Geometrie
Prisma und Zylinder
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Du möchtest alles über Prismen wissen? Hier%und in unserem Video erfährst du alles zu den Eigenschaften eines Prismas!

Das Wichtigste über Prismen

Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper und besteht aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einer Mantelfläche. Die Grundfläche und die Deckfläche liegen parallel zueinander und haben dieselbe Form. Welche Form das ist, kann bei jedem Prisma unterschiedlich sein. Sie muss aber mindestens drei Ecken haben. Klassisch ist zum Beispiel ein Dreieck („dreieckiges Prisma“) oder ein Sechseck („sechseckiges Prisma“).%Liebe Animation, könntet ihr hier ein farbiges Bild von einem Prisma einfügen? Im Grunde so wie in der Mitte, also die Flächen auch farbig, aber viel heller, also so durchscheinend, sodass man auch die farbigen Kanten noch deutlich erkennen kann (daher hab ich das links noch dazu gezeichnet). Es soll am Ende aber nur 1 Prisma stehend und eines liegend hier abbgebildet sein, keine 3 Stück.</span> <img class="alignnone size-medium wp-image-413478" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prisma-EE-mit-liegend-300x169.png" alt="" width="300" height="169" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, PrismaBeschriftung: Dreieckiges Prisma -- stehend und liegend%Sollen die Begriffe von oben nicht dazugeschrieben werden?%Welche? Grund- , Deck- und Mantelfläche? Ich denke das ist anhand der Farben klar, oder nicht?

Prisma berechnen — Wichtige Formeln
  • Volumen : VPrisma = AGrundfläche · hPrisma
  • Oberflächeninhalt : OPrisma = AGrundfläche+ ADeckfläche + AMantelfläche
  • Mantelfläche: AMantelfläche = UGrundfläche · hPrisma

Schon gewusst? Prismen begegnen dir nicht nur in Mathe, sondern auch als Gegenstände im Alltag. Das Dach der meisten Häuser ist zum Beispiel ein liegendes dreieckiges Prisma. Eine besonders wichtige Rolle spielen Prismen bei der Lichtbrechung in der Physik.%Liebe Animation: könntet ihr etwa so ein Bild einfügen zur Lichtbrechung mit Prismen in der Physik? Das hier ist von einer anderen Webseite, wahrscheinlich kann man das daher dann nicht einfach übernehmen. Wichtig ist, dass man die Prismen Form darauf gut erkennt (oft ist es oder sieht es aus wie eine Pyramide, oder man hat nur die Draufsicht, wo man nur ein Dreieck sieht, beides wäre hier nicht so passend... </span><img class="alignnone size-medium wp-image-410620" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prisma-Lichtbrechung-300x216.jpg" alt="" width="300" height="216" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, Prisma Lichtbrechung, Prisma PhysikBeschriftung: Lichtbrechung mit Prisma

Super, jetzt hast du schon mal eine grobe Vorstellung von Prismen. Aber woran genau kannst du jetzt ein Prisma in der Geometrie erkennen?

Prisma erkennen

Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Andere dreidimensionale Körper, die du vielleicht schon kennst, sind zum Beispiel die Kugel , der Zylinder oder der Quader . Allerdings bezeichnest du mit „Prismen“ in der Geometrie nicht nur einen ganz speziellen Körper, sondern gleich eine ganze Gruppe.%Liebe Animation, hier ein 3,5 und 6 eckiges Prisma mit der jeweiligen Farbgebung, gerne wieder die Flächen wie oben in der jeweiligen Farbe leicht schattiert.</span><img class="alignnone size-medium wp-image-413481" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-356-Eck-mit-liegend-300x169.png" alt="" width="300" height="169" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, unterschiedliche Prismen, dreieckiges Prisma, fünfeckiges Prisma, sechseckiges PrismaBeschriftung: Drei-, Fünf- und Sechseckiges Prisma

Die Grundfläche kann nämlich unterschiedlich viele Ecken haben. Am bekanntesten ist das dreieckige Prisma. Aber auch Prismen mit anderen Vielecken als Grundfläche, wie das fünf- oder sechseckige Prisma, zählst du zu dieser Gruppe von Körpern. Sie alle haben die folgenden Eigenschaften gemeinsam: 

Grundfläche und Deckfläche

  • sind deckungsgleich („kongruent“ )
  • liegen parallel zueinander
  • werden durch gleichlange, parallele Kanten verbunden

Die Mantelfläche besteht immer aus mehreren Rechtecken — egal welche Form die Grundfläche hat.

