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Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Geometrie
Rechteck und Quadrat

Rechteck
1/6 – Dauer: 02:50
Flächeninhalt Rechteck
2/6 – Dauer: 04:07
Umfang Rechteck
3/6 – Dauer: 03:29
Quadrat
4/6 – Dauer: 03:20
Flächeninhalt Quadrat
5/6 – Dauer: 02:59
Umfang Quadrat
6/6 – Dauer: 03:12

Geometrie
Vierecke

Vierecke
1/9 – Dauer: 04:53
Diagonale berechnen
2/9 – Dauer: 03:18
Parallelogramm
3/9 – Dauer: 03:19
Parallelogramm - Flächeninhalt und Umfang
4/9 – Dauer: 03:31
Trapez
5/9 – Dauer: 04:48
Trapez - Flächeninhalt und Umfang
6/9 – Dauer: 04:22
Trapez Flächeninhalt
7/9 – Dauer: 02:48
Drachenviereck
8/9 – Dauer: 04:00
Raute
9/9 – Dauer: 04:20

Geometrie
Dreiecke Grundlagen

Dreiecksarten
1/9 – Dauer: 02:07
Dreiecke
2/9 – Dauer: 02:50
Dreieck
3/9 – Dauer: 04:08
Höhe Dreieck berechnen
4/9 – Dauer: 04:32
Flächeninhalt Dreieck
5/9 – Dauer: 03:33
Umfang Dreieck
6/9 – Dauer: 02:44
Rechtwinkliges Dreieck
7/9 – Dauer: 04:08
Gleichschenkliges Dreieck
8/9 – Dauer: 04:25
Gleichseitiges Dreieck
9/9 – Dauer: 03:43

Geometrie
Dreiecke Sätze

Satz des Thales
1/9 – Dauer: 04:15
Kongruenzsätze
2/9 – Dauer: 04:20
Satz des Pythagoras
3/9 – Dauer: 03:22
Satz des Pythagoras Aufgaben
4/9 – Dauer: 03:43
Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse
5/9 – Dauer: 03:24
Hypotenuse berechnen
6/9 – Dauer: 04:10
Höhensatz
7/9 – Dauer: 02:52
Kathetensatz
8/9 – Dauer: 03:49
Höhen- und Kathetensatz
9/9 – Dauer: 04:12

Geometrie
Geometrische Grundlagen

Geometrische Formen und Figuren
1/9 – Dauer: 03:48
Was ist senkrecht?
2/9 – Dauer: 03:42
Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht
3/9 – Dauer: 02:41
Orthogonal
4/9 – Dauer: 03:46
Flächeninhalt
5/9 – Dauer: 04:37
Flächenberechnung
6/9 – Dauer: 03:19
Querschnittsfläche
7/9 – Dauer: 04:16
Strahlensätze
8/9 – Dauer: 04:05
Kongruenz
9/9 – Dauer: 02:56

Geometrie
Winkel

Winkelarten und Winkeltypen
1/8 – Dauer: 03:42
Winkel messen
2/8 – Dauer: 03:21
Scheitelwinkel und Nebenwinkel
3/8 – Dauer: 03:18
Stufenwinkel und Wechselwinkel
4/8 – Dauer: 02:27
Winkel berechnen
5/8 – Dauer: 03:53
Winkelsumme
6/8 – Dauer: 04:48
Innenwinkelsumme Dreieck
7/8 – Dauer: 03:10
Winkelhalbierende
8/8 – Dauer: 02:21

Geometrie
Symmetrie

Symmetrie
1/4 – Dauer: 03:03
Achsensymmetrie
2/4 – Dauer: 04:10
Symmetrieachse
3/4 – Dauer: 04:22
Punktsymmetrie
4/4 – Dauer: 04:34

Geometrie
Kreis berechnen

Kreis
1/8 – Dauer: 02:45
Kreis berechnen
2/8 – Dauer: 03:54
Kreisberechnung
3/8 – Dauer: 04:17
Radius berechnen
4/8 – Dauer: 04:19
Umfang Kreis
5/8 – Dauer: 03:42
Durchmesser berechnen
6/8 – Dauer: 03:15
Flächeninhalt Kreis
7/8 – Dauer: 04:26
Zahl Pi
8/8 – Dauer: 03:41

Geometrie
Kreis

Gradmaß und Bogenmaß berechnen
1/4 – Dauer: 03:46
Kreisbogen und Kreisausschnitt
2/4 – Dauer: 02:43
Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt)
3/4 – Dauer: 02:55
Kreisgleichung
4/4 – Dauer: 04:44

Geometrie
Einfache geometrische Körper

Geometrische Körper
1/4 – Dauer: 03:27
Volumen berechnen
2/4 – Dauer: 04:37
Kubikmeter berechnen
3/4 – Dauer: 03:19
Oberflächeninhalt
4/4 – Dauer: 03:57

Geometrie
Quader & Würfel

Quader
1/4 – Dauer: 02:45
Oberfläche Quader und Würfel
2/4 – Dauer: 03:43
Volumen Quader und Würfel
3/4 – Dauer: 03:35
Länge Breite Höhe
4/4 – Dauer: 02:22

