Geometrie
Geometrische Körper
 – Video

In diesem Beitrag erklären wir dir, was unter dem Volumen einer Pyramide verstanden wird und wie du bei jeder Pyramide das Volumen berechnen kannst. Du möchtest dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir gleich unser Video zum Volumen der Pyramide an! 

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide?

Eine Pyramide in Mathe besteht aus einer Grundfläche und Dreiecksflächen, die von jeder Seite der Grundfläche zur Spitze führen. 

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Pyramide

Die Pyramide in der Geometrie ist ein Körper, den du zum Beispiel mit Wasser füllen kannst. Das Volumen der Pyramide gibt dir an, wie viel Wasser in die Pyramide passt. 

Es gibt eine allgemeine Formel, mit der du das Volumen in einer Pyramide berechnen kannst. 

V = \frac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h}

  • G ist die Grundfläche.
  • h ist die Höhe der Pyramide.

Mit verschiedenen Grundflächen bekommst du auch verschiedene Arten von Pyramiden. Wir zeigen dir hier, wie du das Volumen einer Dreieckspyramide, das Volumen einer vierseitigen Pyramide und das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnen kannst. 

Wichtige Formeln zur Pyramide:

Volumen: V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Mantelfläche: M = (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a) \cdot \text{Anzahl an Dreiecksflächen}

Oberfläche: O = G + M

Volumen dreiseitige Pyramide

Eine dreiseitige Pyramide hat als Grundfläche ein Dreieck. 

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Volumen dreiseitige Pyramide

Um das Volumen einer Dreieckspyramide zu bestimmen, berechnest du für die Grundfläche den Flächeninhalt vom Dreieck.

Beispiel

Schauen wir uns als Beispiel eine Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche an. Für den Flächeninhalt der Grundfläche verwendest du die Formel

G = \frac{1}{4}\textcolor{blue}{a}^2\sqrt{3}.

Grundfläche Pyramide, gleichseitiges Dreieck
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Grundfläche gleichseitiges Dreieck

Berechne nun das Volumen einer dreiseitigen Pyramide mit Seitenlänge \textcolor{blue}{a=9\text{cm}} und Höhe \textcolor{red}{h=8\text{cm}}

  • Formel aufstellen: Mit dem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche ergibt sich eine Formel, mit der du für die dreiseitige Pyramide das Volumen berechnen kannst. 

V = \frac{1}{3} \cdot G\cdot \textcolor{red}{h}

=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \textcolor{blue}{a}^2\sqrt{3} \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen: Nun kannst du die gegebenen Zahlenwerte verwenden. 

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot (\textcolor{blue}{9\text{cm}})^2 \cdot \sqrt{3} \cdot \textcolor{red}{8\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen: Zum Schluss tippst du alles in deinen Taschenrechner ein.

V = \frac{1}{12} \cdot 81\text{cm}^2 \cdot \sqrt{3} \cdot 8\text{cm} \approx 93,53\text{cm}^3

Diese dreiseitige Pyramide hat ein Volumen von gerundet 93,53cm³.

Hinweis: Die Grundfläche kann auch ein anderes Dreieck sein. Dann verwendest du die allgemeine Formel für den Flächeninhalt im Dreieck , um das Pyramidenvolumen zu bestimmen. 

Volumen quadratische Pyramide

Ganz häufig sollst du beim Berechnen vom Volumen eine quadratische Pyramide betrachten.

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Quadratische Pyramide

Wie dir der Name schon verrät, ist dabei die Grundfläche ein Quadrat. Mit der entsprechenden Formel für den Flächeninhalt im Quadrat  kannst du die Grundfläche in der Pyramide berechnen

G = \textcolor{blue}{a}^2

Beispiel

Hier haben wir zum Berechnen vom Volumen eine quadratische Pyramide mit Seitenlänge \textcolor{blue}{a=5\text{cm}} und Höhe \textcolor{red}{h=7\text{cm}} gegeben. Wie immer geht die Berechnung der Pyramide mit der Formel ganz schnell. 

