Geometrie
Geometrische Körper
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In diesem Beitrag erklären wir dir, was die Oberfläche einer Kugel ist und wie du die Kugeloberfläche mit einer Formel berechnen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video an!

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

Eine Kugel ist ein ganz besonderer Körper, den du schon aus deinem Alltag kennst. Ein Ball oder der Planet Erde ist zum Beispiel so eine Kugel. Dabei sind bei einer Kugel alle Punkte auf der Außenfläche gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Dieser Abstand heißt Radius und du brauchst ihn zum Berechnen der Kugeloberfläche

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Kugel

Alle diese Außenpunkte gehören zur Oberfläche der Kugel. Du kannst diesen Flächeninhalt der Kugel mit einer Formel berechnen.

O = 4 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • O ist die Oberfläche der Kugel.
  • \pi \approx 3,1415... ist die Kreiszahl.
  • r ist der Radius der Kugel.

Du kannst zur Berechnung der Kugeloberfläche auch den Durchmesser verwenden.

O=\pi \cdot \textcolor{red}{d}^2

Wichtige Formeln bei der Kugelberechnung

Umfang: U = 2 \cdot r \cdot \pi

Oberfläche: O = 4 \cdot \pi \cdot r^2    oder    O=\pi \cdot d^2

Volumen: V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

Schauen wir uns die Kugelfläche nochmal genauer an.

Kugeloberfläche berechnen

Die Fläche der Kugel kannst du in wenigen Schritten berechnen. 

Beispiel 1 

Zuerst bestimmen wir die Oberfläche einer Kugel mit Radius \textcolor{blue}{r=6\text{cm}}. Dafür brauchst du die Formel der Kugeloberfläche.

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Oberfläche Kugel aus Radius
  • Formel aufstellen:

O = 4 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • Angabe einsetzen:

O = 4 \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2

  • Ergebnis berechnen:

O = 4 \cdot \pi \cdot 36\text{cm}^2 \approx 452,39\text{cm}^2

Die Fläche der Kugel beträgt insgesamt 452,39cm². 

Beispiel 2

Als nächstes schauen wir uns an, wie du die Kugeloberfläche aus dem Durchmesser berechnen kannst. Dafür ist ein Durchmesser von \textcolor{red}{d=8\text{m}} gegeben. In diesem Fall musst du für die Berechnung der Oberfläche der Kugel die Formel etwas anpassen. 

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Oberfläche Kugel aus Durchmesser

Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.

\textcolor{red}{d}=2 \cdot r

Deshalb kannst du die Formel für die Oberfläche der Kugel auch mit dem Durchmesser ausdrücken.

O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \textcolor{red}{d}^2

Jetzt kannst du die Kugeloberfläche ganz normal berechnen.

  • Kugeloberfläche Formel aufstellen:

O = \pi \cdot \textcolor{red}{d}^2

  • Durchmesser einsetzen:

O = \pi \cdot (\textcolor{red}{8\text{m}})^2

  • Ergebnis berechnen:

O = \pi \cdot 64\text{m}^2 \approx 201,06 \text{m}^2

Anwendungsbeispiel

Für ein Theaterprojekt möchtest du einen großen Ball mit Stoff umwickeln. Der Ball hat einen Radius von 30cm. Wie viel Stoff brauchst du dafür?

Diese Frage kannst du mit der Oberfläche der Kugel beantworten. 

  • Formel aufstellen:

O = 4 \cdot \pi \cdot r^2

  • Radius einsetzen:

O = 4 \cdot \pi \cdot (30\text{cm})^2

  • Ergebnis berechnen:

O = 4 \cdot \pi \cdot 900\text{cm}^2 \approx 11309,73 \text{cm}^2

Du brauchst gerundet 11.310cm² Stoff, um die Kugelfläche zu umwickeln. 

Durchmesser mit Oberfläche berechnen

Manchmal musst du die Formel auch anders anwenden, zum Beispiel um aus einer Kugeloberfläche den Durchmesser zu bestimmen. Im Beispiel schauen wir uns eine Kugel mit Oberfläche O=75,54\text{cm}^2 an. 

  • Oberfläche Kugel Formel aufstellen:

O = \pi \cdot d^2

  • Nach d auflösen:

    \begin{align*} \pi \cdot d^2 &= O && | : \pi \\ d^2 &= \frac{O}{\pi} && | \sqrt{...} \\ d &= \sqrt{\frac{O}{\pi}} \end{align*}

  • Oberfläche einsetzen:

d=\sqrt{\frac{75,54\text{cm}^2}{\pi}}

  • Ergebnis berechnen:

d=\sqrt{24,05 \text{cm}^2} \approx 5\text{cm}

Radius mit Oberfläche berechnen

Du kannst die Kugel Oberfläche Formel auch umgekehrt nutzen, um aus einer gegebenen Fläche der Kugel den Radius zu berechnen. Dazu schauen wir uns die Kugeloberfläche O = 1256,64\text{cm}^2 an. 

  • Oberfläche Kugel Formel aufstellen:

O = 4 \cdot \pi \cdot r^2

  • Nach r auflösen:

    \begin{align*} 4 \cdot \pi \cdot r^2 &= O && | : 4 \\ \pi \cdot r^2 &= \frac{O}{4} && | : \pi \\ r^2 &= \frac{O}{4 \cdot \pi} && | \sqrt{...} \\ r &= \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}} \end{align*}

  • Oberfläche einsetzen:

r = \sqrt{\frac{1256,64\text{cm}^2}{4 \cdot \pi}}

  • Ergebnis berechnen:

r = \sqrt{100\text{cm}^2} = 10\text{cm}

Volumen einer Kugel

Neben dem Oberflächeninhalt der Kugel ist auch das Volumen einer Kugel eine wichtige Größe. In unserem extra Video zum Kugelvolumen erklären wir dir, was das Volumen eigentlich ist und wie du es berechnen kannst. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Volumen Kugel

 

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