Geometrie

Diagonale berechnen

Hier erfährst du, was eine Flächendiagonale ist und wie du die Diagonale im Rechteck und im Quadrat berechnen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir einfach unser Video zum Thema Diagonale berechnen an!

Inhaltsübersicht

Was ist eine Diagonale?

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken miteinander, und zwar quer durch die Fläche oder den Raum. Eine Flächendiagonale findest du zum Beispiel in einem Rechteck. 

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Diagonale in einem Rechteck

Mit einer einfachen Formel kannst du die Länge einer Diagonale berechnen.

 \textcolor{red}{d} = \sqrt{a^2 + b^2}

Diese Formel gilt in allen Rechtecken!

Diagonale Rechteck berechnen

Nun kennst du die Antwort auf die Frage: Was sind Diagonalen? Aber schauen wir uns zur Diagonale eines Rechtecks gleich mal ein Beispiel an. Denn mit der Formel ist die Berechnung der Diagonale wirklich einfach.

Du willst mehr zum Thema Geometrie - Vierecke?

Beispielaufgabe

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 4\text{cm} und b = 3\text{cm}. Nun sollst du die Diagonale eines Rechtecks berechnen

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Beispiel: Diagonale Rechteck berechnen

 

  • Formel aufstellen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{a^2 + b^2}

  • Angaben einsetzen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{(4\text{cm})^2 + (3\text{cm})^2}

  • Ergebnis berechnen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{16\text{cm}^2 + 9\text{cm}^2} = \sqrt{25\text{cm}^2} = 5\text{cm}

In diesem Rechteck ist die Diagonale insgesamt 5cm lang. Mit diesem Ablauf und der Formel kannst du aber in jedem beliebigen Rechteck die Diagonale berechnen

Seitenlänge mit Diagonale berechnen

Du kannst aber auch aus einer gegebenen Flächendiagonale eine fehlende Seitenlänge bestimmen. Dafür ist einerseits eine Seitenlänge a und andererseits die Länge der Diagonale d eines Rechtecks gegeben. Gesucht ist die Länge der Seite b.

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Seitenlänge aus Diagonale berechnen
  • Formel aufstellen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{a^2+b^2}

  • Formel umstellen:

    \begin{align*} \textcolor{red}{d} &= \sqrt{a^2 + b^2} && |...^2 \\ \textcolor{red}{d}^2 &= a^2 + b^2 && | - a^2 \\ \textcolor{red}{d}^2 - a^2 &= b^2 \\ b^2 &= \textcolor{red}{d}^2 - a^2 && |\sqrt{...} \\ b &= \sqrt{\textcolor{red}{d}^2 - a^2} \end{align*}

  • Angaben einsetzen:

b = \sqrt{(\textcolor{red}{9\text{cm}})^2 - (5\text{cm})^2}

  • Ergebnis berechnen:

b = \sqrt{81\text{cm}^2 - 25\text{cm}^2} = \sqrt{56\text{cm}^2} \approx 7,5\text{cm}

Herleitung der Formel

Die Formel zur Berechnung einer Diagonale basiert auf dem Satz des Pythagoras . Es entsteht nämlich durch die Rechteck Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. 

Diagonale Rechteck Formel
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Rechtwinkliges Dreieck durch Diagonale

Die Diagonale im Rechteck bildet dabei die Hypotenuse, deshalb gilt

\textcolor{red}{d}^2 = a^2+b^2.

Dann musst du nur noch die Wurzel ziehen und kannst die Diagonale im Rechteck bestimmen.

\textcolor{red}{d} = \sqrt{a^2 + b^2}

Diagonale berechnen Quadrat

Ganz ähnlich funktioniert die Diagonale im Quadrat. Weil dort alle Seiten gleich lang sind (a=b), vereinfacht sich die Formel. 

d = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2 \cdot a^2} = \sqrt{2}a

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Diagonale im Quadrat

Damit kannst du nun ganz einfach die Diagonale im Quadrat berechnen.

Beispielaufgabe

Du sollst die Diagonale berechnen vom Quadrat mit Seitenlänge a=1\text{m}

  • Formel aufstellen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{2} \cdot a

  • Angabe einsetzen:

\textcolor{red}{d} = \sqrt{2} \cdot 1\text{m}

  • Ergebnis berechnen:

\textcolor{red}{d}=\sqrt{2}\text{m}

Weitere Anwendungen 

Das Thema Diagonale berechnen ist nur eine der vielen Anwendungen vom Satz des Pythagoras. Damit du wirklich auf alle Aufgaben zu diesem Bereich vorbereitet bist, solltest du unbedingt unser Video dazu ansehen!

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Zum Video: Satz des Pythagoras Aufgaben
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