Geometrie
Ebenen
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Du möchtest wissen, was ein Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene ist und wie du ihn berechnen kannst? Dann ist dieser Artikel und unser Video genau das Richtige für dich!

Schnittpunkt Gerade Ebene einfach erklärt

Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der Punkt, an dem die Gerade die Ebene schneidet, also durch sie hindurchgeht. Schau dir dazu folgende Gerade g und Ebene E an:

    \[\textcolor{blue}{g: \vec{x} = \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{1}\\\textcolor{blue}{2}\\\textcolor{green}{3}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{1}\\\textcolor{blue}{0}\\\textcolor{green}{1}\\\end{array}\right)} \qquad \text{und} \qquad \textcolor{orange}{E: 2 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3 = 20} \]

Den Schnittpunkt kannst du nun ganz leicht Schritt für Schritt berechnen:

  • Schritt 1: Schreibe die Geradengleichung g in eine einzige große Klammer:

        \[ \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{1 + r \cdot 1}\\\textcolor{blue}{2 + r \cdot 0}\\\textcolor{green}{3 + r \cdot 1 }\end{array}\right)}= \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{ x_1}\\\textcolor{blue}{x_2}\\\textcolor{green}{x_3}\\\end{array}\right) \]

  • Schritt 2: Setze die Zeilen von g in E ein:

        \[\textcolor{orange}{2}\cdot\textcolor{red}{( 1+ r \cdot 1)} \textcolor{orange}{+2}\cdot\textcolor{blue}{( 2+ r \cdot 0)}\textcolor{orange}{ -3}\cdot\textcolor{green}{( 3+r \cdot 1)}\textcolor{orange}{= 20} \]

  • Schritt 3: Multipliziere aus und löse nach Parameter r auf:

        \begin{align*} &2\cdot( 1+ r \cdot 1) + 2\cdot( 2+ r \cdot 0) -3 \cdot(3+r \cdot 1)= 20 \\  \implies &2+ 2r+ 4- 9- 3r = 20 \\\implies &\textcolor{olive}{r = -23}\end{align*}

  • Schritt 4:  Setze r in g ein:

        \[ \vec{S} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{r}1\\2\\3\\\end{array}\right) + }\textcolor{olive}{(-23)}\textcolor{blue}{ \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\\end{array}\right)} = \textcolor{red}{\left( \begin{array}{r}-22\\2\\-20\\\end{array}\right)} \]

  • Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab:
    Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S (-22 | 2 | -20).

Schnittpunkt aus Parameterform berechnen

Du hast deine Ebenengleichung in Parameterform und nicht wie oben in Koordinatenform vorliegen? Dann schau dir dieses Beispiel an:

    \[\textcolor{blue}{g:  \vec{x} = \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{1}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{7}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{2}\\\textcolor{blue}{3}\\\textcolor{green}{4}\\\end{array}\right)} \qquad \text{und} \qquad E: \vec{x} = \textcolor{gray}{\left( \begin{array}{r}1\\2\\4\\\end{array}\right)} + \textcolor{purple} {\lambda \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\\end{array}\right)} + \textcolor{purple}{\mu \left(\begin{array}{r}0\\1\\-2\\\end{array}\right)}\]

Als Erstes wandelst du nun die Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform um . Auch hier gehst du Schritt für Schritt vor.

  • Schritt 2:  Jetzt kannst du schon fast deine ganze Koordinatenform hinschreiben. Die Grundlage deiner Koordinatenform bilden x1, x2 und x3. Stelle der Reihe nach die drei Koordinaten vom Normalenvektor n jeweils vor x1, x2 und x3. Diese Formel setzt du nun mit dem Parameter c gleich. Schreibe also auf die rechte Seite des Gleichzeichens ein c:

        \[E: \textcolor{magenta}{-1}x_1 + \textcolor{magenta}{2}x_2+\textcolor{magenta}{1} x_3 = c\]

  • Schritt 3:  Setze jetzt den Stützvektor für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform ein und löse nach c auf

        \[E:  \textcolor{magenta}{-1} \cdot \textcolor{gray}{1} \textcolor{magenta}{+ 2} \cdot\textcolor{gray}{ 2} \textcolor{magenta}{+ 1} \cdot \textcolor{gray}{4} = c \\ \implies 7 = c \]

  • Schritt 4: Setze den Parameter c jetzt in die Koordinatenform ein: 

        \[E: \textcolor{magenta}{-1}x_1 + \textcolor{magenta}{2}x_2+ \textcolor{magenta}{1}x_3 = 7\]

Prima! Jetzt kannst du loslegen, den Schnittpunkt von der Geraden g und der Ebene E zu berechnen!