Übrigens: Quader und Würfel kannst du auch als eine besondere Art von Prismen betrachten. Sie haben als Grundfläche ein Viereck

Schau dir nun einmal die einzelnen Bestandteile eines Prismas genauer an!

Grund- und Deckfläche Prisma

Du weißt schon, dass die Grund– und Deckfläche eine identische Form haben. Daher kannst du sie auch nicht genau unterscheiden. Je nachdem, wie du das Prisma drehst, ist mal das eine und mal das andere die Grundfläche

Da die Grundfläche unterschiedlich viele Ecken haben kann, gibt es auch keine spezielle Formel für die Berechnung der Grundfläche eines Prismas. Du verwendest einfach die Formel für den Flächeninhalt des jeweiligen Vielecks, aus dem die Grundfläche deines Prismas besteht. Bei einem Dreieck wäre das also zum Beispiel:

AGrundfläche = ½ · gDreieck · hDreieck%h ist doch rot?%Das ist eine andere Höhe hier, siehe Achtung: Es gibt einmal die Höhe des Dreiecks in der Grundfläche und einmal die Höhe des Prismas, aber gut, dass du das sagst, hab das Achtung dann schon hier hin gepackt, damit diese Verwechslungsgefahr hier schon aufgeklärt wird

%@Animation: auch hier gerne Flächen leicht schattiert, Größen in der passenden Farbe einzeichen.</span> <img class="alignnone size-medium wp-image-410235" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-Grundfläche-Dreieck-300x169.png" alt="" width="300" height="169" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, dreieckiges Prisma, Grundfläche Prisma berechnenBeschriftung: Dreieckiges Prisma -- Grundfläche berechnenAchtung! Verwechslungsgefahr: hPrismahDreieck

Mantelfläche Prisma

Um die Mantelfläche von Prismen (AMantelfläche ) zu berechnen, nimmst du den Umfang der Grundfläche (UGrundfläche ) mal die Höhe des Prismas (hPrisma) :

AMantelfläche = UGrundfläche · hPrisma

Was der Umfang der Grundfläche ist, hängt natürlich von dem konkreten Prisma ab, das du betrachtest. Du zählst dafür aber einfach die Länge von allen Kanten der Grundfläche zusammen. 

Als Höhe des Prismas verwendest du die Länge einer Kante, die die Grund– mit der Deckfläche verbindet.

Schau dir als Beispiel mal das fünfeckige Prisma im Bild an.%@Animation: auch hier schattieren und passende Farben</span><img class="alignnone size-medium wp-image-410272" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-Mantelfläche-berechnen-240x300.png" alt="" width="240" height="300" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, sechseckiges PrismaBeschriftung: Sechseckiges Prisma -- Mantelfläche berechnen

Hier hat jede der fünf Kanten der Grundfläche eine Länge von 3 cm.  Der Umfang der Grundfläche beträgt damit: 

UGrundfläche = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 5 · 3 cm = 15 cm

Die Höhe kannst du direkt ablesen: hPrisma = 10 cm.

Damit kannst du nun den Flächeninhalt der Mantelfläche des Prismas berechnen: 

AMantelfläche =  UGrundfläche · hPrisma = 15 cm  · 10 cm = 150 cm2

Super! Jetzt bist du bestens vorbereitet, um das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Prismas zu berechnen! 

Volumen von Prismen berechnen

Wenn du das Volumen (VPrisma) von einem Prisma wissen willst, musst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche (AGrundfläche ) berechnen. Den Wert multiplizierst du dann mit der Höhe des Prismas (hPrisma). Merke dir dazu die folgende Formel:

VPrisma = AGrundfläche · hPrisma

Am Besten probierst du die Formel direkt an einem Beispiel aus: 

%@Animation: wie davor. 5, 3 und 2 cm steht da jeweils (meine Schrift ist nicht so leserlich, sorry!) </span><img class="alignnone size-medium wp-image-413486" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-Volumen-berechnen-liegend-300x169.png" alt="" width="300" height="169" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, dreieckiges PrismaBeschriftung: Dreieckiges Prisma -- Volumen berechnen

Als Grundfläche hast du hier ein Dreieck, also 

AGrundfläche = ½ · gDreieck · hDreieck = ½ · 3 cm · 2 cm = 3 cm2%mittig?%done

Die Höhe des Prismas hPrisma beträgt 5 cm.

