Geometrie

In diesem Beitrag erklären wir dir, was das Volumen einer Kugel ist und wie du das Kugelvolumen berechnen kannst. In unserem Video gehen wir viele Beispiele zum Kugel Volumen mit dir durch. Schau es dir gleich an!

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

Eine Kugel ist ein Körper ohne Ecken und Kanten. Du kannst eine Kugel zum Beispiel mit Luft oder Wasser füllen. Das Volumen einer Kugel gibt dir dann an, wie viel du in eine Kugel füllen kannst. Ein Beispiel für eine Kugel ist ein Ball.

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Kugel

Für das Volumen der Kugel gibt es eine Formel, die du dir merken musst. 

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^3

Um das Volumen der Kugel berechnen zu können, brauchst du einige Größen.

  • Radius r der Kugel
  • Kreiszahl \pi \approx 3,14
  • V ist das Volumen der Kugel.

Das Besondere an der Kugel ist, dass alle Punkte auf der Kugeloberfläche  genau den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M haben. Dieser Abstand heißt Radius r und du brauchst ihn, um das Volumen der Kugel zu berechnen. Außerdem ist d der Durchmesser der Kugel und U der Umfang. Das Kugelvolumen wird mit V oder V Kugel bezeichnet. Am besten prägst du dir die Formel für die Volumenberechnung der Kugel gut ein.

Wichtige Formeln bei der Kugelberechnung

Umfang: U = 2 \cdot r \cdot \pi

Oberfläche: O = 4 \cdot \pi \cdot r^2    oder    O=\pi \cdot d^2

Volumen: V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

 Schauen wir uns nun mehrere Beispiele zum Volumen einer Kugel an.

Kugelvolumen berechnen

Das Volumen der Kugel mit der Formel zu bestimmen, geht in wenigen Schritten. Dafür muss nur der Radius r gegeben sein. 

Beispiel 1

Berechnen wir zuerst das Volumen einer Kugel mit Radius \textcolor{blue}{r=5\text{cm}}

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Kugelvolumen: Beispiel 1
  • Formel aufstellen: Am besten schreibst du dir dafür erstmal die Formel auf.

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^3

  • Radius einsetzen: Dann setzt du den gegebenen Wert für r ein.

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^3

  • Ergebnis berechnen: Zum Schluss musst du nur noch alle Werte zusammenrechnen.

V \approx 523,6\text{cm}^3

Hinweis: Das Kugelvolumen wird immer in einer Maßeinheit für das Volumen angegeben, so wie hier mit cm³. 

Beispiel 2

Um das nächste Volumen der Kugel berechnen zu können, musst du zuerst den Radius bestimmen. Gegeben ist für das Kugelvolumen nämlich nur der Umfang \textcolor{orange}{U=25,13\text{cm}}

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Volumen Kugel aus Umfang
  • Umfangsformel aufstellen: Du beginnst erstmal mit der Formel für den Umfang. Das ist die gleiche wie beim Umfang vom Kreis .

U=2 \cdot r \cdot \pi

  • Nach r auflösen: Stell die Formel so um, dass du damit den Radius r berechnen kannst.

    \begin{align*}2 \cdot r \cdot \pi &= U && |: 2 \\ r \cdot \pi &= \frac{U}{2} && |: \pi \\ r &= \frac{U}{2 \cdot \pi} \end{align*}

  • Radius berechnen: Jetzt kannst du aus dem Umfang den Radius bestimmen.

r = \frac{25,13\text{cm}}{2 \cdot \pi} \approx 4\text{cm}

  • Formel für Kugelvolumen aufstellen: Aus diesem Wert kannst du nun ganz normal das Kugelvolumen berechnen. 

V = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi

  • Radius einsetzen:

V = \rac{4}{3} \cdot \pi \cdot (4 \text{cm})^3

  • Ergebnis berechnen:

V \approx 268,08\text{cm}^3

Anwendungsbeispiel

Für ein Fest sollen große Wasserlaufbälle aufgepumpt werden. Jeder dieser Bälle hat einen Durchmesser von 2 Metern. Wie viel Luft brauchst du, um einen Ball voll aufzupumpen?

Dieses Anwendungsbeispiel kannst du mit dem Kugelvolumen lösen. Wieder brauchst du die Formel für das Volumen der Kugel zur Berechnung. 

  • Kugelvolumen Formel aufstellen:

V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

  • Radius berechnen: Weil in der Angabe nur der Durchmesser d=2\text{m} genannt ist, musst du zuerst den Radius berechnen.

d=2 \cdot r

r=\frac{d}{2}

r=\frac{2\text{m}}{2} = 1\text{m}

  • Radius einsetzen:

V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (1\text{m})^3

  • Ergebnis berechnen:

V \approx 4,19\text{m}^3

In jeden großen Wasserlaufball passen ungefähr 4,19m³ Luft. 

Kugelvolumen gegeben und Radius gesucht

Wenn du das Volumen einer Kugel gegeben hast, kannst du daraus den Radius berechnen. In unserem Beispiel hast du ein Kugelvolumen von V = 4188,8\text{cm}^3 gegeben. Berechne nun den Radius!

  • Kugel Volumen Formel aufstellen:

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

  • Nach r auflösen:

    \begin{align*} \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 &= V && | : \pi \\ \frac{4}{3} \cdot r^3 &= \frac{V}{\pi} && | \cdot \frac{3}{4} \\ r^3 &= \frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi} && | \sqrt[3]{...} \\ r &= \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}} \end{align*}

  • Angabe einsetzen:

r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4188,8\text{cm}^3}{4 \cdot \pi}}

  • Ergebnis berechnen:

r = \sqrt[3]{1000\text{cm}^3} = 10\text{cm}

Mehr zur Kugel

Neben dem Volumen kannst du auch die Oberfläche der Kugel berechnen. Wie das genau funktioniert, erklären wir dir in unserem Video dazu!

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Zum Video: Oberfläche Kugel

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