    \[\textcolor{blue}{g:  \vec{x} = \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{1}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{7}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{2}\\\textcolor{blue}{3}\\\textcolor{green}{4}\\\end{array}\right)} \]

    \[\textcolor{orange}{E: -x_1 + 2x_2+ x_3 = 7}\]

Rechne dafür wieder die 5 Schritte wie oben im Beispiel:

  • Schritt 1: Schreibe die Geradengleichung g in eine einzige große Klammer:

        \[ \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{1 + r \cdot 2}\\\textcolor{blue}{1 + r \cdot 3}\\\textcolor{green}{7 + r \cdot 4}\end{array}\right)}= \left( \begin{array}{r} \textcolor{red}{x_1}\\\textcolor{blue}{x_2}\\\textcolor{green}{x_3}\\\end{array}\right) \]

  • Schritt 2: Setze die Zeilen von g in E ein:

        \[ \textcolor{orange}{-1}\cdot \textcolor{red}{( 1+ r \cdot 2)}\textcolor{orange}{ + 2}\cdot \textcolor{blue}{( 1+ r \cdot 3)}\textcolor{orange}{ +1}\cdot \textcolor{green}{( 7+r \cdot 4)}\textcolor{orange}{= 7} \]

  • Schritt 3: Multipliziere aus und löse nach Parameter r auf:

        \begin{align*} &-1\cdot ( 1+ r \cdot 2) + 2\cdot ( 1+ r \cdot 3) +1\cdot ( 7+r \cdot 4)= 7 \\\implies &-1 -2r+ 2 + 6r+ 7 +4r= 7\\\implies &\textcolor{olive}{r= -0,125}\end{align*}

  • Schritt 4:  Setze r in g ein:

        \[\vec{S} =\textcolor{blue}{ \left( \begin{array}{r}1\\1\\7\\\end{array}\right) +}\textcolor{olive}{ (-0,125)}\textcolor{blue}{ \left(\begin{array}{r}2\\3\\4\\\end{array}\right) = }\textcolor{red}{\left( \begin{array}{r}0,75\\0,625\\6,5\\\end{array}\right)} \]

  • Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab:
    Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene liegt bei S (0,75 | 0,625 | 6,5).

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Übungsaufgaben: Schnittpunkt Gerade Ebene

Super! Wende dein Wissen gleich bei einer Schnittpunktberechnung in Koordinaten- und in Parameterform an. Los geht´s! 

Aufgabe 1: Berechne den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden g.

    \[\textcolor{blue}{g: \vec{x} = \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{0}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{4}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{2}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{1}\\\end{array}\right)}\]

    \[\textcolor{orange}{E: 1x_1 +2x_2 - 1x_3 = 40}\]

Lösung:

  • Schritt 1: Schreibe die Geradengleichung g in eine einzige große Klammer:

        \[ \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{0 + r \cdot 2}\\\textcolor{blue}{1 + r \cdot 1}\\\textcolor{green}{4 + r \cdot 1} \end{array}\right)}= \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{x_1}\\\textcolor{blue}{x_2}\\\textcolor{green}{x_3}\\\end{array}\right) \]

  • Schritt 2: Setze die Zeilen von g in E ein:

        \[ \textcolor{orange}{1}\cdot \textcolor{red}{( 0+ r \cdot 2)}\textcolor{orange}{ + 2}\cdot \textcolor{blue}{( 1+ r \cdot 1)}\textcolor{orange}{ -1}\cdot \textcolor{green}{( 4+r \cdot 1)}\textcolor{orange}{= 40}\]

  • Schritt 3: Multipliziere aus und löse nach r auf:

        \begin{align*}&1\cdot( 0+ r \cdot 2) + 2 \cdot ( 1+\cdot r \cdot 1) -1\cdot ( 4+r \cdot 1)= 40\\ \implies &2r+ 2+ 2r- 4- r = 40\\ \implies &\textcolor{olive}{r = 14}\end{align*}

  • Schritt 4:  Setze r in g ein:

        \[\vec{S} =\textcolor{blue}{ \left( \begin{array}{r}0\\1\\4\\\end{array}\right) }\textcolor{olive}{ +14} \cdot \textcolor{blue}{ \left(\begin{array}{r}2\\1\\1\\\end{array}\right)} = \textcolor{red}{\left( \begin{array}{r}28\\15\\18\\\end{array}\right)} \]

  • Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab:
    Der Schnittpunkt liegt bei S (28 | 15 | 18).