Geometrie
Prisma und Zylinder

Prismen
1/7 – Dauer: 03:52
Prisma - Oberfläche
2/7 – Dauer: 02:49
Prisma Volumen und Oberfläche
3/7 – Dauer: 03:26
Zylinder
4/7 – Dauer: 03:12
Volumen Zylinder
5/7 – Dauer: 04:33
Oberfläche Zylinder
6/7 – Dauer: 03:58
Mantelfläche Zylinder
7/7 – Dauer: 03:35

Geometrie
Pyramide und Kegel

Pyramide
1/7 – Dauer: 04:49
Oberfläche Pyramide
2/7 – Dauer: 04:42
Volumen Pyramide
3/7 – Dauer: 04:25
Pyramidenstumpf
4/7 – Dauer: 04:24
Oberfläche Kegel
5/7 – Dauer: 03:30
Volumen Kegel
6/7 – Dauer: 03:37
Kegelstumpf
7/7 – Dauer: 04:46

Geometrie
Kugel

Kugel
1/3 – Dauer: 03:01
Oberfläche Kugel
2/3 – Dauer: 03:49
Volumen Kugel
3/3 – Dauer: 03:22

Geometrie
Abstandsrechnung

Euklidische Distanz
1/8 – Dauer: 04:03
Dreidimensionales Koordinatensystem
2/8 – Dauer: 04:22
Abstand zweier Punkte
3/8 – Dauer: 04:18
Abstand Punkt Gerade
4/8 – Dauer: 03:21
Abstand Gerade Gerade
5/8 – Dauer: 04:53
Abstand Punkt Ebene
6/8 – Dauer: 04:14
Lotfußpunktverfahren
7/8 – Dauer: 05:21
Abstand windschiefer Geraden
8/8 – Dauer: 04:57

Geometrie
Ebenen

Koordinatenform
1/10 – Dauer: 03:02
Parameterform
2/10 – Dauer: 03:31
Normalenvektor
3/10 – Dauer: 03:18
Spurpunkte
4/10 – Dauer: 03:04
Normalenform
5/10 – Dauer: 02:19
Hessesche Normalform
6/10 – Dauer: 04:20
Schnittgerade zweier Ebenen
7/10 – Dauer: 03:39
Schnittpunkt Gerade Ebene
8/10 – Dauer: 04:33
Koordinatenform in Parameterform
9/10 – Dauer: 03:15
Parameterform in Koordinatenform
10/10 – Dauer: 03:06

Geometrie
Differentialgeometrie

Polarkoordinaten
1/5 – Dauer: 04:53
Zylinderkoordinaten
2/5 – Dauer: 03:17
Kugelkoordinaten
3/5 – Dauer: 04:26
Kollinear
4/5 – Dauer: 03:59
Satz von Stokes
5/5 – Dauer: 04:06
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Hier geht's zum Video „Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht“
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Mathematik
Geometrie
Geometrische Grundlagen

Was ist senkrecht?

Wichtige Inhalte in diesem Video
Was ist senkrecht?
(00:14)
Senkrechte Geraden zeichnen: Geodreieck
(00:44)
Senkrechte Gerade durch einen Punkt
(01:08)
Senkrechte Geraden zeichnen: Zirkel
(01:43)
Senkrechte Gerade durch einen Punkt
(02:37)

Was bedeutet eigentlich senkrecht und wie zeichnest du senkrechte Geraden? Das alles erfährst du in diesem Artikel und in unserem Video !

Inhaltsübersicht

Was ist senkrecht?

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(00:14)

Um zu verstehen, was senkrecht bedeutet, musst du zuerst den rechten Winkel kennen. Das ist ein Winkel, der genau 90° groß ist. Du kennzeichnest ihn durch einen Viertelkreis mit Punkt. 

Zwei Linien stehen dann senkrecht aufeinander, wenn zwischen ihnen ein rechter Winkel (90°-Winkel) liegt. 

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Senkrechte Linien

Oft sprichst du auch von senkrechten Geraden oder senkrechten Strecken:

  • Eine Strecke ist eine gerade Linie zwischen zwei Punkten
  • Eine Gerade ist eine unendlich lange Linie
Senkrechte Geraden

Zwei Geraden oder Strecken stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden. Wenn die Geraden zum Beispiel g und h heißen, kannst du schreiben:

g ⊥ h

Du nennst die Geraden dann auch orthogonal . 

Senkrechte Geraden zeichnen: Geodreieck

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(00:44)

Du kannst zu einer gegebenen Gerade ganz leicht eine senkrechte Linie einzeichnen. Dazu brauchst du nur dein Geodreieck:

  • Schritt 1: Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die gegebene Gerade.
  • Schritt 2: Zeichne eine weitere Gerade entlang der Messleiste des Geodreiecks.
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Senkrechte Gerade mit Geodreieck zeichnen

Prima! Die blaue und die grüne Gerade sind jetzt senkrecht zueinander.

