Geometrie
Dreiecke Sätze
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%Alles außer der Beweis muss Korrektur gelesen werdenHier% und im Video erfährst du alles rund um den Kathetensatz und lernst, wie du ihn anwenden kannst. Viel Spaß!

Kathetensatz einfach erklärt

Mit dem Kathetensatz kannst du die Seiten im rechtwinkligen Dreieck ausrechnen. Dein Dreieck hat immer

  • eine Hypotenuse c = die Seite gegenüber vom rechten Winkel
  • zwei Katheten a und b = die anderen beiden Seiten
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Kathetensatz am Dreieck

Du siehst, dass die Hypotenuse in zwei Abschnitte q und p geteilt wird: p gehört zur Kathete a und q zur Kathete b. Damit kannst du jetzt den Kathetensatz aufschreiben.

Kathetensatz Formel

a2 = p • c

b2 = qc

Der Kathetensatz sagt dir, dass das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des zugehörigen Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse ist. 

Kathetensatz Beispiel

Schau dir gleich an, wie du den Kathetensatz (auch: Kathetensatz des Euklid) anwenden kannst. 

Berechne die Kathete b in einem rechtwinkligen Dreieck mit c = 25 cm und q = 4 cm.

  • Formel aufstellen: Suche den Kathetensatz heraus, in dem die gesuchte Kathete vorkommt.

b2 = qc

  • Formel auflösen: Löse die Formel nach b auf. Dafür musst du hier nur die Wurzel ziehen.

    \begin{align*} \textcolor{orange}{b}^2 &=\textcolor{teal}{c} \cdot \textcolor{blue}{q} & & | \sqrt{...} \\ \textcolor{orange}{b} &= \sqrt{\textcolor{teal}{c} \cdot \textcolor{blue}{q}}  \end{align*}

  • Einsetzen und ausrechnen: Setze die Zahlen ein.

    \[\textcolor{orange}{b} = \sqrt{\textcolor{teal}{25\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{4\text{cm}}} = \sqrt{100\text{cm}^2} = 10\text{cm} \]

Die Kathete b ist also 10 cm lang.

Schau dir gleich noch eine Aufgabe an, in der du beide Katheten berechnen musst!

Kathetensatz Aufgabe

Gegeben ist die Hypotenuse c = 17 cm und der Abschnitt p = 3,76 cm. Du sollst die beiden Katheten berechnen.

Fang mit der Kathete a an.

  • Formel aufstellen

a2 = pc

  • Formel auflösen: Um nach a aufzulösen, musst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

    \begin{align*} \textcolor{red}{a}^2 &= \textcolor{olive}{p} \cdot \textcolor{teal}{c} && |\sqrt{...} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{p} \cdot \textcolor{teal}{c}} \end{align*}

  • Einsetzen und ausrechnen

    \[\textcolor{red}{a}=\sqrt{\textcolor{olive}{3,76\text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{17 \text{cm}}} = \sqrt{64\text{cm}^2} = 8\text{cm}\]

Super! Jetzt kannst du die Kathete b berechnen. Dafür brauchst du aber zuerst den zugehörigen Hypotenusenabschnitt.

  • Zweiten Hypotenusenabschnitt berechnen

    \begin{align*} \textcolor{olive}{p} + \textcolor{blue}{q} &= \textcolor{teal}{c} && |-\textcolor{olive}{p} \\ \textcolor{blue}{q} &= \textcolor{teal}{c} - \textcolor{olive}{p} \\ \textcolor{blue}{q} &= \textcolor{teal}{17\text{cm}} - \textcolor{olive}{3,76\text{cm}} \\ &=13,24\text{cm} \end{align*}

  • Formel aufstellen: 

b2 = q c

  • Formel auflösen: Genauso wie bei der ersten Kathete auch, ziehst du hier auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.

    \begin{align*} \textcolor{orange}{b}^2 &= \textcolor{blue}{q} \cdot \textcolor{teal}{c} && | \sqrt{...} \\ \textcolor{orange}{b} &= \sqrt{\textcolor{blue}{q} \cdot \textcolor{teal}{c}} \end{align*}

  • Angaben einsetzen und ausrechnen:

    \[\textcolor{orange}{b} = \sqrt{\textcolor{blue}{13,24\text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{17\text{cm}}} = \sqrt{225\text{cm}^2}=15\text{cm}\]

Geometrische Darstellung vom Kathetensatz

Statt die Kathetensätze nur mit Seitenlängen zu betrachten, kannst du die Formel auch als Fläche interpretieren.

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Geometrische Darstellung des Kathetensatzes

Das Quadrat über der Kathete a ist gleich groß wie das Rechteck mit dem Flächeninhalt p c. Es gilt also:

a2 = pc

Quadrat = Rechteck

Genauso kannst du in dem Bild den anderen Kathetensatz finden. Das Quadrat über der Kathete b hat den Flächeninhalt b². Diese Fläche ist genauso groß wie das Rechteck mit Flächeninhalt qc. Das kannst du mit der Formel vom Kathetensatz ausdrücken.

b2 = qc

Quadrat = Rechteck

Beweis Kathetensatz

Schau dir jetzt noch den Beweis vom Kathetensatz an. Der funktioniert mit Hilfe vom Satz des Pythagoras . Für die Kathete a betrachtest du das rechtwinklige Dreieck aus der Kathete a, der Höhe h und dem Hypotenusenabschnitt p. 

    \begin{align*} a^2 &= p^2+h^2 \\ a^2 &= p^2 + p \cdot q \\ a^2 &= p \cdot p + p \cdot q \\ a^2 &= p \cdot (p + q) \\ a^2 &= p \cdot c \end{align*}

Für den Kathetensatz der Kathete b funktioniert der Beweis genauso. 

Satzgruppe des Pythagoras

Jetzt kannst du im Dreieck Katheten berechnen. Aber was, wenn nicht nach einer Kathete, sondern nach der Höhe des Dreiecks gefragt ist? Dann hilft dir der Höhensatz ! Schau dir gleich unser Video dazu an.

%Thumbnailverweis Höhensatz

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