Geometrie

Lotfußpunktverfahren

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du mit den Lotfußpunktverfahren den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen kannst und rechnen gemeinsam ausführliche Beispiele durch. 

In unserem Erklärvideo findest du eine unkomplizierte und anschauliche Erläuterung der Lotfußpunktverfahren .

Inhaltsübersicht

Lotfußpunktverfahren einfach erklärt

Lotfußpunktverfahren sind ein beliebtes Mittel, um den Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen zu berechnen. Der große Vorteil dieser Verfahren ist, dass sie neben dem Abstand auch noch die Koordinaten der Endpunkte (Lotfußpunkte) der Abstandsstrecke liefern. Der Abstand zwischen zwei geometrischen Formen ist dabei:

Lotfußpunktverfahren gibt es in zwei Varianten: Entweder verwendet man eine Hilfsebene oder einen allgemeinen, oder „laufenden“, Punkt.

Abstandsrechnung mit dem Lotfußpunktverfahren

Für die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden stellen wir dir sowohl die Variante mit der Hilfsebene als auch die mit dem laufenden Punkt vor. Außerdem rechnen wir ein Beispiel für beide Varianten ausführlich durch.

Wenn du die Koordinaten des Lotfußpunktes nicht benötigst, erhältst du den Abstand auch schneller durch eine einfache Lösungsformel. In unserem Beitrag Abstand Punkt Gerade erklären wir dir genau, wie du dabei vorgehen musst. 

Wenn du dich stattdessen für die Abstandsberechnung anderer geometrischer Formen und Lagen  mit dem Lotfußpunktverfahren interessierst, dann schau dir unsere genau passenden Beiträge an:

Lotfußpunktverfahren mit einer Hilfsebene

Um mittels des Lotfußpunktverfahrens mit einer Hilfsebene den Abstand zu berechnen, stellst du zunächst die Gleichung einer Hilfsebene auf. Diese Ebene soll senkrecht auf der Geraden stehen und durch den außerhalb liegenden Punkt verlaufen. Anschließend bestimmst du den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Hilfsebene. Der Durchstoßpunkt ist dabei derselbe Punkt, der sich beim Fällen des Lotes ergibt.

Lösungsweg mit einer Hilfesebene
  1. Stelle die Hilfsebene H auf, die den Punkt P enthält und senkrecht auf der Geraden g steht
  2. Bestimme den Schnittpunkt S der Geraden g und der Ebene H
  3. Berechne den Abstand des Punktes zur Geraden: d = \vert \vec{PS} \vert
Abstand Punkt Gerade, Hilfsebene, Lotfußpunktverfahren
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Abstand Punkt Gerade mit Hilfsebene

Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt

Beim Lotfußpunktverfahren mit einem laufenden Punkt nutzt du die Tatsache, dass der Weg von der Geraden zum außerhalb liegenden Punkt dann am kürzesten ist, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf der Geraden steht. Der Vektor \vec{PA} muss daher orthogonal auf dem Richtungsvektor \vec{u} der Geraden stehen. Ein wichtiger Punkt dabei ist, dass orthogonal zueinander stehende Vektoren immer ein Skalarprodukt von Null haben. Über diese Bedingung kann der Lotfußpunkt auf der Geraden berechnet werden.

Lösungsweg mit laufendem Punkt
  1. Stelle den allgemeinen Verbindungsvektor \vec{PS} zwischen dem „laufenden“ Punkt auf der Geraden S und dem Punkt P auf
  2. Bestimme den Lotfußpunkt S aus der Bedingung \vec{PS} \cdot \vec{u} = 0
  3. Berechne den Abstand des Punktes zur Geraden: d = \vert \vec{PS} \vert
Abstand Punkt Gerade, laufender Punkt, Lotfußpunktverfahren, Lotverfahren
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Abstand Punkt Gerade mit laufendem Punkt

Lotfußpunktverfahren Beispiele

Gegeben ist die Gerade g in Parameterform und der Punkt P = (1 \vert 3 \vert 3).

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right)

Wir suchen den minimalen Abstand d zwischen Punkt P und Gerade g.

Lösungsweg 1: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene

Schritt 1: Hilfsebene aufstellen

Die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden g geben die Koeffizienten der Ebenengleichung vor, da die Hilfsebene H senkrecht auf g stehen soll.

