In diesem Beitrag erfährst du, wie du mit Hilfe der euklidischen Distanz den Abstand zweier Punkte oder Vektoren in einem Koordinatensystem berechnen kannst. Neben der allgemeinen Formel des euklidischen Abstandes findest du im Artikel Rechenbeispiele und eine Einordnung der euklidischen Metrik.
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Die euklidischen Distanz ist eine Metrik bzw. Abstandsfunktion und entstammt der euklidischen Geometrie. Wenn wir zwei Punkte auf einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum durch eine Gerade miteinander verbinden, dann ist die euklidische Distanz nichts anderes als die Länge dieser Geraden zwischen den beiden Punkten . In Räumen ab vier Dimensionen ist eine anschauliche Messung nicht mehr möglich. Die allgemeine Form des euklidischen Abstands gilt jedoch weiterhin.
Formaler ausgedrückt entspricht die euklidische Distanz der Länge oder auch dem Betrag des Verbindungsvektors zweier Punkte oder Vektoren. Sie ist daher gleichbedeutend mit der euklidischen Norm dieses verbindenden Vektors. Andere Bezeichnungen für die euklidische Distanz sind euklidischer Abstand oder euklidische Metrik.
Existiert nur eine Achse auf der alle Punkte eines Raums liegen, dann entspricht der Abstand zweier Punkte dem absoluten Differenzwert ihrer Koordinaten. Die euklidische Distanz der Punkte und
ist daher in einem eindimensionalen Raum (
) die einfache numerische Differenz ihrer jeweiligen Koordinaten auf dieser Achse.
Im zweidimensionalen Raum () entspricht die Berechnung des euklidischen Abstandes dem Satz des Pythagoras. Zwischen den beiden betrachteten Punkten
und
lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen, dessen Katheten jeweils parallel zu den Achsen verlaufen. Die Hypothenuse dieses Dreiecks ist dabei der gesuchte Abstand zwischen den Punkten den wir mit Hilfe einer Dreiecksgleichung bestimmen können. Wir ziehen also die Koordinatenwerte der Punkte voneinander ab, quadrieren diese Differenzen und bilden die Summe der beiden Quadrate. Das Ergebnis dieser Rechenschritte ist dann der quadratische Abstand der Punkte. Ziehen wir jetzt noch die Wurzel, wird deutlich, dass es sich um die allgemeine Formel der euklidischen Distanz für
handelt.
Ein zweiter Berechnungsweg des Abstandes erfolgt über den Betrag des Verbindungsvektors der beiden Punkte. Um diesen zu bestimmen, zieht man die Vektoren und
, die vom Ursprung zu den Punkten P und Q zeigen, voneinander ab und bildet die euklidische Norm dieses Differenzvektors. Auch hierbei ergibt sich letztendlich die Formel der euklidischen Metrik für
.
Beispiel: Der euklidische Abstand der Punkte und
bzw. der Vektoren
und
beträgt
.
Gegeben sind die Punkte E (5, 4, 6) und F (7, 3, 8) sowie die zugehörigen Vektoren und
. Um die euklidische Distanz zwischen den beiden Punkten zu bestimmen, wenden wir nacheinander beide Methoden ein, die wir kennen gelernt haben:
Einsetzen der Koordinaten:
Betrag des Verbindungsvektors:
Als Metrik werden Abstandsfunktionen bezeichnet, die jedem Elementenpaar einer Menge einen Abstand zuweisen und diese dadurch als metrischen Raum definieren. Eine Metrik muss bestimmte Eigenschaften erfüllen:
Alle diese Voraussetzungen erfüllt die euklidische Metrik. Der metrische Raum oder die durch die euklidische Distanz definierte Menge von Elementen heißt daher euklidischer Raum.
Neben der euklidischen Distanz existieren viele weitere Abstandsmaße, wie zum Beispiel:
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