Umfang Kreis

Hier erklären wir dir, was der Kreisumfang ist und wie du ihn mit dem Radius, dem Durchmesser oder dem Flächeninhalt berechnen kannst. %Du möchtest lieber visuell erklärt bekommen, wie du den Umfang vom Kreis berechnen kannst? Dann schau dir jetzt gleich unser Video VERWEIS an!

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?
im Text
Umfang Kreis berechnen mit Radius
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Umfang mit Durchmesser berechnen
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Kreisumfang Halbkreis berechnen
im Text
Umfang Kreis aus Flächeninhalt berechnen
im Text

Wie berechnet man den Umfang eines Kreises?

Der Kreisumfang ist genau die Länge der Linie, die den Kreis bildet. Beim Berechnen des Kreisumfangs bestimmst du, wie lang diese Linie ist. Dabei verwendest du ein U als Abkürzung.

Umfang Kreis, Kreis Umfang, Kreisumfang, Kreis — Umfang Kreis

Um den Umfang zu berechnen, brauchst du den Radius r oder den Durchmesser d des Kreises. Die Formel zur Berechnung lautet dann 2 pi r.

Umfang Kreis Formel

Den Umfang eines Kreises berechnest du mit der Formel

$\begin{align*} \textcolor{red}{U} &= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}\\ &=\pi \cdot \textcolor{orange}{d}. \end{align*}$

$\textcolor{red}{U}$ : Umfang
$\pi$ : Kreiszahl (3,1415…)
$\textcolor{blue}{r}$ : Radius
$\textcolor{orange}{d}$ : Durchmesser

Hinweis: Die sogenannte Kreiszahl $\pi = 3,1415...$ ist vermutlich in deinem Taschenrechner eingespeichert. Ansonsten kannst du den gerundeten Wert $\pi \approx 3,14$ einsetzen.

Umfang Kreis berechnen mit Radius

Dir werden immer wieder Aufgaben begegnen, bei denen du den Umfang des Kreises berechnen musst. Mit der Formel

$\textcolor{red}{U} = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \pi$

kannst du den Kreisumfang berechnen, wenn der Radius gegeben ist. Du musst den Wert dann nur in die Formel einsetzen und das Ergebnis bestimmen. Lass uns dazu gleich ein Beispiel machen.

Beispiel 1

Berechne den Umfang eines Kreises mit Radius $\textcolor{blue}{r= 4\text{cm}}$ .

Formel Umfang Kreis aufstellen: Zuerst schreibst du dir einmal die Formel auf.

$U = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \pi$

Angaben einsetzen: Jetzt setzt du den Wert für den Radius r ein.

$U = 2 \cdot \textcolor{blue}{4\text{cm}} \cdot \pi$

Ergebnis berechnen: Zum Schluss rechnest du die Werte nur noch zusammen und bekommst so den Kreis Umfang.

$U = 8\pi \text{cm} \approx 25,13\text{cm}$

Der Umfang vom Kreis beträgt also gerundet $U = 25,13\text{cm}$ .

Beispiel 2

Sehen wir uns gleich noch ein Beispiel an. Diesmal geht es um die Umfangsberechnung vom Kreis mit Radius $r = 2\text{m}$ .

Umfang Kreis Formel aufstellen: Auch hier schreibst du zuerst einmal die Formel auf.

$U = 2 \cdot r \cdot \pi$

Angaben einsetzen: Im nächsten Schritt ersetzt du das allgemeine r durch 2m.

$U = 2 \cdot 2\text{m} \cdot \pi$

Ergebnis berechnen: Abschließend musst du die Zahlen nur noch zusammenrechnen.

$U \approx 12,6 \text{m}$

Umfang mit Durchmesser berechnen

Nicht immer hast du den Radius eines Kreises gegeben. Manchmal findest du stattdessen den Durchmesser d des Kreises.

Umfang Kreis, Kreis Umfang, Kreisumfang, Kreis Durchmesser — Kreis mit Durchmesser

Der Durchmesser d ist eine Strecke im Kreis, die genau doppelt so lang ist wie der Radius r

$\textcolor{orange}{d} = 2 \cdot \textcolor{blue}{r}$ .

Damit kannst du eine neue Formel für den Kreisumfang aufstellen.

$\textcolor{red}{U} = \underbrace{2 \cdot \textcolor{blue}{r}}_{=\textcolor{orange}{d}} \cdot \pi = \textcolor{orange}{d} \cdot \pi$

Lass uns auch dazu ein paar Beispiele machen.

Beispiel 1

Berechne den Umfang vom Kreis mit Durchmesser $\textcolor{orange}{d= 7\text{cm}}$ .