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Senkrechte Gerade durch einen Punkt

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(01:08)

Manchmal hast du eine Gerade und einen Punkt gegeben und musst eine senkrechte Gerade durch den Punkt zeichnen. Auch das ist gar nicht schwer:

  • Schritt 1: Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die gegebene Gerade.
  • Schritt 2: Schiebe das Geodreieck entlang der Geraden hin und her, bis der Punkt auf der Messleiste liegt.
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Senkrechte Gerade durch Punkt: Geodreieck anlegen
  • Schritt 3: Zeichne eine Gerade entlang der Messleiste des Geodreiecks. Die Gerade sollte durch den Punkt gehen.
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Senkrechte Gerade durch Punkt: Linie zeichnen

Prima! Jetzt steht die grüne Gerade senkrecht auf der blauen und verläuft durch deinen roten Punkt.

Senkrechte Geraden zeichnen: Zirkel

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(01:43)

Auch mit dem Zirkel kannst du senkrechte Linien einzeichnen. Schau dir dazu wieder eine gegebene Gerade an. Dann gehst du in 5 Schritten vor:

  • Schritt 1: Stich mit dem Zirkel irgendwo auf der Geraden ein. 
  • Schritt 2: Zeichne einen Kreis — die Größe ist egal. Er sollte deine Gerade jetzt zweimal schneiden. 
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Senkrechte zeichnen: Kreis um einen Punkt
  • Schritt 3: Stelle den Zirkel nun etwas größer ein und stich an einem der Schnittpunkte ein (hier: der linke). Zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade schneidet.
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Senkrechte zeichnen: Kreisbogen
  • Schritt 4: Wiederhole Schritt 3 am anderen Schnittpunkt. Ändere dabei nicht die Größe deines Zirkels!
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Senkrechte zeichnen: zweiter Kreisbogen
  • Schritt 5: Die beiden Kreisbögen schneiden sich zweimal. Zeichne jetzt eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.
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Senkrechte zeichnen: Gerade einzeichnen

Super! Die grüne und die blaue Gerade sind jetzt senkrecht zueinander.

Senkrechte Gerade durch einen Punkt

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(02:37)

Mit dem Zirkel kannst du auch eine senkrechte Linie durch einen Punkt P zeichnen. Das funktioniert so:

  • Schritt 1: Stich im Punkt P ein und zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade zweimal schneidet.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Kreisbogen
  • Schritt 2: Stich an einem der Schnittpunkte ein (hier: der linke). Zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade schneidet und durch P geht.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Kreisbogen durch Punkt
  • Schritt 3: Wiederhole Schritt 2 am anderen Schnittpunkt. Ändere dabei nicht die Größe deines Zirkels!
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: zweiter Kreisbogen
  • Schritt 4: Die beiden Kreisbögen schneiden sich zweimal. Zeichne jetzt eine Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.
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Senkrechte durch Punkt zeichnen: Gerade einzeichnen

Super! Schon hast du deine Gerade konstruiert!

Expertenwissen: Senkrechte Vektoren

Auch bei Geraden und Ebenen mit Vektoren kannst du von senkrecht sprechen. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. 

Beispiel: Die Vektoren

    \[\left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{orange}{1} \end{array}\right) \qquad \text{und} \qquad \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{orange}{0} \end{array}\right)\]

stehen senkrecht aufeinander, weil

    \[\left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{orange}{1} \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{orange}{0} \end{array}\right) = \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{orange}{1} \cdot \textcolor{orange}{0} = 0\]

Wenn zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren immer 0. 

Beispiel: Schau dir folgende senkrechte Geraden an:

    \[g: \, \overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) + \lambda \cdot \textcolor{teal}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} \qquad \text{und} \qquad h: \, \overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right) + \mu \cdot \textcolor{teal}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)}\]

Wie du im ersten Beispiel gesehen hast, ist das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren 0.

Achtung! Andersherum funktioniert das nicht. Nur weil das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 ist, heißt das nicht automatisch, dass die Geraden senkrecht stehen. Sie können auch windschief zueinander liegen.

Schau dir jetzt noch Ebenen an. Dazu brauchst du immer Ebenen in Normalenform , zum Beispiel:

    \[E_1: \, \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)} \circ (\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)) = 0 \qquad \text{und} \qquad E_2: \, \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)} \circ (\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)) = 0 \]

Dann kannst du dir merken:
Senkrechte Ebenen und Geraden
  • Zwei Ebenen sind genau dann senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen.
  • Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene in die gleiche Richtung zeigen (parallel sind). 

Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht

Prima! Jetzt weißt du alles über den Begriff senkrecht und über senkrechte Linien in der Mathematik. Im Alltag hat er eine etwas andere Bedeutung. Außerdem hängen die Begriffe horizontal, vertikal und waagerecht eng damit zusammen. Willst du darüber mehr wissen? Dann schau dir dieses Video an!

Zum Video: Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht
Zum Video: Horizontal, vertikal, waagerecht, senkrecht

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