Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Was ist senkrecht?

Um zu verstehen, was senkrecht bedeutet, musst du zuerst den rechten Winkel kennen. Das ist ein Winkel, der genau 90° groß ist. Du kennzeichnest ihn durch einen Viertelkreis mit Punkt

Zwei Linien stehen dann senkrecht aufeinander, wenn zwischen ihnen ein rechter Winkel (90°-Winkel) liegt. 

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Senkrechte Linien

Oft sprichst du auch von senkrechten Geraden oder senkrechten Strecken:

  • Eine Strecke ist eine gerade Linie zwischen zwei Punkten
  • Eine Gerade ist eine unendlich lange Linie
Senkrechte Geraden

Zwei Geraden oder Strecken stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden. Wenn die Geraden zum Beispiel g und h heißen, kannst du schreiben:

g h

Du nennst die Geraden dann auch orthogonal

Senkrechte Geraden zeichnen: Geodreieck

Du kannst zu einer gegebenen Gerade ganz leicht eine senkrechte Linie einzeichnen. Dazu brauchst du nur dein Geodreieck:

  • Schritt 1: Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die gegebene Gerade.
  • Schritt 2: Zeichne eine weitere Gerade entlang der Messleiste des Geodreiecks.
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Senkrechte Gerade mit Geodreieck zeichnen

Prima! Die blaue und die grüne Gerade sind jetzt senkrecht zueinander.

Senkrechte Gerade durch einen Punkt

Manchmal hast du eine Gerade und einen Punkt gegeben und musst eine senkrechte Gerade durch den Punkt zeichnen. Auch das ist gar nicht schwer:

  • Schritt 1: Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die gegebene Gerade.
  • Schritt 2: Schiebe das Geodreieck entlang der Geraden hin und her, bis der Punkt auf der Messleiste liegt.
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Senkrechte Gerade durch Punkt: Geodreieck anlegen
  • Schritt 3: Zeichne eine Gerade entlang der Messleiste des Geodreiecks. Die Gerade sollte durch den Punkt gehen.
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Senkrechte Gerade durch Punkt: Linie zeichnen

Prima! Jetzt steht die grüne Gerade senkrecht auf der blauen und verläuft durch deinen roten Punkt.

Senkrechte Geraden zeichnen: Zirkel

Auch mit dem Zirkel kannst du senkrechte Linien einzeichnen. Schau dir dazu wieder eine gegebene Gerade an. Dann gehst du in 5 Schritten vor:

  • Schritt 1: Stich mit dem Zirkel irgendwo auf der Geraden ein. 
  • Schritt 2: Zeichne einen Kreis — die Größe ist egal. Er sollte deine Gerade jetzt zweimal schneiden
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Senkrechte zeichnen: Kreis um einen Punkt
  • Schritt 3: Stelle den Zirkel nun etwas größer ein und stich an einem der Schnittpunkte ein (hier: der linke). Zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade schneidet.
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Senkrechte zeichnen: Kreisbogen
  • Schritt 4: Wiederhole Schritt 3 am anderen Schnittpunkt. Ändere dabei nicht die Größe deines Zirkels!
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Senkrechte zeichnen: zweiter Kreisbogen
  • Schritt 5: Die beiden Kreisbögen schneiden sich zweimal. Zeichne jetzt eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.
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Senkrechte zeichnen: Gerade einzeichnen

Super! Die grüne und die blaue Gerade sind jetzt senkrecht zueinander.

Senkrechte Gerade durch einen Punkt

Mit dem Zirkel kannst du auch eine senkrechte Linie durch einen Punkt P zeichnen. Das funktioniert so:

  • Schritt 1: Stich im Punkt P ein und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade zweimal schneidet.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Kreisbogen
  • Schritt 2: Stich an einem der Schnittpunkte ein (hier: der linke). Zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade schneidet und durch P geht.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Kreisbogen durch Punkt
  • Schritt 3: Wiederhole Schritt 2 am anderen Schnittpunkt. Ändere dabei nicht die Größe deines Zirkels!
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: zweiter Kreisbogen
  • Schritt 4: Die beiden Kreisbögen schneiden sich zweimal. Zeichne jetzt eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Gerade einzeichnen

Super! Schon hast du deine Gerade konstruiert!

Expertenwissen: Senkrechte Vektoren

Auch bei Geraden und Ebenen mit Vektoren kannst du von senkrecht sprechen. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. 

Beispiel: Die Vektoren

    \[\left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{orange}{1} \end{array}\right) \qquad \text{und} \qquad \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{orange}{0} \end{array}\right)\]

stehen senkrecht aufeinander, weil

    \[\left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{orange}{1} \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{orange}{0} \end{array}\right) = \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{orange}{1} \cdot \textcolor{orange}{0} = 0\]

Wenn zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren immer 0. 

Beispiel: Schau dir folgende senkrechte Geraden an:

    \[g: \, \overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) + \lambda \cdot \textcolor{teal}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} \qquad \text{und} \qquad h: \, \overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right) + \mu \cdot \textcolor{teal}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)}\]

Wie du im ersten Beispiel gesehen hast, ist das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren 0.

Achtung! Andersherum funktioniert das nicht. Nur weil das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 ist, heißt das nicht automatisch, dass die Geraden senkrecht stehen. Sie können auch windschief zueinander liegen.

Schau dir jetzt noch Ebenen an. Dazu brauchst du immer Ebenen in Normalenform , zum Beispiel:

    \[E_1: \, \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} \circ (\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)) = 0 \qquad \text{und} \qquad E_2: \, \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)} \circ (\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)) = 0 \]

Dann kannst du dir merken:
Senkrechte Ebenen und Geraden
  • Zwei Ebenen sind genau dann senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen.
  • Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene in die gleiche Richtung zeigen (parallel sind). 

Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht

Prima! Jetzt weißt du alles über den Begriff senkrecht und über senkrechte Linien in der Mathematik. Im Alltag hat er eine etwas andere Bedeutung. Außerdem hängen die Begriffe horizontal, vertikal und waagerecht eng damit zusammen. Willst du darüber mehr wissen? Dann schau dir dieses Video an!

Zum Video: Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht
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