g_2)
  2. Allgemeinen Verbindungsvektor zwischen dem „laufenden“ Punkt auf der Geraden S und dem Punkt P \vec{PS} aufstellen
  3. Orthogonalitätsbedingung (\vec{PS} \cdot \vec{u} = 0) liefert den Lotfußpunkt S
  4. Abstand des Punktes zur Geraden: d = \vert \vec{PS} \vert
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Abstand parallele Geraden mit laufendem Punkt

Auch für dieses Verfahren gilt bis auf den ersten Schritt derselbe Lösungsweg wie beim Verfahren für Punkt und Gerade. Wenn du ein Beispiel dazu sehen möchtest, schau dir unseren eigenen Beitrag an.

Abstand Gerade Gerade Beispiel

Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden g und h:

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right)

h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) + \phi \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -8 \\\ -4 \\\ \end{array}\right)

Sobald wir einen Punkt auf einer der Geraden gewählt haben, gleichen die weitere Lösungsschritte für alle Varianten stets denen, die wir dir in unseren Artikeln zu Abstand Punkt Gerade und Lotfußpunktverfahren sehr ausführlich gezeigt haben. In diesem Beispiel rechnen wir den Abstand mit einer Hilfsebene.

Schritt 1: Punkt auf einer Geraden bestimmen

Wir können bei diesem Schritt jeden beliebigen Punkt wählen, der auf einer der beiden Geraden liegt. Am besten überlegst du bei diesem Schritt nicht lange und nimmst einfach den Aufpunkt der Geraden h.

\vec{p} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right)

Diesen einfachen Schritt müssen wir sowohl bei der Formellösung als auch bei den Lotfußpunktverfahren mit Hilfslinie oder laufendem Punkt erledigen.

Schritt 2: Hilfsebene aufstellen

Eine Hilfsebene E soll senkrecht zu beiden Geraden stehen. Da die beiden Geraden ja parallel sind, steht die Ebene immer gleichzeitig auf beiden Geraden senkrecht. Es genügt also, wenn wir E senkrecht zu g wählen. Dazu bilden die Koordinaten des Richtungsvektors von g die Koordinatengleichung der Hilfsebene:

E: 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = r

Der gewählte Punkt P soll in der Ebene liegen, daher muss P die Ebenengleichung erfüllen. Wir erhalten für r:

0 \cdot 3 + 1\cdot 3 + 2 \cdot 3 = r

r = 9

Schritt 3: Schnittpunkt von Gerade und Hilfebene berechnen

Zur Schnittpunktbestimmung setzen wir die Koordinaten von g in E ein:

(4 + \lambda)+2\cdot (2+2 \lambda) = 9

8 + 5 \lambda = 9

\lambda = \frac{1}{5}

Setzen wir dieses \lambda in die Geradengleichung ein, bekommen wir den Schnittpunkt der Gerade g und der Hilfsebene.

\lambda \ in \ g: \ \vec{s_g} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + \frac{1}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ \frac{21}{5} \\\ \frac{12}{5} \\\ \end{array}\right)

Der Schnittpunkt S_g liegt bei (1 \vert \frac{21}{5} \vert \frac{12}{5}).

Schritt 4: Abstand berechnen

Jetzt haben wir zwei Punkte auf den parallelen Geraden gefunden, die durch einen senkrecht auf beiden Geraden liegenden Vektor verbunden sind. Bestimmen wir die Länge dieses Vektors vom Punkt P zu S_g ergibt sich der Abstand der Geraden.

\vec{P S_g} = \vec{s_g} - \vec{p} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ \frac{21}{5} \\\ \frac{12}{5} \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ \frac{6}{5} \\\ - \frac{3}{5} \\\ \end{array}\right)

Zum Schluss berechnen wir den Betrag dieses Vektors und erhalten das Ergebnis für den Abstand der parallelen Geraden.

d(g, h) = \vert \vec{P S_g} \vert = \sqrt{(-2)^2 + \frac{6}{5}^2 + (- \frac{3}{5})^2} \approx 2,41 LE

 

Abstand windschiefer Geraden

Zwei Geraden stehen windschief zueinander, wenn sie sich nicht berühren und zugleich nicht parallel sind. Windschiefe Geraden können daher nur ab drei Dimensionen auftreten. In unserem Artikel zur Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden erklären wir diese drei Rechenwege:

  • Berechnung mit Formel
  • Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
  • Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Abstandsrechnungen in der Geometrie

Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:

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