Geometrie
Geometrische Körper
 – Video

Hier erklären wir dir, wie du das Volumen vom Kegel bestimmen kannst. Dafür machen wir viele Beispiele zur Volumenformel vom Kegel. In unserem Video erklären wir dir nochmal anschaulich, wie du das Kegel Volumen berechnen kannst. Schau es dir gleich an!

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Ein Kegel in der Geometrie ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche und einer Spitze. Du kannst diesen Körper zum Beispiel mit Wasser füllen. Das Volumen vom Kegel gibt dir dann an, wie viel Wasser in den Kegel passt. 

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Volumen Kegel

Für das Volumen eines Kegels gibt es eine Formel.

V = \frac{1}{3}\cdot \textcolor{orange}{\text{Grundfläche}} \cdot \textcolor{red}{\text{Höhe}}

=\frac{1}{3}\cdot \pi  \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \textcolor{red}{h}

  • V: Kegelvolumen
  • r: Radius von der Grundfläche
  • h: Höhe des Kegels
  • \pi: Kreiszahl (3,1415…)

Es muss die Höhe und der Radius des Kreiskegels gegeben sein, damit du das Kegel Volumen berechnen kannst. Neben dem Volumen gibt es noch weitere Kegel Formeln. Für diese brauchst du häufig die Mantellinie s, die die Spitze mit einem Punkt der Grundfläche verbindet.  

Wichtige Kegel Formeln:

Volumen: V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

Mantelfläche: M = \pi \cdot r \cdot s

Oberfläche: O=\pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s

Volumen Kegel berechnen

Das Volumen eines Kegels kannst du in wenigen Schritten bestimmen. Für die Volumenformel vom Kegel brauchst du nur ein paar Angaben. 

Beispiel

Zuerst berechnen wir das Kegel Volumen von einem Kreiskegel mit Radius \textcolor{blue}{r=5\text{cm}} und Höhe \textcolor{red}{h=10\text{cm}}.

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Volumen Kegel: Beispiel
  • Formel aufstellen: Zum Berechnen brauchst du die Formel für das Kegelvolumen.

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \textcolor{red}{h}

  • Angaben einsetzen: Als nächstes verwendest du die Zahlenwerte aus der Angabe.

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 \cdot \textcolor{red}{10\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen: Mit dem Taschenrechner kannst du dann das Kegel Volumen berechnen

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25\text{cm}^2 \cdot 10\text{cm} \approx 261,8\text{cm}^3

Radius aus Volumen berechnen

Du kannst die Formel aber auch anders benutzen, um zum Beispiel aus dem Kegelvolumen den Radius vom Kegel zu berechnen. Dazu ist das Volumen eines Kegels V=47,12\text{cm}^3 und die Höhe h=5\text{cm} gegeben. 

  • Formel aufstellen: Zuerst schreibst du die Formel für das Volumen vom Kegel auf. 

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

  • Nach r auflösen: Nun formst du die Gleichung um, damit du den Radius berechnen kannst.

    \begin{align*} \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &= V && | \cdot 3 \\ \pi \cdot r^2 \cdot h &= V \cdot 3 && | : \pi \\ r^2 \cdot h &= \frac{3V}{\pi} && | : h \\ r^2 &= \frac{3V}{\pi \cdot h} && | \sqrt{...} \\ r &= \sqrt{ \frac{3V}{\pi \cdot h}} \end{align*}

  • Angaben einsetzen: In diese Gleichung setzt du nun die Zahlenwerte ein. 

r = \sqrt{\frac{3 \cdot 47,12\text{cm}^3}{\pi \cdot 5\text{cm}}}

  • Radius berechnen: Zum Schluss tippst du alles in deinen Taschenrechner ein. 

r = \sqrt{\frac{141,36\text{cm}^3}{15,71\text{cm}}} = \sqrt{9\text{cm}^2} = 3\text{cm}

Anwendungsbeispiel

Für einen leckeren Nachtisch möchtest du eine Eiswaffel mit einer Vanillecreme füllen. Weil auch deine Freunde etwas abhaben wollen, machst du gleich 8 Stück davon. Jede Waffel hat einen Durchmesser von 6cm und ist 12cm hoch. Wie viel Eiscreme musst du machen, um alle 8 Eiswaffeln zu füllen?

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Anwendungsbeispiel Volumen Kegel

Um die Antwort auf diese Frage zu finden, musst du das Volumen vom Kegel berechnen. Die Eiswaffel entspricht nämlich einem Kegel in der Geometrie. Für die Volumenberechnung vom Kegel bestimmst du aber erstmal den Radius aus dem Durchmesser. 

r = \frac{d}{2} = \frac{6\text{cm}}{2} = 3\text{cm}

Nun kannst du wie gewohnt das Kegel Volumen berechnen

  • Formel aufstellen:

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

  • Angaben einsetzen:

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\text{cm})^2 \cdot 12\text{cm}

  • Ergebnis berechnen:

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9\text{cm}^2 \cdot 12\text{cm} \approx 113,1\text{cm}^3

Eine Eiswaffel hat also ein Kegelvolumen von V=113,1\text{cm}^3. Du machst allerdings insgesamt acht Waffeln. Deshalb musst du das Ergebnis noch mit 8 multiplizieren.

113,1\text{cm}^3 \cdot 8 \approx 905 \text{cm}^3

Insgesamt musst du 905cm³ Vanillecreme machen, um alle acht Waffeln damit zu füllen. 

Oberfläche und Mantelfläche vom Kegel

Neben dem Kegelvolumen musst du auch häufig die Oberfläche oder die Mantelfläche von einem Kegel berechnen. Was sich hinter diesen Begriffen verbirgt und wie du diese Flächen beim Kegel ganz einfach bestimmen kannst, erklären wir dir in unserem Video zur Kegel Oberfläche

Zum Video: Oberfläche Kegel, Volumen Kegel
Zum Video: Oberfläche Kegel

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