Geometrie

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du das Volumen vom Prisma und die Prisma Oberfläche bestimmen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video an!

Inhaltsübersicht

Was ist ein Prisma?

Das Prisma in Mathe ist nicht ein bestimmter Körper, sondern eher ein Überbegriff. Aber welche Körper sind Prismen? Prismen haben eine Grundfläche und Deckfläche, die mit Rechtecken verbunden sind. Die Rechtecke bilden zusammen die Mantelfläche. Häufig ist die Grundfläche vom Prisma ein Dreieck

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Dreiseitiges Prisma

Ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche heißt Dreiecksprisma oder dreiseitiges Prisma. Die Grundfläche vom Prisma kann aber auch ein Trapez, ein Parallelogramm, ein Fünfeck und so weiter sein.

Prisma Formeln

Mit den allgemeinen Formeln kannst du alle verschiedenen Prismen berechnen.

Volumen eines Prismas: V = G \cdot h

Oberfläche eines Prismas: O = 2 \cdot G + M

Mantelfläche eines Prismas: M = U_G \cdot h 

Dabei kommen allgemeine Bezeichnungen vor. 

  • G ist die Grundfläche 
  • h ist die Höhe
  • M ist die Mantelfläche
  • U_G ist der Umfang der Grundfläche

Volumen Prisma

Und wie berechnet man das Volumen eines Prismas? Das Volumen vom Prisma hängt jeweils von der Grundfläche ab. Deshalb zeigen wir dir gleich zwei verschiedene Beispiele für ein Prisma Volumen. Ausgangspunkt ist immer die allgemeine Prisma Volumen Formel

Beispiel 1

Zuerst untersuchen wir das Volumen bei einem dreiseitigen Prisma. Die Grundfläche ist ein Dreieck.

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Dreiecksprisma

Die allgemeine Formel für das Prisma Volumen lautet V = G \cdot h. Damit kannst du auch das Volumen vom Dreiecksprisma in unserem Beispiel bestimmen. Für die Volumenberechnung ist ein Prisma mit Höhe \textcolor{red}{h_P = 8\text{cm}} und einem Dreieck als Grundfläche gegeben. Das Dreieck hat die Seitenlänge \textcolor{blue}{a = 7\text{cm}} und die dazugehörige Höhe \textcolor{orange}{h_a = 5\text{cm}}.

  • 1. Grundfläche herausfinden: Zuerst brauchst du für das Volumen die Dreieck Formel für den Flächeninhalt

G = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{h_a}

  • 2. Grundfläche berechnen: Jetzt kannst du mit den Angaben die Grundfläche bestimmen.

G = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{5\text{cm}} = 17,5\text{cm}^2

  • 3. Volumenformel aufstellen: Die Grundfläche musst du jetzt nur noch mit der Höhe \textcolor{red}{h_P = 8\text{cm}} multiplizieren.

V = G \cdot \textcolor{red}{h_P}

  • 4. Ergebnis bestimmen: Zum Schluss setzt du wieder die Angaben ein und kannst das Volumen vom Prisma berechnen. 

V = 17,5\text{cm}^2 \cdot \textcolor{red}{8\text{cm}} = 140\text{cm}^3

Insgesamt hat das dreiseitige Prisma ein Volumen von V = 140cm³. Den gleichen Ablauf kannst du für jedes Dreiecksprisma Volumen benutzen. 

Beispiel 2

Du kannst aber auch das Volumen eines Prismas berechnen, das als Grundfläche kein Dreieck hat. Im zweiten Beispiel ist die Grundfläche vom Prisma ein Trapez. Es heißt deshalb Trapezprisma

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Trapezprisma

Schritt für Schritt kannst du auch das Volumen vom Trapez Prisma berechnen. Dafür sind die Seitenlängen \textcolor{blue}{a = 5\text{cm}} und \textcolor{blue}{c = 11\text{cm}}, sowie die Höhe der Grundfläche \textcolor{orange}{h_T = 6\text{cm}} und die Höhe vom Prisma \textcolor{red}{h_P = 7\text{cm}} gegeben.

