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Winkel berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Hier stellen wir dir verschiedene Möglichkeiten vor, wie du bei der Winkelberechnung vorgehen kannst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video zum Thema Winkelberechnung an!

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man Winkel?

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(00:11)

Wenn du Winkel berechnen sollst, dann hast du je nach Aufgabenstellung verschiedene Möglichkeiten. Grundsätzlich musst du dabei immer eine fehlende Gradzahl berechnen. Die Winkelberechnung im Dreieck und Viereck kannst du mit der Innenwinkelsumme machen. Allerdings funktioniert das nur, wenn schon andere Winkel in der Aufgabe angegeben sind.

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Im Dreieck gilt: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ .
Im Viereck gilt: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ .

Hast du zum Winkel berechnen ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, dann hast du noch weitere Möglichkeiten. Dort kannst du nämlich mit dem Sinus, Kosinus oder Tangens Winkel berechnen. Wie diese Winkelberechnung im Dreieck genauer funktioniert, zeigen wir dir im Folgenden Schritt für Schritt.

Dreieck Winkel berechnen

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(00:48)

Hast du zur Winkelberechnung ein Dreieck mit zwei angegebenen Winkeln vorliegen, dann kannst du mit der Innenwinkelsumme fehlende Winkel berechnen.

Merke: Alle Winkel in einem Dreieck ergeben zusammen immer 180°.

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Schauen wir uns gleich mal an einem konkreten Beispiel an, wie du Winkel im Dreieck berechnen kannst.

Beispiel

In einem Dreieck sind die zwei Innenwinkel $\textcolor{blue}{\alpha = 62^\circ}$ und $\textcolor{blue}{\beta = 47^\circ}$ gegeben. Wie kannst du den unbekannten Winkel $\textcolor{red}{\gamma}$ ausrechnen?

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Du kannst den Dreieck Winkel berechnen, indem du die Summe der Innenwinkel benutzt.

Formel aufstellen:

$\textcolor{blue}{\alpha} + \textcolor{blue}{\beta} + \textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ$

$\textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ - \textcolor{blue}{\alpha} - \textcolor{blue}{\beta}$

Angaben einsetzen und ausrechnen:

$\textcolor{red}{\gamma} = 180^\circ - \textcolor{blue}{62^\circ} - \textcolor{blue}{47^\circ} = 71^\circ$

So kannst du Winkel im Dreieck bestimmen, wenn zwei von drei Winkeln gegeben sind. Diese Winkel Berechnung funktioniert bei jedem Dreieck!

Winkelberechnung Viereck

Mit der gleichen Methode kannst du auch im Viereck Winkel ausrechnen.

Merke: Die Summe der Winkel in einem Viereck ergibt immer 360°.

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Schauen wir uns gemeinsam an einem Beispiel an, wie du im Trapez Winkel berechnen kannst.

Beispiel

Gegeben sind die drei Winkel $\textcolor{blue}{\alpha = 64^\circ}$ , $\textcolor{blue}{\beta = 76^\circ}$ und $\textcolor{blue}{\gamma = 104^\circ}$ . Wie kannst du den fehlenden Winkel $\textcolor{red}{\delta}$ berechnen?

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Um im Viereck die Winkel zu berechnen, nutzt du die Innenwinkelsumme.

Formel aufstellen:

$\textcolor{blue}{\alpha} + \textcolor{blue}{\beta} + \textcolor{blue}{\gamma} + \textcolor{red}{\delta} = 360^\circ$

$\textcolor{red}{\delta} = 360^\circ - \textcolor{blue}{\alpha} - \textcolor{blue}{\beta} - \textcolor{blue}{\gamma}$

Angaben einsetzen und ausrechnen:

$\textcolor{red}{\delta} = 360^\circ - \textcolor{blue}{64^\circ} - \textcolor{blue}{76^\circ} - \textcolor{blue}{104^\circ} = 116^\circ$

Diese Winkel Berechnung funktioniert bei jedem Viereck!

Rechtwinkliges Dreieck Winkel berechnen

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(01:51)

Hast du zum Winkel berechnen ein rechtwinkliges Dreieck, dann kannst du die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens benutzen. Damit kannst du die Winkel im Dreieck berechnen, wenn 3 Seiten gegeben sind.

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Natürlich brauchst du zum Winkel berechnen die Formel für die entsprechende Winkelfunktion. Außerdem musst du die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck kennen.

