Geometrie

Hier stellen wir dir verschiedene Möglichkeiten vor, wie du bei der Winkelberechnung vorgehen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video zum Thema Winkelberechnung an!

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man Winkel?

Wenn du Winkel berechnen sollst, dann hast du je nach Aufgabenstellung verschiedene Möglichkeiten. Grundsätzlich musst du dabei immer eine fehlende Gradzahl berechnen. Die Winkelberechnung im Dreieck und Viereck kannst du mit der Innenwinkelsumme machen. Allerdings funktioniert das nur, wenn schon andere Winkel in der Aufgabe angegeben sind.

Winkel berechnen, Winkelberechnung, Winkel Dreieck, Winkel Viereck, Innenwinkel Dreieck, Innenwinkel Viereck, Innenwinkelsumme
direkt ins Video springen
Winkel im Dreieck und Viereck
  • Im Dreieck gilt: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.
  • Im Viereck gilt: \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ.

Hast du zum Winkel berechnen ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, dann hast du noch weitere Möglichkeiten. Dort kannst du nämlich mit dem Sinus, Kosinus oder Tangens Winkel berechnen. Wie diese Winkelberechnung im Dreieck genauer funktioniert, zeigen wir dir im Folgenden Schritt für Schritt. 

Dreieck Winkel berechnen

Hast du zur Winkelberechnung ein Dreieck mit zwei angegebenen Winkeln vorliegen, dann kannst du mit der Innenwinkelsumme fehlende Winkel berechnen.

Merke: Alle Winkel in einem Dreieck ergeben zusammen immer 180°. 

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Schauen wir uns gleich mal an einem konkreten Beispiel an, wie du Winkel im Dreieck berechnen kannst. 

Beispiel

In einem Dreieck sind die zwei Innenwinkel \textcolor{blue}{\alpha = 62^\circ} und \textcolor{blue}{\beta = 47^\circ} gegeben. Wie kannst du den unbekannten Winkel \textcolor{red}{\gamma} ausrechnen?

Innenwinkel Dreieck, Winkel Dreieck berechnen, Dreieck Winkel berechnen, Winkelberechnung Dreieck
direkt ins Video springen
Innenwinkel im Dreieck

Du kannst den Dreieck Winkel berechnen, indem du die Summe der Innenwinkel benutzt.

  • Formel aufstellen:

\textcolor{blue}{\alpha} + \textcolor{blue}{\beta} + \textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ

\textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ - \textcolor{blue}{\alpha} - \textcolor{blue}{\beta}

  • Angaben einsetzen und ausrechnen:

\textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ - \textcolor{blue}{62^\circ} - \textcolor{blue}{47^\circ} = 71^\circ

So kannst du Winkel im Dreieck bestimmen, wenn zwei von drei Winkeln gegeben sind. Diese Winkel Berechnung funktioniert bei jedem Dreieck!

Winkelberechnung Viereck

Mit der gleichen Methode kannst du auch im Viereck Winkel ausrechnen.

Merke: Die Summe der Winkel in einem Viereck ergibt immer 360°. 

\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

Schauen wir uns gemeinsam an einem Beispiel an, wie du im Trapez Winkel berechnen kannst. 

Beispiel 

Gegeben sind die drei Winkel \textcolor{blue}{\alpha = 64^\circ}, \textcolor{blue}{\beta = 76^\circ} und \textcolor{blue}{\gamma = 104^\circ}. Wie kannst du den fehlenden Winkel \textcolor{red}{\delta} berechnen?

Trapez Winkel berechnen, Winkel berechnen, Winkelberechnung Trapez, Winkelsumme Viereck, Innenwinkel Viereck
direkt ins Video springen
Trapez Winkel berechnen

Um im Viereck die Winkel zu berechnen, nutzt du die Innenwinkelsumme. 

  • Formel aufstellen:

\textcolor{blue}{\alpha} + \textcolor{blue}{\beta} + \textcolor{blue}{\gamma} + \textcolor{red}{\delta} = 360^\circ

\textcolor{red}{\delta} = 360^\circ - \textcolor{blue}{\alpha} - \textcolor{blue}{\beta} - \textcolor{blue}{\gamma}

  • Angaben einsetzen und ausrechnen:

\textcolor{red}{\delta} = 360^\circ - \textcolor{blue}{64^\circ} - \textcolor{blue}{76^\circ} - \textcolor{blue}{104^\circ} = 116^\circ

Diese Winkel Berechnung funktioniert bei jedem Viereck!

Rechtwinkliges Dreieck Winkel berechnen

Hast du zum Winkel berechnen ein rechtwinkliges Dreieck, dann kannst du die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens benutzen. Damit kannst du die Winkel im Dreieck berechnen, wenn 3 Seiten gegeben sind.  