  • 1. Grundfläche herausfinden: Diesmal ist die Grundfläche ein Viereck mit zwei parallelen Seiten a \parallel c. Entsprechend brauchst du für das Volumen die Trapez Formel. 

G = \frac{1}{2} \cdot (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{blue}{c}) \cdot \textcolor{orange}{h_T}

  • 2. Grundfläche berechnen: Dann kannst du wieder die Zahlenwerte aus der Angabe einsetzen.

G = \frac{1}{2} \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}} + \textcolor{blue}{11\text{cm}}) \cdot \textcolor{orange}{6\text{cm}} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{16\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{6\text{cm}} = 48\text{cm}^2

  • 3. Volumenformel aufstellen: Für die Volumenberechnung vom Prisma musst du nur noch die Grundfläche mit der Höhe von unserem Prisma multiplizieren. 

V = G \cdot \textcolor{red}{h_P}

  • 4. Ergebnis bestimmen: Die Höhe entnimmst du wieder der Angabe, um so das Volumen vom Prisma zu berechnen. 

V = 48\text{cm}^2 \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}} = 336\text{cm}^3

Das Prisma Volumen im Beispiel beträgt insgesamt V = 336cm³. Um das Volumen eines Prismas zu berechnen, musst du immer zuerst die Grundform erkennen. Deshalb sind die Prisma Formeln so allgemein. 

Oberflächeninhalt Prisma

Der Oberflächeninhalt von einem Prisma besteht aus drei verschiedenen Teilen. Du addierst dafür den Flächeninhalt von Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Weil die Grundfläche und Deckfläche exakt gleich groß sind, ergibt sich die folgende allgemeine Formel für die Prisma Oberfläche.

O = 2 \cdot G + M

Auch der Oberflächeninhalt vom Prisma hängt wieder stark von der Grundfläche vom Prisma ab. Deshalb machen wir gleich ein Beispiel dazu.

Beispiel

Wie kannst du die Oberfläche von einem Dreiecksprisma bestimmen? Dafür ist ein dreiseitiges Prisma mit einer Höhe von \textcolor{red}{h=5\text{cm}} und einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche gegeben. Das Dreieck hat eine Seitenlänge von \textcolor{blue}{a=3\text{cm}}. Die Größen kannst du gut in dem Prisma Netz darstellen.

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Netz eines Prismas
  • 1. Grundfläche berechnen: Das Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck . Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, brauchst du die entsprechende Formel. 

G = \frac{1}{4} \cdot \textcolor{blue}{a}^2 \cdot \sqrt{3}

G = \frac{1}{4} \cdot (\textcolor{blue}{3\text{cm}})^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot 9\text{cm}^2 \cdot \sqrt{3} \approx 3,9\text{cm}^2

  • 2. Mantelfläche ermitteln: Die Prisma Mantelfläche kannst du aus dem Umfang der Grundfläche und der Prisma Höhe bestimmen.

M = U_G \cdot \textcolor{red}{h}

Weil die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist, musst du für den Umfang nur dreimal die Seitenlänge rechnen. 

M = \underbrace{3 \cdot \textcolor{blue}{a}}_{U_G} \cdot \textcolor{red}{h}

M = 3 \cdot \textcolor{blue}{3\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{5\text{cm}} = 45\text{cm}^2

  • 3. Prisma Oberfläche berechnen: Zum Schluss musst du die Bestandteile nur noch zusammensetzen. 

O = 2 \cdot G + M

O = 2 \cdot \underbrace{3,9\text{cm}^2}_{G} + \underbrace{45\text{cm}^2}_{M} = 52,8\text{cm}^2

Insgesamt hat das Dreiecksprisma einen Oberflächeninhalt von O = 52,8cm².

Wie berechnet man die Grundfläche eines Prismas?

Es sind viele verschiedene Prisma Grundflächen möglich. Hier geben wir dir nochmal eine Übersicht. Grundsätzlich musst du nur die Figur erkennen und die entsprechende Formel für den Flächeninhalt anwenden. 

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