H: -2x + y + 3z = r

Da die Hilfsebene zusätzlich den Punkt P enthalten soll, muss die Gleichung P erfüllen. Wir setzen also die Koordinaten in die Ebenengleichung ein und können dadurch die rechte Seite r festlegen:

-2 \cdot  1 + 3 + 3 \cdot 3 = 10

Die Hilfsebene ist damit folgendermaßen definiert:

H = -2x + y + 3z = 10

Schritt 2: Schnittpunkt aus Hilfsebene und Gerade berechnen

In diesem Schritt setzt man die Koordinaten von g in H ein.

-2 \cdot (3 - 2\lambda) -2 + \lambda + 3 \cdot (-2 + 3\lambda) = 10
-6 + 4\lambda -2 + \lambda -6 + 9\lambda = 10
14 \lambda = 24
\lambda = \frac{12}{7}

Setzt man dieses \lambda jetzt in g ein, folgt daraus der Schnittpunkt S.

\lambda in g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) + \frac{12}{7} \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -\frac{3}{7} \\\ -\frac{2}{7} \\\ \frac{22}{7} \\\ \end{array}\right)

Der Durchstoßpunkt S liegt somit bei (-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}).

Schritt 3: Verbindungsvektor \vec{SP} bestimmen und Länge berechnen

Um die Länge der Strecke von S (-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}) nach P (1\vert 3 \vert 3) zu bestimmen, müssen wir zunächst den Verbindungsvektor \vec{SP} des Durchstoßpunktes S und des Punktes P berechnen.

\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \left( \begin{array}{c} -\frac{3}{7} \\\ -\frac{2}{7} \\\ \frac{22}{7} \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -\frac{10}{7} \\\ -\frac{23}{7} \\\ \frac{1}{7} \\\ \end{array}\right)

Jetzt können wir über den Betrag des Verbindungsvektors den Abstand d von Punkt und Gerade ausrechnen.

d = \vert \vec{SP} \vert = \sqrt{(-\frac{10}{7})^2 + (-\frac{23}{7})^2 + (\frac{1}{7})^2} = \frac{3\sqrt{70}}{7} \approx 3,59

Lösungsweg 2: Lotpunktverfahren mit laufendem Punkt

Schritt 1: Laufenden Punkt und Verbindungsvektor \vec{PS} bestimmen

Den laufenden Punkt entnehmen wir der Geradengleichung. Die Zeilen der Gleichung enstprechen dabei den Koordinaten.

S = (3 - 2\lambda \ \vert -2 + \lambda \ \vert -2 + 3 \lambda)

Der allgemeine Verbindungsvektor ergibt sich, indem wir die Punktvektoren \vec{p} und \vec{s} voneinander abziehen.

\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \left( \begin{array}{c} 3 - 2\lambda \\\ -2 + \lambda \\\ -2 + 3 \lambda \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 - 2\lambda \\\ -5 + \lambda \\\ -5 + 3\lambda \\\ \end{array}\right)

Schritt 2: \lambda und damit den Lotfußpunkt aus der Orthogonalitätsbeziehung (\vec{PS} \cdot \vec{u} = 0) des Verbindungsvektors und des Richtungsvektors ableiten

\left( \begin{array}{c} 2 - 2\lambda \\\ -5 + \lambda \\\ -5 + 3\lambda \\\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = 0

(2 - 2\lambda) \cdot (-2) + (-5 + \lambda) \cdot 1 + (-5 + 3\lambda) \cdot 3 = 0
-4 +4 \lambda - 5 + \lambda - 15 + 9\lambda = 0
14\lambda = 24
\lambda = \frac{12}{7}

Setzten wir \lambda = \frac{12}{7} in den laufenden Punkt S, so ergibt sich der Lotfußpunkt S =(-\frac{3}{7} \vert -\frac{2}{7} \vert \frac{22}{7}).

Schritt 3: Verbindungsvektor \vec{SP} bestimmen und Länge berechnen

Durch Abziehen ihrer Vektoren erhalten wir den Verbindungsvektor zwischen dem Lotfußpunkt S auf der Geraden und dem Punkt P.

\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \left( \begin{array}{c} -\frac{3}{7} \\\ -\frac{2}{7} \\\ \frac{22}{7} \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -\frac{10}{7} \\\ -\frac{23}{7} \\\ \frac{1}{7} \\\ \end{array}\right)

Der Abstand d ist hier wiederum gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \vec{SP}.

d = \vert \vec{SP} \vert = \sqrt{(-\frac{10}{7})^2 + (-\frac{23}{7})^2 + (\frac{1}{7})^2} = \frac{3\sqrt{70}}{7} \approx 3,59

Abstandsrechnungen in der Geometrie

Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:

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