Beachte: Die Höhe ist immer die Länge einer Kante, die Grund– und Deckfläche verbindet. Bei einem liegenden Prisma ist die Höhe also eher so etwas wie die Länge des Prismas!

Wenn du diese beiden Werte nun in die Formel einsetzt, bekommst du das Volumen des dreieckigen Prismas: 

VPrisma = AGrundfläche · hPrisma = 3 cm2 · 5 cm = 15 cm3

Oberflächeninhalt von Prismen berechnen

Die Oberfläche eines Prismas (OPrisma) besteht aus drei Teilen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche. Um den Oberflächeninhalt von Prismen zu berechnen, musst du also zuerst den Flächeninhalt dieser drei Teile bestimmen. Anschließend zählst du die Werte dann zusammen

OPrisma = AGrundfläche+ ADeckfläche + AMantelfläche      %mittig%done

Weil die Grundfläche und die Deckfläche deckungsgleich sind, haben sie natürlich auch den selben Flächeninhalt. Deshalb gilt:

AGrundfläche+ ADeckfläche = 2 · AGrundfläche

So bekommst du als Formel für den Oberflächeninhalt eines Prismas: 

OPrisma = 2 · AGrundfläche + AMantelfläche

Schau dir mal am Beispiel eines fünfeckigen Prismas an, wie du die Oberflächenformel anwendest: 

%@Animation: hier beziehen sich die Zahlen auf die Fläche, daher vielleicht in schwarz schreiben und mit der helleren Farbe (helleres blau bzw. orange) in dem die jeweilige Fläche schattiert ist hinterlegen. </span> <img class="alignnone size-medium wp-image-410518" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-Oberfläche-berechnen-202x300.png" alt="" width="202" height="300" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, sechseckiges PrismaBeschriftung: Sechseckiges Prisma -- Oberfläche berechnen

Die Grundfläche hat hier eine Größe von 15 cm und  die Mantelfläche beträgt 150 cm2 .

Einsetzen liefert:

OPrisma = 2 · AGrundfläche + AMantelfläche = 2 · 15 cm2 + 150 cm2 = 180 cm2

Das ergibt also einen Oberflächeninhalt von 180 cm2.

Expertenwissen: Du kannst ein Prisma auch durch Parallelverschiebung eines beliebigen Vielecks erhalten. Dazu verschiebst du die Ecken der Grundfläche entlang paralleler Geraden nach oben. Damit bekommst du die zur Grundfläche identische Deckfläche. Zusammen mit den Verschiebungslinien ergibt das ein Prisma. %@ Animation: die orangenen Pfeile nach oben sollen gestrichelt sein ;)</span><img class="alignnone size-medium wp-image-410615" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Prismen-durch-Parallelverschiebung-163x300.png" alt="" width="163" height="300" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, Prisma durch ParallelverschiebungBeschriftung: Prisma durch Parallelverschiebung

Schiefe Prismen

Was du bisher kennengelernt hast, bezeichnest du auch als gerade Prismen. Daneben gibt es in der Geometrie auch die schiefen Prismen. Dabei stehen die Kanten nicht senkrecht auf der Grundfläche, sondern schräg. Auch bei der Höhe musst du hier aufpassen, sie liegt dann nämlich außerhalb des Prismas. 

%@Animation: hier schiefes Prisma (siehe auch hier: <img src="https://assets.serlo.org/legacy/57b4da331d795_1ac8b3f35dfad32e2befc33ef26d8beadc2c5ca0.png" /></span> <img class="alignnone size-medium wp-image-410591" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/schiefes-Prisma-300x169.png" alt="" width="300" height="169" /><span style="color: #ff00ff;">Alttext: Prismen berechnen, Prisma Mathe, Grundfläche Prisma, Was ist ein Prisma, Prisma berechnen, Prismen Körper, Welche Körper sind prismen, prisma erkennen, alle prismen, prisma grundfläche berechnen, Was sind prismen, Prisma Beispiele, Prisma Geometrie, Prisma Gegenstände im Alltag, Prisma, schiefes Prisma Beschriftung: schiefes Prisma

Geometrische Körper

Spitze! Wenn in Mathe ein Prisma vorkommt, ist das nun kein Problem mehr für dich! Du kannst Prismen erkennen und alle wichtigen Größen eines Prismas berechnen. Aber wie sieht es mit anderen geometrischen Körpern aus? Schau dir doch direkt unser Video  dazu an, dass du dich auch damit bestens auskennst!

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