Geometrie
Kugel
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%EE und OutroDu willst wissen, was eine Kugel ist und wie du das Kugel Volumen berechnen kannst? Hier und in unserem Video , zeigen wir dir, wie’s geht!

Volumen Kugel berechnen einfach erklärt

Eine Kugel ist ein komplett runder, geometrischer Körper ohne Ecken und Kanten. Ein Globus, ein Fußball oder eine Eiskugel — all das sind Kugeln, die dir im Alltag begegnen.

Eine Kugel hat einen Mittelpunkt M. Alle Punkte auf der Kugeloberfläche sind gleich weit von ihm entfernt. Diesen Abstand beschreibst du mit dem Radius r. Der Durchmesser d gibt dagegen den Abstand von zwei gegenüberliegenden Punkten an. Er ist doppelt so lang wie der Radius r und geht durch den Mittelpunkt M.

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Kugel
Kugel Volumen

Das Volumen einer Kugel berechnest du mit der Formel

V = 4/3 · π · r3 

Beispiel: Eine Kugel mit dem Radius 2 cm hat ein Volumen von V = 4/3 · π · (2 cm)3 ≈ 33,5 cm3.

Tipp: Die Kreiszahl (Pi) π ≈ 3,1415… ist in deinem Taschenrechner eingespeichert. Du kannst aber auch den gerundeten Wert π ≈ 3,14 verwenden.

Kugelvolumen berechnen

Das Volumen der Kugel mit der Formel zu bestimmen, geht in wenigen Schritten. Dafür muss nur der Radius r gegeben sein. 

Beispiel 1

Berechnen wir zuerst das Volumen einer Kugel mit dem Radius r = 5 cm

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Kugelvolumen: Beispiel 1
  • Kugel Formel aufstellen: Am besten schreibst du dir dafür erstmal die Formel auf.

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^3

  • Radius einsetzen: Dann setzt du den gegebenen Wert für r ein.

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^3

  • Ergebnis berechnen: Zum Schluss musst du nur noch alle Werte zusammenrechnen.

V \approx 523,6\text{cm}^3

Hinweis: Das Kugelvolumen wird immer in einer Maßeinheit für das Volumen angegeben, so wie hier mit cm³. 

Beispiel 2

Um das nächste Volumen der Kugel berechnen zu können, musst du zuerst den Radius bestimmen. Gegeben ist für die Kugel nämlich nur der Umfang U = 25,13 cm

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Volumen Kugel aus Umfang
  • Umfangsformel aufstellen: Du beginnst erstmal mit der Formel für den Umfang. Das ist die gleiche wie beim Umfang vom Kreis .

U=2 \cdot r \cdot \pi

  • Nach r auflösen: Stell die Formel so um, dass du damit den Radius r berechnen kannst.

    \begin{align*}2 \cdot r \cdot \pi &= U && |: 2 \\ r \cdot \pi &= \frac{U}{2} && |: \pi \\ r &= \frac{U}{2 \cdot \pi} \end{align*}

  • Radius berechnen: Jetzt kannst du aus dem Umfang den Radius bestimmen.

r = \frac{25,13\text{cm}}{2 \cdot \pi} \approx 4\text{cm}

  • Formel für Kugelvolumen aufstellen: Aus diesem Wert kannst du nun ganz normal das Kugelvolumen berechnen. 

V = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi

  • Radius einsetzen:

V = \rac{4}{3} \cdot \pi \cdot (4 \text{cm})^3

  • Ergebnis berechnen:

V \approx 268,08\text{cm}^3

Anwendungsbeispiel

Für ein Fest sollen große Wasserlaufbälle aufgepumpt werden. Jeder dieser Bälle hat einen Durchmesser von 2 Metern. Wie viel Luft brauchst du, um einen Ball vollständig aufzupumpen?

Dieses Anwendungsbeispiel kannst du mit dem Kugelvolumen lösen. Wieder brauchst du die Formel für das Volumen der Kugel zur Berechnung. 

  • Kugelvolumen Formel aufstellen:

V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

  • Radius berechnen: Weil in der Angabe nur der Durchmesser d = 2 m genannt ist, musst du zuerst den Radius berechnen.

d=2 \cdot r

r=\frac{d}{2}

r=\frac{2\text{m}}{2} = 1\text{m}

  • Radius einsetzen:

V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (1\text{m})^3

  • Ergebnis berechnen:

V \approx 4,19\text{m}^3

In jeden großen Wasserlaufball passen ungefähr 4,19m³ Luft. 

Kugel Volumen Formel umstellen

Wenn du das Volumen einer Kugel gegeben hast, kannst du daraus den Radius berechnen. In unserem Beispiel hast du ein Kugelvolumen von V = 4188,8 cm3 gegeben. Berechne nun den Radius!

  • Kugel Volumen Formel aufstellen:

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

  • Nach r auflösen:

    \begin{align*} \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 &= V && | : \pi \\ \frac{4}{3} \cdot r^3 &= \frac{V}{\pi} && | \cdot \frac{3}{4} \\ r^3 &= \frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi} && | \sqrt[3]{...} \\ r &= \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}} \end{align*}

  • Angabe einsetzen:

r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4188,8\text{cm}^3}{4 \cdot \pi}}

  • Ergebnis berechnen:

r = \sqrt[3]{1000\text{cm}^3} = 10\text{cm}

Wenn du dir das Formel umstellen nochmal anschauen willst, haben wir hier ein extra Video für dich vorbereitet.

Oberfläche Kugel

Jetzt weißt du, wie du das Volumen einer Kugel berechnen kannst! Außerdem kannst du bei einer Kugel noch den Umfang U = 2 · π · r berechnen.

Auch die Formeln O = 4 · π · r2 oder O = π · d2 für die Oberfläche einer Kugel solltest du kennen. In unserem extra Video zur Kugeloberfläche zeigen wir dir viele Beispiele dazu.

Zum Video: Oberfläche Kugel
Zum Video: Oberfläche Kugel

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