Geometrie

Euklidische Distanz

In diesem Beitrag erfährst du, wie du mit Hilfe der euklidischen Distanz den Abstand zweier Punkte oder Vektoren in einem Koordinatensystem berechnen kannst. Neben der allgemeinen Formel des euklidischen Abstandes findest du im Artikel Rechenbeispiele und eine Einordnung der euklidischen Metrik.

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Inhaltsübersicht

Euklidische Distanz Definition

Die euklidischen Distanz ist eine Metrik bzw. Abstandsfunktion und entstammt der euklidischen Geometrie. Wenn wir zwei Punkte auf einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum durch eine Gerade miteinander verbinden, dann ist die euklidische Distanz nichts anderes als die Länge dieser Geraden zwischen den beiden Punkten . In Räumen ab vier Dimensionen ist eine anschauliche Messung nicht mehr möglich. Die allgemeine Form des euklidischen Abstands gilt jedoch weiterhin.

Formaler ausgedrückt entspricht die euklidische Distanz der Länge oder auch dem Betrag des Verbindungsvektors zweier Punkte oder Vektoren. Sie ist daher gleichbedeutend mit der euklidischen Norm dieses verbindenden Vektors. Andere Bezeichnungen für die euklidische Distanz sind euklidischer Abstand oder euklidische Metrik.

Eindimensionaler Fall

Existiert nur eine Achse auf der alle Punkte eines Raums liegen, dann entspricht der Abstand zweier Punkte dem absoluten Differenzwert ihrer Koordinaten. Die euklidische Distanz der Punkte P = (p) und Q = (q) ist daher in einem eindimensionalen Raum (n=1) die einfache numerische Differenz ihrer jeweiligen Koordinaten auf dieser Achse.

d = \sqrt{(p - q)^2} = \vert p - q \vert

Zweidimensionaler Fall

Im zweidimensionalen Raum (n=2) entspricht die Berechnung des euklidischen Abstandes dem Satz des Pythagoras. Zwischen den beiden betrachteten Punkten P = (p_1, p_2) und Q = (q_1, q_2) lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen, dessen Katheten jeweils parallel zu den Achsen verlaufen. Die Hypothenuse dieses Dreiecks ist dabei der gesuchte Abstand zwischen den Punkten den wir mit Hilfe einer Dreiecksgleichung bestimmen können. Wir ziehen also die Koordinatenwerte der Punkte voneinander ab, quadrieren diese Differenzen und bilden die Summe der beiden Quadrate. Das Ergebnis dieser Rechenschritte ist dann der quadratische Abstand der Punkte. Ziehen wir jetzt noch die Wurzel, wird deutlich, dass es sich um die allgemeine Formel der euklidischen Distanz für n=2 handelt.

d(P, Q)^2 = (q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2

d(P, Q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2}

Euklidische Distanz, Euklidischer Abstand, Satz des Pythagoras
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Euklidische Distanz (n=2)

Ein zweiter Berechnungsweg des Abstandes erfolgt über den Betrag des Verbindungsvektors der beiden Punkte. Um diesen zu bestimmen, zieht man die Vektoren \vec {p} und \vec{q}, die vom Ursprung zu den Punkten P und Q zeigen, voneinander ab und bildet die euklidische Norm dieses Differenzvektors. Auch hierbei ergibt sich letztendlich die Formel der euklidischen Metrik für n=2.

d = \vert \vec {p} - \vec{q} \vert = \vert \begin{array}{c} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \end{array} \vert = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Euklidische Distanz, Euklidischer Abstand, Euklidische Norm, Vektorbetrag
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Euklidische Distanz entspricht Vektorbetrag

Beispiel: Der euklidische Abstand der Punkte A = (12, 3) und B = (5, 9) bzw. der Vektoren \vec {a} und \vec{b} beträgt 9,22.

d = \vert \vec {a} - \vec{b} \vert = \vert \begin{array}{c} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{array} \vert = \vert \begin{array}{c} 5 - 12 \\ 9 - 3 \end{array} \vert = \vert \begin{array}{c} -7 \\ 6 \end{array} \vert = \sqrt{(-7)^2+6^2} = 9,22

Dreidimensionaler Fall

Im dreidimensionalen Raum (n=3) lässt sich die euklidische Distanz folgendermaßen berechnen:

d = \sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}

Das Prinzip ist also dasselbe wie bei der zweidimensionalen Ebene. Wir müssen einfach die dritte Dimension mit berücksichtigen.

