Geometrie
Kreis berechnen
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Kreis Definition

Der Kreis gehört zu den geometrischen Figuren . Er ist komplett rund und wird durch eine Kreislinie abgeschlossen. Alle Punkte auf dieser Kreislinie sind gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt. Den Abstand vom Mittelpunkt M zu jedem Punkt auf der Kreislinie nennst du auch Radius r.

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Kreis mit Mittelpunkt und Radius

Es gibt ein paar wichtige Kreis Begriffe, die du kennen solltest. Schau sie dir jetzt an!

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Kreislinie

Mittelpunkt

Der Mittelpunkt M liegt in der Mitte des Kreises. Alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zu ihm.

Radius

Der Radius r ist der Abstand von einem Punkt der Kreislinie zum Mittelpunkt M. Er beschreibt nicht nur eine Länge, sondern auch eine Strecke vom Mittelpunkt M zu einem anderen Punkt auf der Kreislinie.

Durchmesser

Der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand von zwei Punkten der Kreislinie. Die Punkte liegen dabei genau gegenüber voneinander. Der Durchmesser verläuft immer durch den Mittelpunkt M. Auch er beschreibt nicht nur eine Länge, sondern auch eine Strecke.

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Kreis mit Durchmesser und Radius

Radius und Durchmesser

Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius r

  • d = 2 · r

Der Radius r ist halb so lang wie der Durchmesser d:

  • r = ½ · d
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Kreis mit Radius und Durchmesser

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Wichtige Begriffe im Kreis

Andere Begriffe zum Kreis, wie Kreisinneres und -äußeres zeigen wir dir hier. Auch besondere Punkte und Geraden im Kreis solltest du kennen.

Kreisinneres und Kreisäußeres

Das Kreisinnere bezeichnet die Fläche innerhalb der Kreislinie. Der Abstand von Punkten im Kreisinneren zum Mittelpunkt (\overline{MP}) ist also immer kleiner als der Radius r.

  • \overline{MP} < r
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Kreisinneres

Das Kreisäußere bezeichnet die Fläche außerhalb der Kreislinie. Der Abstand von Punkten im Kreisäußeren zum Mittelpunkt ist immer größer als der Radius r.

  • \overline{MP} > r
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Kreisäußeres

Kreis und Punkte

Es gibt ein paar wichtige Punkte am Kreis, die wir dir hier vorstellen:

Randpunkt

Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, sind Randpunkte. Es gilt

  • \overline{MP} = r

Mathematisch kannst du die Randpunkte so schreiben: P ∈ k(M;r), also Punkt P ist ein Element von der Kreislinie.

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Kreis Randpunkt

Innerer Punkt

Alle Punkte im Kreisinneren nennst du innere Punkte. Es gilt

  • \overline{MP} < r
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Kreis Innerer Punkt

Äußerer Punkt

Alle Punkte im Kreisäußeren nennst du äußere Punkte. Es gilt

  • \overline{MP} > r
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Kreis Äußerer Punkt

Kreis und Geraden

Vielleicht kennst du auch die Begriffe Passante, Sekante und Tangente. Was es damit auf sich hat, siehst du hier:

Geraden am Kreis, Passante, Tangente, Sekante
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Geraden am Kreis

Eine Gerade, die den Kreis

  • in keinem Punkt berührt, nennst du Passante.
  • in einem Punkt berührt, nennst du Tangente .
  • in zwei Punkten schneidet, nennst du Sekante .

Übrigens:

  • Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt verläuft, nennst du Zentrale.
  • Den Teil einer Sekante, der im Kreisinneren liegt, nennst du Sehne. (Die längste Sehne ist der Durchmesser d)

Kreis Formeln

Für einige Kreis Formeln brauchst du die Kreiszahl π (Pi). Gerundet ist π ≈ 3,14.

Hier hast du einen Überblick über alle wichtigen Kreisformeln :

Kreisteile 

Einzelne Teile des Kreises haben eigene Bezeichnungen. Hier siehst du sie:

Kreisbogen und Kreisausschnitt

Der Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Die Kreisbogenlänge b hängt von dem Winkel α ab. Du berechnest ihn mit der Formel:

 \textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}

Der Kreisausschnitt oder Kreissektor As ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitt hängt vom Winkel α ab. Du berechnest ihn mit der Formel

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2.

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Kreisbogen und Kreisausschnitt

Kreisring

Der Kreisring ist die Fläche, die einen Kreis mit großem Radius rg und einen Kreis mit kleinem Radius rk einschließt. Sie haben denselben Mittelpunkt M.

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Kreisring

Kugel

Ein Kreis im dreidimensionalen Raum ist eine Kugel . In unserem Video erfährst du alles Wichtige dazu!

Zum Video: Oberfläche Kugel
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