Geometrie
Kugel
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Oberfläche Kugel berechnen einfach erklärt

Die Kugel gehört zu den geometrischen Körpern . Sie ist komplett rund und hat keine Ecken oder Kanten. Kugeln begegnen dir im Alltag in Form von Fußbällen, Murmeln oder Bowlingkugeln.

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Kugel

Die Oberfläche O ist alles, was du außen an der Kugel berühren kannst.

Alle Punkte auf der Kugel Oberfläche sind übrigens gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt. Diesen Abstand nennst du Radius r. Den Abstand von zwei gegenüberliegenden Punkten bezeichnest du als Durchmesser d. Er geht immer durch den Mittelpunkt und ist doppelt so lang wie der Radius r.

Oberfläche Kugel berechnen

Die Oberfläche einer Kugel berechnest du mit der Formel

O = 4 · π · r2

Beispiel: Eine Kugel mit dem Radius r = 2 cm hat die Oberfläche O = 4 · π · (2 cm)2 ≈ 50,3 cm2.

Du kannst auch die Formel O = π · d2 benutzen, um die Kugel Oberfläche zu berechnen.

Tipp: Die Kreiszahl (Pi) π ≈ 3,1415… ist in deinem Taschenrechner eingespeichert.

Kugeloberfläche berechnen

Mit der Formel kannst du also ganz einfach die Oberfläche einer Kugel berechnen. Wie das geht, zeigen wir dir hier anhand von ein paar Beispielen. Los geht’s!

Oberfläche berechnen – Beispiel 1

Zuerst bestimmen wir die Oberfläche einer Kugel mit Radius r = 6 cm. Dafür brauchst du die Formel der Kugeloberfläche.

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Oberfläche Kugel aus Radius
  • Formel aufstellen:

O = 4 · π · r2

  • Angabe einsetzen:

O = 4 · π · (6 cm)2

  • Ergebnis berechnen:

O = 4 · π · 36 cm2 ≈ 452,39 cm2

Die Fläche der Kugel beträgt insgesamt 452,39 cm². 

Oberfläche berechnen -Beispiel 2

Als nächstes schauen wir uns an, wie du die Kugeloberfläche aus dem Durchmesser berechnen kannst. Dafür ist ein Durchmesser von d = 8 m gegeben. In diesem Fall musst du für die Berechnung der Oberfläche der Kugel die Formel etwas anpassen. 

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Oberfläche Kugel aus Durchmesser

Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.

d = 2 · r

Deshalb kannst du die Formel für die Oberfläche der Kugel auch mit dem Durchmesser ausdrücken.

O = 4 · π · r2 = π · d2

Jetzt kannst du die Kugeloberfläche ganz normal berechnen.

  • Kugeloberfläche Formel aufstellen:

O = π · d2

  • Durchmesser einsetzen:

O = π · (8 m)2

  • Ergebnis berechnen:

O = π · 64 m2 ≈ 201,06 m2

Anwendungsbeispiel

Für ein Theaterprojekt möchtest du einen großen Ball mit Stoff umwickeln. Der Ball hat einen Radius von 30cm. Wie viel Stoff brauchst du dafür?

Diese Frage kannst du mit der Oberfläche der Kugel beantworten. 

  • Formel aufstellen:

O = 4 · π · r2

  • Radius einsetzen:

O = 4 · π · (30 cm)2

  • Ergebnis berechnen:

O = 4 · π · 900 cm2 ≈ 11309,73 cm2

Du brauchst gerundet 11.310 cm² Stoff, um die Kugelfläche zu umwickeln. 

Durchmesser mit Oberfläche berechnen

Manchmal musst du die Formel auch anders anwenden, zum Beispiel um aus einer Kugeloberfläche den Durchmesser zu bestimmen. Im Beispiel schauen wir uns eine Kugel mit Oberfläche O = 75,54 cm2 an. 

  • Oberfläche Kugel Formel aufstellen:

O = π · d2

  • Nach d auflösen:

    \begin{align*} \pi \cdot d^2 &= O && | : \pi \\ d^2 &= \frac{O}{\pi} && | \sqrt{...} \\ d &= \sqrt{\frac{O}{\pi}} \end{align*}

  • Oberfläche einsetzen:

d=\sqrt{\frac{75,54\text{cm}^2}{\pi}}

  • Ergebnis berechnen:

d=\sqrt{24,05 \text{cm}^2} \approx 5\text{cm}

Radius mit Oberfläche berechnen

Du kannst die Kugel Oberfläche Formel auch umgekehrt nutzen, um aus einer gegebenen Fläche der Kugel den Radius zu berechnen. Dazu schauen wir uns die Kugeloberfläche O = 1256,64 cm2 an.

  • Oberfläche Kugel Formel aufstellen:

O = 4 · π · r2

  • Nach r auflösen:

    \begin{align*} 4 \cdot \pi \cdot r^2 &= O && | : 4 \\ \pi \cdot r^2 &= \frac{O}{4} && | : \pi \\ r^2 &= \frac{O}{4 \cdot \pi} && | \sqrt{...} \\ r &= \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}} \end{align*}

  • Oberfläche einsetzen:

r = \sqrt{\frac{1256,64\text{cm}^2}{4 \cdot \pi}}

  • Ergebnis berechnen:

r = \sqrt{100\text{cm}^2} = 10\text{cm}

Volumen einer Kugel

Neben dem Oberflächeninhalt der Kugel ist auch das Volumen einer Kugel eine wichtige Größe. In unserem extra Video zum Kugelvolumen erklären wir dir, was das Volumen eigentlich ist und wie du es mit der Formel V = 4/3 · π · r3 berechnen kannst. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Volumen Kugel

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