  • Formel aufstellen:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \textcolor{red}{h}

= \frac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{a}^2 \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen:

V = \frac{1}{3} \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen:

V = \frac{1}{3} \cdot 25\text{cm}^2 \cdot 7\text{cm} \approx 58,33\text{cm}^3

Tatsächlich spielt diese spezielle Pyramide in der Geometrie eine wichtige Rolle. Hast du für das Volumen eine quadratische Pyramide gegeben, funktioniert das Berechnen immer gleich. 

Volumen vierseitige Pyramide

Unser nächstes Beispiel für das Volumen ist eine vierseitige Pyramide. Dabei ist die Grundfläche ein Viereck, zum Beispiel ein Parallelogramm. Außerdem muss die Spitze der Pyramide nicht immer in der Mitte liegen. 

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Volumen vierseitige Pyramide

Eine Pyramide in Mathe kann also auch ein wenig anders aussehen, als du dir das vielleicht vorstellst. Das Volumen der vierseitigen Pyramide kannst du trotzdem mit der normalen Formel berechnen. 

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \textcolor{red}{h}

Die Grundfläche bestimmst du mit der Formel für den Flächeninhalt vom Parallelogramm . Dafür brauchst du die Seitenlänge a und die dazugehörige Höhe \textcolor{orange}{h_a}

G = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{h_a} 

Grundfläche vierseitige Pyramide
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Grundfläche vierseitige Pyramide

Beispiel

Auch zu dieser Volumenberechnung der Pyramide sehen wir uns ein Beispiel an. Für das Volumen ist eine vierseitige Pyramide gegeben. Die Grundfläche ist ein Parallelogramm mit Seitenlänge \textcolor{blue}{a=8\text{cm}} und zugehöriger Höhe \textcolor{orange}{h_a=9\text{cm}}. Außerdem ist die Höhe der Pyramide mit \textcolor{red}{h=7\text{cm}} angegeben. 

  • Formel aufstellen: Diesmal setzt du den Flächeninhalt vom Parallelogramm für die Grundfläche ein.

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot \textcolor{red}{h}

V = \frac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{h_a} \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen:

V = \frac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{9\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen:

V = \frac{1}{3} \cdot 72\text{cm}^2 \cdot 7\text{cm} = 168\text{cm}^3

Die vierseitige Pyramide hat ein Volumen von genau 168cm³. 

Volumen Pyramide Formel

Zum Schluss wollen wir dir noch kurz erklären, woher die Formel für das Pyramide Volumen eigentlich kommt. Dafür vergleichst du eine Pyramide mit einem Quader. Dieser Quader muss die gleiche Grundfläche \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a} und die gleiche Höhe h haben. 

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Pyramide und Quader

 

Wenn du jetzt die Pyramide mit Wasser füllen würdest und dieses Wasser umschüttest, dann ist der Quader genau zu einem Drittel gefüllt. Das kannst du natürlich auch mathematisch aufschreiben.

V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{Quader}}

Das Volumen von einem Quader kannst du aber leicht berechnen. Es gilt dabei Grundfläche mal Höhe. So bekommst du für das Volumen der Pyramide die Formel

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h.

Die Pyramide in der Geometrie umfasst also ein Drittel so viel Wasser wie ein Quader. 

Zusammenfassung Volumen Pyramide

Für das Volumen einer Pyramide gilt die Grundformel V  = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h. Je nachdem, welche Form die Grundfläche hat, unterscheidet sich die Berechnung.

Super! Du weißt nun bereits, wie du Pyramiden mit einem Dreieck, einem Quadrat oder einem Parallelogramm als Grundläche, berechnen kannst. Aber wie berechnest du nun eine Pyramide mit einem Trapez als Grundfläche? Dazu brauchst du die Formel für den Flächeninhalt vom Trapez. Die erklären wir dir ausführlich in einem extra Video! Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Trapez – Flächeninhalt und Umfang

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