Geometrie

In diesem Artikel erklären wir dir den Höhensatz und den Kathetensatz mit vielen Beispielen. Du wirst zum Höhen- und Kathetensatz die Formel kennenlernen, Aufgaben sehen und den Beweis erklärt bekommen. Du möchtest dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video  zum Höhen- und Kathetensatz an!

Inhaltsübersicht

Höhen- und Kathetensatz einfach erklärt

Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch andere Sätze, die Aussagen über ein rechtwinkliges Dreieck machen. Um die Formeln für den Höhen- und Kathetensatz zu verstehen, musst du die verschiedenen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck kennen. 

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Höhen- und Kathetensatz
  • a und b sind die Katheten des Dreiecks.
  • c ist die Hypotenuse und besteht aus zwei Abschnitten c=\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q}.
  • h ist die Höhe im rechtwinkligen Dreieck. 

Der Höhensatz des Euklid macht dann eine Aussage über die Höhe h im Dreieck.

\textcolor{orange}{h}^2 = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q}

Der Kathetensatz des Euklid kann auf beide Katheten angewendet werden.

\textcolor{purple}{a}^2 = \textcolor{blue}{p} \cdot c

\textcolor{purple}{b}^2 = \textcolor{red}{q} \cdot c

Den Kathetensatz und den Höhensatz sehen wir uns nun genauer an. 

Hinweis: Zusammen mit dem Satz des Pythagoras bilden Höhensatz und Kathetensatz die Satzgruppe des Pythagoras

Höhensatz

Der Höhensatz des Euklid im rechtwinkligen Dreieck stellt eine Beziehung zwischen der Höhe h und den beiden Hypotenusenabschnitten p und q her. Die Höhensatz Formel lautet

\textcolor{orange}{h}^2 = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q}.

Wenn du mit dem Höhensatz Aufgaben lösen sollst, musst du meistens die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks damit berechnen. Sehen wir uns ein Beispiel zum Höhensatz an. 

Beispiel

Gegeben sind die beiden Abschnitte der Hypotenuse p = 4\text{cm} und q=2\text{cm}. Gesucht wird die Höhe im rechtwinkligen Dreieck. Diese Aufgabe kannst du leicht mit dem Höhensatz lösen. 

  • Höhensatz aufstellen: Beginne mit der Formel zum Höhensatz.

h^2=p \cdot q

  • Formel auflösen: Um mit der Formel die Höhe berechnen zu können, ziehst du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.

    \begin{align*} h^2 &= p \cdot q && | \sqrt{...} \\ h &= \sqrt{p \cdot q} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechen: Zum Schluss musst du nur noch die gegebenen Werte in die Formel einsetzen und kannst so die gesuchte Höhe berechnen

h=\sqrt{4\text{cm} \cdot 2\text{cm}} = \sqrt{8\text{cm}^2} \approx 2,83\text{cm}

Höhensatz Aufgabe

Bestimme die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenabschnitt p=3\text{cm} und q=5\text{cm}.

Lösung:

    \begin{align*} h^2 &= p \cdot q && | \sqrt{...} \\ h &= \sqrt{p \cdot q} \\ h &= \sqrt{3\text{cm} \cdot 5\text{cm}} \\ &= \sqrt{15\text{cm}^2} \approx 3,87\text{cm} \end{align*}

Höhensatz Formel

Auch die Höhensatz Formel kannst du einmal anschaulich mit Flächen betrachten. 

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Höhensatz mit Flächen

Das orangefarbene Quadrat hat die Seitenlänge h und damit den Flächeninhalt h². Diese Fläche ist genauso groß wie die Fläche des Rechtecks unter dem Dreieck. Das Rechteck setzt sich aus den beiden Hypotenusenabschnitten zusammen und hat den Flächeninhalt \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q}. Insgesamt ergibt sich so die Formel für den Höhensatz.

\textcolor{orange}{h}^2 = \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q}

Kathetensatz

Sehen wir uns zunächst den Kathetensatz des Euklid genauer an. Dabei wird eine Kathete ins Verhältnis zum anliegenden Hypotenusenabschnitt gesetzt. Genauer gesagt ist das Quadrat über der Kathete genauso groß wie das Rechteck aus der ganzen Hypotenuse c mal dem Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete anliegt. So kannst du die Katheten berechnen.

Die Formel zum Kathetensatz lautet a^2=p \cdot c beziehungsweise b^2=q \cdot c. Sehen wir uns einmal ein Beispiel dazu an.

Beispiel

Gegeben ist die Hypotenuse c=17\text{cm} und der Abschnitt p=3,76\text{cm}. Gesucht sind die beiden Katheten a und b. Um so eine Aufgabe zu lösen, kannst du die Kathetensätze benutzen.