Winkelberechnung im Dreieck

Mit den Winkelfunktionen kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck die Winkel berechnen.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Schauen wir uns an einigen Beispielen an, wie du mit der Trigonometrie Winkel berechnen kannst.

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Sinus Winkel berechnen

Zuerst werden wir mit dem Sinus den Winkel $\alpha$ berechnen.

Formel aufstellen: Dafür musst du herausfinden, welche Seite die Gegenkathete und die Hypotenuse ist.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$

Angaben einsetzen:

$\sin(\alpha) = \frac{8\text{cm}}{13,6\text{cm}}$

Sinus berechnen:

$\sin(\alpha) \approx 0,59$

Winkel ausrechnen: Um aus dem Sinus den Winkel zu bestimmen, musst du die Umkehrabbildung $\sin^{-1}$ verwenden.

$\alpha = \sin^{-1} (0,59) \approx 36^\circ$

Du brauchst also zum Winkel berechnen die Formel und zwei Seitenlängen. So kannst du auch einen rechten Winkel berechnen.

Cosinus Winkel berechnen

Die Winkelberechnung von $\alpha$ machen wir jetzt nochmal mit dem Cosinus. Dafür brauchst du die Ankathete $a = 11\text{cm}$ und die Hypotenuse $c=13,6\text{cm}$ .

Formel aufstellen:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{c}$

Cosinus bestimmen:

$\cos(\alpha) = \frac{11\text{cm}}{13,6\text{cm}} \approx 0,81$

Winkel ausrechnen:

$\alpha = \cos^{-1} (0,81) \approx 36^\circ$

Hinweis: Mit dem Cosinus kannst du auch die Hypotenuse berechnen mit Winkel $\alpha$ , wenn der Winkel gegeben ist.

Tangens Winkel berechnen

Du kannst natürlich auch mit dem Tangens den Winkel $\alpha$ im Dreieck bestimmen. Dabei ist die Gegenkathete wieder die Seite $b = 8\text{cm}$ und die Ankathete entspricht der Seite $a = 11\text{cm}$ .

Formel aufstellen:

$\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$

Tangens berechnen:

$\tan(\alpha) = \frac{8\text{cm}}{11\text{cm}} \approx 0,73$

Winkel bestimmen:

$\alpha = \tan^{-1} (0,73) \approx 36^\circ$

Achtung, diese Winkelberechnung im Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens funktioniert nur, wenn du einen rechten Winkel hast!

Winkel berechnen — kurz & knapp

Um einen Winkel α zu berechnen, bestimmst du das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse. Dafür teilst du die Gegenkathete durch die Hypotenuse (z.B. 3 : 6). Dein Ergebnis (hier: 0,5) setzt du in die Umkehrfunktion vom Sinus ein. Dann erhältst du den Winkel α = sin^-1(0,5) = 30°.

Winkel berechnen Aufgaben

Zum Abschluss zeigen wir dir, wie du beim Thema Winkel berechnen Aufgaben lösen kannst.

Aufgabe 1

Berechne den fehlenden Winkel $\textcolor{red}{\gamma}$ .

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Lösung:

Du kannst den fehlenden Winkel mit der Innenwinkelsumme im Viereck bestimmen.

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

$\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta = 360^\circ - 76^\circ - 104^\circ - 104^\circ = 76^\circ$

Der gesuchte Winkel beträgt 76°.

Aufgabe 2

Bestimme den gesuchten Winkel $\textcolor{blue}{\beta}$ .

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Lösung:

Weil du die Seiten a und c gegeben hast, berechnest du den Winkel mit dem Cosinus.

$\cos(\beta) = \frac{a}{c} = \frac{5,41\text{cm}}{11,7\text{cm}} = 0,4623$

$\beta = \cos^{-1}(0,4623) \approx 62,5^\circ$

Der gesuchte Winkel beträgt 62,5°.

Winkel berechnen Zusammenfassung

Insgesamt gibt es mehrere Möglichkeiten, wie du bei der Winkelberechnung vorgehen kannst.

Innenwinkelsumme: Wenn du nur einen Winkel in einem Dreieck (180°) oder Viereck (360°) suchst.
Winkelfunktionen: Diese Winkelberechnung funktioniert nur im rechtwinkligen Dreieck.

Um wirklich in jeder Situation den fehlenden Winkel im Dreieck berechnen zu können, musst du unbedingt noch den Sinussatz und den Kosinussatz lernen. Schau dir am Besten gleich unser Video zum Sinussatz an!