Beispiel: Der euklidische Abstand der Punkte C = (4, 10, 6) und D = (9, 8, 1) ist 7,35.

d = \sqrt{(9-4)^2+(8-10)^2+(1-6)^2} = 7,35

Allgemeine Form des euklidischen Abstandes

Auch in noch höheren Dimensionen bleibt das Schema zur Berechnung der euklidischen Distanz gleich. In einem n-dimensionalen Raum R^{n} ergibt sich damit der Abstand zwischen den Punkten P (p_1, ..., p_n) und Q (q_1, ..., q_n) zu:

d(P, Q) = \vert \vec{p} -\vec{q} \vert =\sqrt{(q_1-p_1)^2+...+(q_n-p_n)^2} = \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n} (q_i-p_i)^2}

Euklidische Distanz berechnen

Gegeben sind die Punkte E (5, 4, 6) und F (7, 3, 8) sowie die zugehörigen Vektoren \vec{e} und \vec{f}. Um die euklidische Distanz zwischen den beiden Punkten zu bestimmen, wenden wir nacheinander beide Methoden ein, die wir kennen gelernt haben:

Einsetzen der Koordinaten:

d(E,F) = \sqrt{(5-7)^2+(4-3)^2+(6-8)^2} = 3

Betrag des Verbindungsvektors:

\vec{e} - \vec{f} = \Biggl( \begin{array}{c} 5 - 7 \\ 4 - 3 \\ 6 - 8 \end{array} \Biggr) = \Biggl( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \Biggr)

\vert \vec{e} - \vec{f} \vert = \sqrt {(-2)^2+ 1^2+ (-2)^2} =3

Einordnung der euklidischen Metrik

Als Metrik werden Abstandsfunktionen bezeichnet, die jedem Elementenpaar einer Menge einen Abstand zuweisen und diese dadurch als metrischen Raum definieren. Eine Metrik muss bestimmte Eigenschaften erfüllen:

  • die Distanz eines Punktes zu sich selbst ist Null
  • der Abstand zwischen zwei Punkten ist positiv
  • die Distanz von A zu B ist die selbe wie die von B nach A
  • der direkte Weg von A nach B ist kürzer oder gleich lang wie die Distanz von A nach B über einen weiteren Punkt C

Alle diese Voraussetzungen erfüllt die euklidische Metrik. Der metrische Raum oder die durch die euklidische Distanz definierte Menge von Elementen heißt daher euklidischer Raum.

Neben der euklidischen Distanz existieren viele weitere Abstandsmaße, wie zum Beispiel:

  • Diskrete Metrik:
    Diese Abstandsfunktion bestimmt alle Distanzen zwischen nicht identischen Punkten als 1.
    f\"{u}r \ x=y ist d(x, y) = 0, sonst d(x, y) = 1
  • Manhattan-Distanz (auch Taxi-Metrik):
    Die Manhattan-Metrik weist allen Distanzen zwischen zwei Punkten die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten zu. Wege zwischen Elementen ähneln hier den kürzesten Strecken, die ein Taxifahrer im Straßengitter New Yorks zurücklegt.
    d(P, Q) = \sum\limits_{i} \vert p_i - q_i \vert
  • Tschebyschew-Norm (auch Schachbrett-Distanz):
    Die Abstände zwischen zwei Punkten entsprechen der Anzahl an Zügen, die ein König auf einem Schachbrett benötigen würde, um von einem zum anderen zu rücken. Die Seitenlängen eines einzelnen Feldes sind dabei als 1 definiert.
    d(P, Q) = \max_{i} (\vert p_i - q_i \vert)

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