  • Kathetensatz aufstellen: Zuerst stellst du den Satz für die Kathete a auf.

a^2=p \cdot c

  • Formel auflösen: Um als Ergebnis die Seitenlänge a zu bekommen, ziehst du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.

    \begin{align*} a^2 &= p \cdot c && |\sqrt{...} \\ a &= \sqrt{p \cdot c} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechnen: Nun musst du nur noch die gegebenen Werte einsetzen und kannst so die Kathete a berechnen.

a=\sqrt{3,76\text{cm} \cdot 17 \text{cm}} = \sqrt{64\text{cm}^2} = 8\text{cm}

  • Zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen: Um auch die zweite Kathete mit dem Kathetensatz berechnen zu können, brauchst du den entsprechenden Abschnitt auf der Hypotenuse.

    \begin{align*} p + q &= c && |-p \\ q &= c - p \\ q &= 17\text{cm} - 3,76\text{cm} \\ &=13,24\text{cm} \end{align*}

  • Kathetensatz aufstellen: Im nächsten Schritt kannst du den Kathetensatz für die Kathete b aufstellen.

b^2 = q \cdot c

  • Formel auflösen: Genauso wie bei der ersten Kathete auch, ziehst du hier auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.

    \begin{align*} b^2 &= q \cdot c && | \sqrt{...} \\ b &= \sqrt{q \cdot c} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechnen: Nun musst du nur noch die Werte einsetzen und zusammenrechnen.

b = \sqrt{13,24\text{cm} \cdot 17\text{cm}} = \sqrt{225\text{cm}^2}=15\text{cm}

So kannst du beide Katheten berechnen, indem du zweimal den Kathetensatz anwendest. Möglich ist aber auch, dass du die zweite Kathete b mit dem Satz des Pythagoras bestimmst. Bei solchen Kathetensatz Aufgaben gibt es häufig mehrere Lösungswege. 

Kathetensatz Aufgabe

Berechne die Kathete b in einem rechtwinkligen Dreieck mit c=25\text{cm} und q=4\text{cm}.

Lösung:

    \begin{align*} b^2 &=c \cdot q && | \sqrt{...} \\ b &= \sqrt{c \cdot q} \\ b &= \sqrt{25\text{cm} \cdot 4\text{cm}} \\ &= \sqrt{100\text{cm}^2} = 10\text{cm} \end{align*}

Kathetensatz Formel

Statt die Kathetensätze nur mit Seitenlängen zu betrachten, kannst du die Formel auch als Fläche interpretieren.

Kathetensatz, Kathetensätze
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Kathetensatz mit Flächen

Dabei ist die blaue Fläche des Quadrats über der Kathete a genauso groß wie die blaue Fläche, deren Flächeninhalt du mit c \cdot \textcolor{blue}{p} berechnen kannst. Es gilt also der Kathetensatz

\textcolor{purple}{a}^2 = \textcolor{blue}{p} \cdot c.

Genauso kannst du in dem Bild den anderen Kathetensatz finden. Denn die rote Fläche über der Kathete b ist ein Quadrat und hat den Flächeninhalt b². Diese Fläche ist genauso groß wie die andere rote Fläche, die sich aus c \cdot \textcolor{red}{q} zusammensetzt. Das kannst du mit der Formel vom Kathetensatz ausdrücken.

\textcolor{purple}{b}^2 = \textcolor{red}{q} \cdot c

Beweis

Schauen wir uns zum Schluss noch an, wie der Höhensatz Beweis und der Kathetensatz Beweis funktionieren.

Höhensatz Beweis

Für den Höhensatz Beweis wendest du den Satz des Pythagoras in den zwei Teildreiecken an, die durch die Höhe entstehen.

Höhensatz, Höhensatz Beweis
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Beweis für den Höhensatz

Deshalb gilt

\textcolor{orange}{h}^2 + \textcolor{red}{q}^2 = \textcolor{purple}{b}^2 und

\textcolor{orange}{h}^2 + \textcolor{blue}{p}^2 = \textcolor{purple}{a}^2.

Auch im großen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

\textcolor{purple}{a}^2 + \textcolor{purple}{b}^2 = c^2

Jetzt setzt du die oberen beiden Gleichungen in die untere ein und löst die Rechnung auf.

    \begin{align*} a^2 +b^2 &= c^2 \\ h^2+p^2 + h^2+q^2 &= c^2 \\ 2h^2 + p^2 + q^2 &=(p+q)^2 \\ 2h^2+p^2+q^2 &= p^2+2pq + q^2 && | - p^2 - q^2 \\ 2h^2 &= 2pq && | :2 \\ h^2 &= p \cdot q \end{align*}

So kommst du zur Höhensatz Formel

Beweis Kathetensatz

Auch der Beweis vom Kathetensatz funktioniert mit Hilfe vom Satz des Pythagoras. Für die Kathete a betrachtest du das rechtwinklige Dreieck aus der Kathete a, der Höhe h und dem Hypotenusenabschnitt p. 

    \begin{align*} a^2 &= p^2+h^2 \\ a^2 &= p^2 + p \cdot q \\ a^2 &= p \cdot p + p \cdot q \\ a^2 &= p \cdot (p + q) \\ a^2 &= p \cdot c \end{align*}

Für den Kathetensatz der Kathete b funktioniert der Beweis genauso. 

Satzgruppe des Pythagoras

Die drei Sätze bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.

  • Höhensatz: h^2=p \cdot q
  • Kathetensatz: a^2=p \cdot c und b^2=q \cdot c
  • Satz des Pythagoras: a^2+b^2=c^2

In unserem Video zum Satz des Pythagoras erfährst du, was dieser Satz aussagt und wie du mit ihm rechnen kannst. Schau es dir gleich an! 

Satz des pythagoras, satz des pythagoras formel
Zum Video: Satz des Pythagoras

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