Analysis

Kreisgleichung

In diesem Artikel erklären wir dir die Kreisgleichung und zeigen dir anhand eines Beispiels, wie du sie aufstellen kannst. Des Weiteren gehen wir mittels der Kreisfunktion auf die Lage von Punkten im Kreis und auf den Schnitt von Kreisen ein.

Du möchtest wissen, was die Kreisgleichung genau ist? Dann schau dir unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

Kreisgleichung einfach erklärt

Ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M=(m_1, m_2) ist allgemein als die Menge aller Punkte definiert, die den Abstand r zum Mittelpunkt M besitzen. Ein solcher Kreis beziehungsweise die Punkte auf dem Kreis lassen sich mit einer sogenannten Kreisgleichung beschreiben. Für diese gibt es zwei Arten der Darstellung:

Merke

Normalform:

(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2 \quad \text{(allgemeine Kreisgleichung)}

Parameterform:

x=r\cdot \cos(\phi)+m_1

y=r \cdot \sin(\phi)+m_2.

Kreisgleichung in Normalform

Die Kreisgleichung

x^2+y^2=r^2

beschreibt einen Kreis mit Radius r um den Ursprung. Diese Formel ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Denn die Strecken der Ortskoordinaten x und y eines jeden Punktes P=(x,y) auf dem Kreis bilden zusammen mit dem Ortsvektor \vec{P} ein rechtwinkliges Dreieck%Skizze einfügen.

Kreisgleichung in Normalform, Berechnen, Formel
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Kreisgleichung in Normalform

Kreisgleichung in Parameterform

Bei der Parameterdarstellung betrachtet man neben dem Radius noch einen weiteren Parameter, den Winkel \phi. Dieser ermöglicht es uns die Koordinaten x und y unabhängig von einander anhand der sogenannten Polarkoordinaten (r, \phi) darzustellen:

x=r\cdot \cos(\phi)

y=r \cdot \sin(\phi).

Sie beschreiben einen Kreis mit Radius r um den Ursprung (m_1=0 und m_2=0). Um diese Darstellung zu verstehen, betrachten wir den Einheitskreis mit r=1Zeichnet man den Ortsvektor

\vec{P}=\left(\begin{array}{c} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{array} \right)

eines Punktes auf dem Einheitskreis, so beschreibt \phi den Winkel, den dieser ausgehend von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn zurücklegt. Mit \vec{P} können wir nun den Ortsvektor (x,y) bestimmen, dessen Spitze auf dem Kreis mit Radius r um den Ursprung liegt. \phi gibt uns bereits die Richtung an, in welche der Vektor (x,y) zeigt. Damit die Spitze des Vektors (x,y) tatsächlich auf dem Kreis mit Radius r liegt, muss \vec{P} entsprechend um den Faktor r gestreckt bzw. gestaucht werden. Das Ergebnis ist der gesuchte Ortsvektor (x,y) auf dem Kreis mit Radius r

\vec{P}=\left(\begin{array}{c}r \cos(\phi) \\ r\sin(\phi) \end{array} \right).

Kreisgleichung in Parameterform, Berechnung, Formel
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Kreisgleichung in Parameterform

Kreisgleichung aufstellen

Im folgenden zeigen wir, wie du eine Kreisgleichung aufstellen kannst. Gegeben sei der Mittelpunkt M=(2,1) eines Kreises, sowie ein Punkt P=(1,-1), welcher auf dem Kreis liegt. Bestimme nun seine Kreisgleichung in Normalform.

Wir haben die Koordinaten des Mittelpunktes m_1=2 und m_2=1 bereits gegeben. Um die Gleichung aufstellen zu können, müssen wir daher lediglich den Radius r berechnen.

Wir wissen, dass ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r definiert ist als die Menge aller Punkte, welche den Abstand r zum Punkt M besitzen. Damit können wir r bestimmen, indem wir den Abstand des Punktes P, welcher auf dem Kreis liegt, zum Mittelpunkt M berechnen. Das heißt gesucht ist die Länge der Strecke \vec{MP}.

Wir berechnen also zunächst \vec{MP} :

\vec{MP}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) -\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1 \\ -2 \end{array} \right)

und anschließend die Länge des Vektors \vec{MP}:

||\vec{MP}||= \sqrt{(-1)^2+ (-2)^2} = \sqrt{5}.

Damit ergibt sich schließlich der Radius r=\sqrt{5}. Setzt man nun r, sowie m_1 und m_2 in die Kreisgleichung ein, erhält man:

(x-2)^2+(y-1)^2=5.

Kreisfunktion und Lage im Kreis

Wir wissen nun, was eine Kreisgleichung ist und wie sie aufgestellt wird. Jetzt können wir sie verwenden, um die Lage eines Punktes (a,b) im Kreis zu untersuchen. Dafür betrachten wir die Kreisfunktion

f(x,y)=(x-m_1)^2+(y-m_2)^2,

eines Kreises mit Mittelpunkt M=(m_1,m_2). Der Kreis habe den Radius r.

Nun setzen wir den Punkt (a,b) in die Kreisfunktion f(x,y) ein, um herauszufinden, ob er innerhalb des Kreises, auf dem Kreis oder außerhalb des Kreises liegt. Gilt für die Funktion

f(a,b)=(a-m_1)^2+(b-m_2)^2< r^2,

so befindet sich der Punkt im Inneren des Kreises.

Ist hingegen

f(a,b)=r^2,

dann liegt der Punkt genau auf dem Kreis. Dementsprechend befindet sich der Punkt außerhalb des Kreises, wenn

f(a,b)>r^2.

Beispiel

Betrachten wir noch einmal unser Beispiel vom Aufstellen einer Kreisgleichung. Dort ist die Kreisfunktion durch

f(x,y)=(x-2)^2+(y-1)^2

gegeben. Den Radius r=\sqrt{5} haben wir bereits bestimmt. Nun wollen wir die Lage des Punktes P=(3,-2) untersuchen. Dafür setzen wir (3,-2) in die Kreisfunktion f(x,y) ein:

f(3,-1)= (3-2)^2+(-2-1)^2 = 1+9 = 10.

Jetzt vergleichen wir dieses Ergebnis mit r^2=5. Es gilt

f(3,-1)=10>5,

somit liegt der Punkt P=(3,-2) außerhalb des Kreises.

Schnittpunkt zweier Kreise

Wir wollen nun untersuchen, ob sich zwei Kreise schneiden und falls ja, wie viele Schnittpunkte es gibt. Dafür betrachten wir den Abstand der Mittelpunkte im Vergleich zur Summe der Radien.

Gegeben seien zwei Kreise mit Mittelpunkten M=(m_1,m_2) und N=(n_1,n_2) und Radien r_1 und r_2.

Der Abstand der Mittelpunkte wird folgendermaßen berechnet:

||\vec{MN}||=\sqrt{(n_1-m_1)^2+(n_2-m_2)^2}.

Nun vergleichen wir ihn mit der Summe der Radien: r_1+r_2.

Ist der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe der Radien, also

||\vec{MN}|| > r_1+r_2,

dann schneiden sich die Kreise nicht.

Gilt Gleicheit, das heißt

||\vec{MN}|| = r_1+r_2,

dann besitzen die Kreise einen Berührpunkt.

Wenn hingegen die Summe der Radien größer ist als ||\vec{MN}||

||\vec{MN}|| < r_1+r_2,

dann besitzen die Kreise zwei Schnittpunkte.

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