Geometrie
Kreis
 – Video

In diesem Beitrag erfährst du, was ein Kreisbogen und ein Kreisausschnitt sind und wie du sie berechnen kannst. Schau dir unser Video dazu an! Dort erklären wir dir den Kreisbogen anschaulich. Wenn du dich für den Kreisausschnitt interessierst, findest du dazu ein zweites Video.

Kreisbogen und Kreisausschnitt einfach erklärt

Ein Kreisbogen und ein Kreisausschnitt sind Anteile des Umfangs und der Fläche eines Kreises, die eng zusammenhängen.

Kreis, Winkel, Bogen, Radius, Durchmesser
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Kreisbogen und Kreisausschnitt

Was ist ein Kreisbogen? 

Der Kreisbogen b ist ein Teil der Außenlinie eines Kreises.  Die Kreisbogenlänge b hängt von dem Winkel \textcolor{orange}{\alpha} ab. Den Kreisbogen berechnest du mit der folgenden Formel:

 \textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}

Was ist ein Kreisausschnitt?

Der Kreisausschnitt oder Kreissektor \textcolor{violet}{A_S} ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitts \textcolor{violet}{A_S} hängt vom Winkel \textcolor{orange}{\alpha} ab. Außerdem siehst du, dass der Anteil des Kreisausschnitts am Umfang des Kreises mit dem Kreisbogen identisch ist. Um den Kreisausschnitt zu berechnen, verwendest du die Formel

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2.

Kreisbogen berechnen

Der Kreisbogen b entspricht dem Anteil von \textcolor{orange}{\alpha} am gesamten Kreis, also \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ}. Das multiplizierst du mit dem Umfang U des ganzen Kreises. Du kannst die Formel entweder mit dem Radius r oder dem Durchmesser d ausdrücken.

\textcolor{red}{b} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \underbrace{2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}}_{= U}

 \textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d

Schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an, wie du den Kreisbogen berechnen kannst.

Beispiel

Stell dir vor, du hast einen Kreis mit Radius r = 7cm und dem Winkel 122° gegeben.

Kreis, Winkel, Radius, Kreisbogen
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Gesucht: Kreisbogen b

Du sollst nun den Kreisbogen b berechnen. Wie gehst du vor?

  • 1. Formel aufstellen: Schreib dir die Kreisbogen Formel noch einmal auf.

\textcolor{red}{b} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}

  • 2. Werte einsetzen: Setze die gegebenen Werte in die Kreisbogen Formel ein.

\textcolor{red}{b} = \frac{\textcolor{orange}{122^\circ}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{7\text{cm}}

  • 3. Kreisbogen berechnen: Rechne mit deinem Taschenrechner das Ergebnis aus.

\textcolor{red}{b} = \frac{\textcolor{orange}{122^\circ}}{360^\circ} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{7\text{cm}}

 \textcolor{red}{b \approx 14,9\text{cm}} 

Die Kreisbogenlänge beträgt hier also ungefähr 14,9cm.

Durchmesser mit Kreisbogen berechnen

Nehmen wir an, du hast einen Kreis mit dem Kreisbogen b = 8cm und dem Winkel 68°.

Kreis, Winkel, Durchmesser, Radius
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Gesucht: Durchmesser d

Du hast die Kreisbogenlänge b gegeben und sollst den Durchmesser d finden.  Wie gehst du vor?

  • 1. Formel aufstellen: Als erstes schreibst du die Kreisbogen Formel hin.

 \textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d

  • 2. Gleichung auflösen: Du kennst b und suchst stattdessen d. Löse die Formel also nach d auf.

\textcolor{red}{b} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d \quad | : \pi 

\frac{\textcolor{red}{b}}{\pi} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot d \quad | \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} 

d =  \frac{\textcolor{red}{b}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}

  • 3. Werte einsetzen: Setz die Werte b = 8cm und \textcolor{orange}{\alpha = 68^\circ} ein.

d =  \frac{\textcolor{red}{8\text{cm}}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{68^\circ}}

  • 4. Durchmesser ausrechnen: Rechne das Ergebnis mit deinem Taschenrechner aus.

d =  \frac{\textcolor{red}{8\text{cm}}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{68^\circ}}

d \approx 13,48\text{cm} 

Über den Kreisbogen berechnest du damit den Durchmesser 13,48cm. Jetzt zeigen wir dir noch, wie du einen Kreisausschnitt berechnest.

Kreisausschnitt berechnen 

Schau dir unbedingt unser Video zum Kreisausschnitt an! Dort erfährst du alles Wissenswerte nochmal anschaulich.

Der Anteil des Kreisausschnitts \textcolor{violet}{A_S} an der gesamten Kreisfläche entspricht dem Anteil \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ}. Diesen Anteil multiplizierst du mit dem Flächeninhalt A eines Kreises .

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot\underbrace{ \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2}_{= A}

Lass uns ein Beispiel dazu anschauen.

Beispiel

Stell dir vor, du hast folgenden Kreis mit Radius r = 7,5cm und dem Winkel 217° vorgegeben.

Kreis, Winkel, Bogen, Ausschnitt, Radius
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Gesucht: Kreisausschnitt As

Du sollst nun den Kreisausschnitt \textcolor{violet}{A_S} berechnen. Dazu befolgst du folgende Schritte.

  • 1. Formel aufstellen: Schreib die Kreisausschnitt Formel noch einmal hin.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • 2. Werte einsetzen: Setz die Angaben in die Kreisausschnitt Formel ein.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2

  • 3. Kreisausschnitt berechnen: Löse die Rechnung mit deinem Taschenrechner .

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2

\textcolor{violet}{A_S \approx 106,52\text{cm}^2}

Du siehst, dass der Kreissektor eine Fläche von 106,52\text{cm}^2 hat.

Durchmesser mit Kreisausschnitt berechnen

Diesmal suchst du den Durchmesser des Kreises. 

Kreis, Winkel, Radius, Durchmesser, Kreisausschnitt
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Gesucht: Durchmesser d

Du kennst den Winkel mit 26° und die Fläche vom Kreisausschnitt mit \textcolor{violet}{80\text{cm}^2}.

  • 1. Formel aufstellen: Zuerst schreibst du die Kreisausschnitt Formel auf.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • 2. Gleichung auflösen: Du brauchst den Radius. Also musst du die Formel nach r auflösen.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | : \pi

\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}

\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} = \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \sqrt{}

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}

  • 3. Werte einsetzen: Setze \textcolor{violet}{A_S = 80\text{cm}^2}  und \textcolor{orange}{\alpha = 26^\circ} ein.

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}

  • 4. Durchmesser ausrechnen: Du rechnest das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}

\textcolor{blue}{r \approx 18,78\text{cm}} 

d = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \approx 37,56\text{cm}

Der Radius beträgt ungefähr 18,78cm und der Durchmesser doppelt so viel, also circa 37,56cm.

Gradmaß und Bogenmaß

Mit der Kreisbogen Formel kannst du auch die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß durchführen. Um den vollen Durchblick zu dem Thema zu bekommen, musst du dir unser Video dazu anschauen! 

Zum Video: Gradmaß und Bogenmaß
Zum Video: Gradmaß und Bogenmaß

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