Winkel Dreieck bestimmen, Rechtwinkliges Dreieck Winkel berechnen, Winkel berechnen rechtwinkliges Dreieck, Winkelberechnung Dreieck
direkt ins Video springen
Rechtwinkliges Dreieck mit Bezeichnungen

Natürlich brauchst du zum Winkel berechnen die Formel für die entsprechende Winkelfunktion. Außerdem musst du die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck kennen. 

Winkelberechnung im Dreieck

Mit den Winkelfunktionen kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck die Winkel berechnen. 

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Schauen wir uns an einigen Beispielen an, wie du mit der Trigonometrie Winkel berechnen kannst. 

Winkel berechnen rechtwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck Winkel berechnen, Winkelberechnung rechtwinkliges Dreieck
direkt ins Video springen
Winkel berechnen: rechtwinkliges Dreieck

Sinus Winkel berechnen

Zuerst werden wir mit dem Sinus den Winkel \alpha berechnen. 

  • Formel aufstellen: Dafür musst du herausfinden, welche Seite die Gegenkathete und die Hypotenuse ist.

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}

  • Angaben einsetzen:

\sin(\alpha) = \frac{8\text{cm}}{13,6\text{cm}}

  • Sinus berechnen:

\sin(\alpha) \approx 0,59

  • Winkel ausrechnen: Um aus dem Sinus den Winkel zu bestimmen, musst du die Umkehrabbildung \sin^{-1} verwenden.

\alpha = \sin^{-1} (0,59) \approx 36^\circ

Du brauchst also zum Winkel berechnen die Formel und zwei Seitenlängen. So kannst du auch einen rechten Winkel berechnen

Cosinus Winkel berechnen

Die Winkelberechnung von \alpha machen wir jetzt nochmal mit dem Cosinus. Dafür brauchst du die Ankathete a = 11\text{cm} und die Hypotenuse c=13,6\text{cm}.

  • Formel aufstellen:

\cos(\alpha) = \frac{a}{c}

  • Cosinus bestimmen:

\cos(\alpha) = \frac{11\text{cm}}{13,6\text{cm}} \approx 0,81

  • Winkel ausrechnen:

\alpha = \cos^{-1} (0,81) \approx 36^\circ

Hinweis: Mit dem Cosinus kannst du auch die Hypotenuse berechnen mit Winkel \alpha, wenn der Winkel gegeben ist. 

Tangens Winkel berechnen

Du kannst natürlich auch mit dem Tangens den Winkel \alpha im Dreieck bestimmen. Dabei ist die Gegenkathete wieder die Seite b = 8\text{cm} und die Ankathete entspricht der Seite a = 11\text{cm}

  • Formel aufstellen:

\tan(\alpha) = \frac{b}{a}

  • Tangens berechnen:

\tan(\alpha) = \frac{8\text{cm}}{11\text{cm}} \approx 0,73

  • Winkel bestimmen:

\alpha = \tan^{-1} (0,73) \approx 36^\circ

Achtung, diese Winkelberechnung im Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens funktioniert nur, wenn du einen rechten Winkel hast!

Winkel berechnen Aufgaben 

Zum Abschluss zeigen wir dir, wie du beim Thema Winkel berechnen Aufgaben lösen kannst. 

Aufgabe 1

Berechne den fehlenden Winkel \textcolor{red}{\gamma}

Winkel berechnen, Winkelberechnung, Winkel berechnen Aufgabe
direkt ins Video springen
Winkel berechnen: Aufgabe 1

Lösung: 

Du kannst den fehlenden Winkel mit der Innenwinkelsumme im Viereck bestimmen.

\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta = 360^\circ - 76^\circ - 104^\circ - 104^\circ = 76^\circ

Der gesuchte Winkel beträgt 76°. 

Aufgabe 2

Bestimme den gesuchten Winkel \textcolor{blue}{\beta}

Winkel berechnen Aufgabe, Winkelberechnung Aufgabe, Aufgabe Winkel berechnen
direkt ins Video springen
Winkel berechnen: Aufgabe 2

Lösung:

Weil du die Seiten a und c gegeben hast, berechnest du den Winkel mit dem Cosinus.

\cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{5,41\text{cm}}{11,7\text{cm}} = 0,4623

\beta = \cos^{-1}(0,4623) \approx 62,5^\circ

Der gesuchte Winkel beträgt 62,5°.  

Winkel berechnen Zusammenfassung

Insgesamt gibt es mehrere Möglichkeiten, wie du bei der Winkelberechnung vorgehen kannst. 

  • Innenwinkelsumme: Wenn du nur einen Winkel in einem Dreieck (180°) oder Viereck (360°) suchst. 
  • Winkelfunktionen: Diese Winkelberechnung funktioniert nur im rechtwinkligen Dreieck. 

Um wirklich in jeder Situation den fehlenden Winkel im Dreieck berechnen zu können, musst du unbedingt noch den Sinussatz und den Kosinussatz lernen. Schau dir am Besten gleich unser Video zum Sinussatz an!

Sinus, Sinussatz
Zum Video: Sinussatz

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.