Analysis

Parallelogramm – Flächeninhalt und Umfang

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du den Flächeninhalt im Parallelogramm und den Umfang vom Parallelogramm berechnen kannst. %</span>In unserem Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> zum <strong>Parallelogramm Flächeninhalt</strong> zeigen wir dir nochmal ausführlich die <strong>Formel</strong> und viele Beispiele. Schau es dir an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms?

Ein Parallelogramm sieht aus wie ein schiefes Rechteck, bei welchem die Seiten gekippt wurden. Dabei sind die gegenüberliegenden Seiten immer parallel zueinander. Um den Flächeninhalt vom Parallelogramm zu bestimmen, brauchst du eine Seitenlänge a und eine Höhe \textcolor{red}{h_a} dazu.

Parallelogramm, Flächeninhalt Parallelogramm
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Parallelogramm

Die Parallelogramm Formel für den Flächeninhalt lautet dann

A = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a}.

Außerdem kannst du mit der folgenden Formel den Umfang vom Parallelogramm berechnen.

U=2 \cdot ( \textcolor{blue}{a} + b)

Zuerst sehen wir uns aber die Fläche vom Parallelogramm genauer an.

Parallelogramm Flächeninhalt

Am besten schaust du dir die Formel für den Flächeninhalt im Parallelogramm direkt an einem Beispiel an. 

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Beispiel 1

Zur Flächenberechnung im Parallelogramm ist die Seite \textcolor{blue}{a=10\text{cm}} und die Höhe \textcolor{red}{h_a=7\text{cm}} gegeben. Du kannst bei diesem Parallelogramm den Flächeninhalt leicht berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor.

  • Formel aufstellen: Zuerst stellst du für den Flächeninhalt im Parallelogramm die Formel auf.

A = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a}

  • Angaben einsetzen: Dann kannst du die Zahlenwerte aus der Angabe einsetzen.

A = \textcolor{blue}{10\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}}

  • Ergebnis berechnen: Zum Schluss musst du die Werte nur noch zusammenrechnen.

A = 70\text{cm}^2

Dieses Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 70\text{cm}^2

Beispiel 2

Die Formel funktioniert auch, wenn du zur Flächenberechnung die Seite b des Parallelogramms und die Höhe dazu gegeben hast. Dann kannst du die Fläche vom Parallelogramm mit b=4\text{cm} und h_b=6\text{cm} ganz einfach bestimmen.

  • Formel aufstellen: Die Formel lautet wieder Grundseite mal Höhe, nur dass du diesmal die kürzere Seite b gegeben hast.

A = b \cdot h_b

  • Angaben einsetzen: 

A = 4\text{cm} \cdot 6\text{cm}

  • Ergebnis ausrechnen:

A = 24\text{cm}^2

Die Fläche vom Parallelogramm beträgt also 24\text{cm}^2. Wichtig zur Berechnung ist nur, dass die gegebene Höhe senkrecht auf der Seite steht, die du zum Berechnen benutzt. 

Herleitung

Die Formel für die Fläche vom Parallelogramm kannst du dir ganz leicht selbst herleiten. Dafür startest du mit einem Parallelogramm mit eingezeichneter Höhe \textcolor{red}{h_a}

Parallelogramm, Parallelogramm Formel Herleitung
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Parallelogramm: Herleitung Schritt 1

Jetzt kannst du das gelb eingefärbte Dreieck entlang der Höhe abschneiden und rechts an die Fläche anfügen. So erhältst du ein Rechteck. 

Parallelogramm, Parallelogramm Formel Herleitung
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Parallelogramm: Herleitung Schritt 2

Den Flächeninhalt eines Rechtecks  kannst du ganz einfach durch die Formel Länge mal Breite berechnen. In diesem Fall gilt

A = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a}.

Das ist gerade die Formel für den Parallelogramm Flächeninhalt.

Umfang Parallelogramm

Natürlich kannst du auch andere Größen im Parallelogramm berechnen. Weil in diesem besonderen Viereck immer zwei Seiten parallel zueinander und gleich lang sind, gibt es auch eine extra Formel für den Umfang vom Parallelogramm.

U = 2\textcolor{blue}{a}+2\textcolor{orange}{b} = 2\cdot(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{orange}{b})

Umfang Parallelogramm, Parallelogramm Umfang
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Umfang Parallelogramm

Statt alle vier Seiten zusammenzurechnen, kannst du die einfachere Formel für den Umfang im Parallelogramm nutzen. 

Beispiel

Lass uns gleich noch ein Beispiel für den Umfang von einem Parallelogramm machen. Dafür brauchst du nur die Formel für den Umfang im Parallelogramm. Wenn du die Seitenlängen a=10\text{cm} und b=8\text{cm} gegeben hast, dann kannst du den Umfang von diesem Parallelogramm schnell berechnen

  • Formel aufstellen:

U=2 \cdot (a+b)

  • Angaben einsetzen:

U = 2 \cdot (10\text{cm} + 8\text{cm})

  • Ergebnis berechnen:

U = 2 \cdot 18\text{cm} = 36\text{cm}

Parallelogramm Höhe berechnen

Natürlich funktioniert jede Formel auch rückwärts. So kannst du zum Beispiel aus dem Flächeninhalt im Parallelogramm die Höhe berechnen. Gegeben ist dafür ein Parallelogramm mit Flächeninhalt A=60\text{cm}^2 und Seitenlänge a=12\text{cm}.

  • Formel aufstellen:

A = a \cdot h_a

  • Nach Höhe auflösen:

    \begin{align*} a \cdot h_a &= A && | : a \\ h_a &= \frac{A}{a} \end{align*}

  • Angaben einsetzen:

h_a = \frac{60\text{cm}^2}{12\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen:

h_a=5\text{cm}

Andere Vierecke

Neben dem Parallelogramm gibt es noch andere besondere Vierecke, die spezielle Formeln für ihren Flächeninhalt haben. Schau dir gleich unser Video zum Flächeninhalt Rechteck an! %Verlinken mit Thumbnail

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