Kreisumfang Formel aufstellen: Weil du hier den Durchmesser gegeben hast, verwendest du die entsprechende Formel.

$U = \textcolor{orange}{d} \cdot \pi$

Angabe einsetzen: Den entsprechenden Wert setzt du nun ein.

$U = \textcolor{orange}{7\text{cm}} \cdot \pi$

Ergebnis berechnen: Nun musst du nur noch die Zahlen zusammenrechnen, um den Umfang vom Kreis zu berechnen.

$U \approx 21,99\text{cm}$

Beispiel 2

Lass uns dazu gleich noch ein Beispiel machen. Du sollst den Umfang berechnen vom Kreis mit Durchmesser 10m.

Kreisumfang Formel aufstellen:

$U = d \cdot \pi$

Angaben einsetzen:

$U = 10\text{m} \cdot \pi$

Ergebnis berechnen:

$U \approx 31,42 \text{m}$

Mit diesen Schritten kannst du jeden Umfang mit dem Durchmesser berechnen.

Kreisumfang Halbkreis berechnen

Bisher hast du immer den Umfang vom gesamten Kreis bestimmt. Mit der Formel kannst du in wenigen Schritten aber auch den Umfang eines Halbkreises berechnen.

Umfang Halbkreis, Halbkreis, Halbkreis Umfang berechnen — Halbkreis

Zum Umfang des Halbkreises gehört die Linie des Kreisbogens und die gerade Linie unten, die gerade dem Durchmesser entspricht. Deshalb berechnest du diesen Umfang auch nicht nur mit einer Formel, sondern in mehreren Schritten.

Dafür sehen wir uns mal einen Halbkreis mit einem Durchmesser von 5 cm an.

Umfang Kreisbogen berechnen: Zuerst bestimmst du den gesamten Kreis Umfang mit der Formel und teilst diesen durch 2. So bekommst du die Länge des Kreisbogens.

$U_{\Kreisbogen} = \frac{1}{2} \cdot U_{\Kreis} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \pi$

$U_{\Kreisbogen} = \frac{1}{2} \cdot 5\text{cm} \cdot \pi \approx 7,85\text{cm}$

Umfang Halbkreis zusammensetzen: Jetzt kannst du den ganzen Umfang des Halbkreises berechnen, indem du den Umfang vom Kreisbogen mit dem Durchmesser zusammenrechnest.

$U_{\Halbkreis} = U_{\Kreisbogen} + d = 7,85\text{cm} + 5\text{cm} = 12,85\text{cm}$

Umfang Kreis aus Flächeninhalt berechnen

Manchmal hast du in einer Aufgabe nicht direkt den Radius oder den Durchmesser eines Kreises gegeben. Du kannst aber auch aus dem Flächeninhalt den Umfang vom Kreis berechnen. Wie das genau funktioniert, wollen wir uns gleich mal an einem Beispiel ansehen.

Gegeben ist die Kreisfläche $A=314,16\text{cm}^2$ . Gesucht ist der Kreis Umfang.

Formel für den Flächeninhalt aufstellen: Zuerst schreibst du dir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises auf.

$A = r^2 \cdot \pi$

Formel nach r auflösen: Daraus möchtest du jetzt den Radius r berechnen. Dafür löst du die Formel einmal auf.

$\begin{align*} A &= r^2 \cdot \pi && | : \pi \\ \frac{A}{\pi} &= r^2 \\ r^2 &= \frac{A}{\pi} && | \sqrt{...} \\ r &= +\sqrt{ \frac{A}{\pi} } \end{align*}$

Beachte dabei, dass Längen immer als positive Zahl angegeben werden und du deshalb nur den positiven Wert aus der Wurzel verwendest.

Radius berechnen: Als nächstes kannst du in die Formel die Angabe für den Flächeninhalt einsetzen und so den Radius des Kreises bestimmen.

$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{314,16\text{cm}^2}{\pi}} = \sqrt{100\text{cm}^2} = 10\text{cm}$

Umfang Kreis Formel aufstellen: Ab hier kannst du wie gewohnt den Umfang vom Kreis berechnen.

$U = 2 \cdot r \cdot \pi$

Radius einsetzen:

$U = 2 \cdot 10\text{cm} \cdot \pi$

Kreisumfang berechnen:

$U \approx 62,83\text{cm}$

Hinweis: Zum Thema Flächeninhalt Kreis haben wir ein extra Video vorbereitet. Schau es dir gleich an! %VERWEIS Thumbnail Flächeninhalt Kreis

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