Aufgabe 2: Berechne den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden g.

    \[ \textcolor{blue}{g:  \vec{x} = \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{2}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{2}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{-2}\\\textcolor{blue}{-1}\\\textcolor{green}{-1}\\\end{array}\right)} \]

    \[E: \vec{x} = \textcolor{gray}{\left( \begin{array}{r}1\\1\\4\\\end{array}\right)} +\textcolor{purple}{ \lambda \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\\end{array}\right)}\]

Lösung:

Als erstes musst du die Ebene von der Parameterform in Koordinatenform  umrechnen:

  • Schritt 1: Berechne den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:

        \[ \textcolor{magenta}{\vec{n}}= \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\\end{array}\right) \textcolor{black}{\times}  \left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\\end{array}\right)} =\textcolor{magenta}{ \left(\begin{array}{r}-1\\-2\\1\\\end{array}\right)}\]

  • Schritt 2: Schreibe die Koordinaten vom Normalenvektor n jeweils vor x1, x2 und x3:

        \[E: \textcolor{magenta}{-1}x_1 \textcolor{magenta}{- 2}x_2+ \textcolor{magenta}{1}x_3 = c\]

  • Schritt 3:  Bestimme den Parameter c mit dem Stützvektor:

        \begin{align*}&E:  \textcolor{magenta}{-1} \cdot \textcolor{gray}{1} \textcolor{magenta}{- 2} \cdot \textcolor{gray}{1}\textcolor{magenta}{+ 1} \cdot \textcolor{gray}{4} = c \\ &\implies 1= c \end{align*}

  • Schritt 4: Setze den Parameter c nun noch in die Koordinatenform ein:

        \[E: \textcolor{magenta}{-1} x_1 \textcolor{magenta}{- 2} x_2 + \textcolor{magenta}{1} x_3 = 1 \]

Berechne nun den Schnittpunkt S von der Gerade g und der Ebene E. Nutze dafür wieder die 5 Schritte von oben: 

    \[ \textcolor{blue}{g:  \vec{x} = \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{2}\\\textcolor{blue}{1}\\\textcolor{green}{2}\\\end{array}\right) + r \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{-2}\\\textcolor{blue}{-1}\\\textcolor{green}{-1}\\\end{array}\right)} \]

    \[\textcolor{orange}{E: -x_1 - 2x_2+ x_3 = 1}  \]

  • Schritt 1: Schreibe die Geradengleichung g in eine einzige große Klammer:

        \[ \textcolor{blue}{\left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{2 + r \cdot (-2)}\\\textcolor{blue}{1 + r \cdot (-1)}\\\textcolor{green}{2 + r \cdot (-1)} \end{array}\right)}= \left( \begin{array}{r}\textcolor{red}{ x_1}\\\textcolor{blue}{x_2}\\\textcolor{green}{x_3}\\\end{array}\right) \]

  • Schritt 2: Setze die Zeilen von g in E ein:

        \[ \textcolor{orange}{-1}\cdot \textcolor{red}{( 2+ r \cdot (-2))}\textcolor{orange}{ - 2}\cdot \textcolor{blue}{( 1+ r \cdot (-1))}\textcolor{orange}{ +1}\cdot \textcolor{green}{( 2+ r \cdot (-1))}\textcolor{orange}{= 1} \]

  • Schritt 3: Multipliziere aus und löse nach r auf:

        \begin{align*} &-1\cdot ( 2+ r \cdot -2) - 2\cdot (1+ r \cdot -1) +1\cdot ( 2+ r \cdot -1)= 1 \\ \implies &-2+ 2r- 2+ 2r+ 2 -r = 1\\ \implies &\textcolor{olive}{r= 1}\end{align*}

  • Schritt 4: Setze r in g ein:

        \[ \vec{S} = \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{r}2\\1\\2\\\end{array}\right)}\textcolor{olive}{ +1}\textcolor{blue}{ \left(\begin{array}{r}-2\\-1\\-1\\\end{array}\right) =}\textcolor{red}{ \left( \begin{array}{r}0\\0\\1\\\end{array}\right)} \]

  • Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab:
    Der Schnittpunkt liegt bei S (0 | 0 | 1).

Lagebeziehungen Gerade Ebene

Gerade und Ebene schneiden sich aber nicht immer.  Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen können:

1. Die Gerade schneidet die Ebene. Es gibt genau eine Lösung für den Schnittpunkt:

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Die Gerade schneidet die Ebene im Schnittpunkt S.

2. Die Gerade verläuft parallel zur Ebene. Gerade und Ebene schneiden sich nicht. Es gibt also keine Lösung für einen Schnittpunkt.

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Die Gerade und die Ebene sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

3. Die Gerade liegt in der Ebene. Gerade und Ebene schneiden sich die ganze Zeit. Es gibt also unendlich viele Lösungen für einen Schnittpunkt.

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Die Gerade liegt in der Ebene, sie schneiden sich die ganze Zeit.

Schnittgerade zweier Ebenen 

Jetzt hast du gelernt, was ein Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene ist und wie man diesen berechnet. Was machst du aber, wenn du die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen sollst? Das erfährst du hier !

Zum Video: Schnittgerade zweier Ebenen
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