Geometrie
Geometrische Körper
 – Video

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie ein Kegelstumpf aussieht und erklären dir, wie du sein Volumen und seine Oberfläche berechnen kannst. Schau dir auch einfach unser Video dazu an, wenn es dir für heute mit dem Lesen reicht!

Kegelstumpf einfach erklärt

Ein Kegelstumpf oder Konus ist ein Körper, der eng mit dem Kegel verwandt ist. Du kannst ihn dir als einen normalen Kegel vorstellen, dessen Spitze abgeschnitten wurde. 

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Kegel und Kegelstumpf

Im Gegensatz zum Kegel hat er also nicht nur eine Grundfläche, sondern auch eine Deckfläche. Das ist die Stelle, an der seine Spitze  abgeschnitten wurde.  Die Fläche, die zwischen Grundfläche und Deckfläche liegt, nennst du Mantelfläche. Als Beispiel für einen Konus aus der echten Welt kannst du dir einen Eimer vorstellen.

Kegelstumpf berechnen

Wie bei allen Körpern gibt es zwei wichtige Maße, die du beim Konus berechnen kannst. Das sind das Volumen und die Oberfläche. Dazu schaust du dir die Einheiten an, die du hier siehst. 

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Stumpfmaße
  • die Höhe h
  • der Radius der Grundfläche \textcolor{blue}{r_1}
  • der Radius der Deckfläche \textcolor{teal}{r_2}
  • die Seitenhöhe m 

Mit ihnen kannst du zum Beispiel für einen Kegelstumpf Abwicklung und Volumen ermitteln. Das hier sind die wichtigsten Kegelstumpf Formeln:

Flächeninhalt Grundfläche A_G = (\textcolor{blue}{r_1})^2 \cdot \pi
Flächeninhalt Deckfläche A_D =(\textcolor{teal}{r_2})^2\cdot \pi
Kegelstumpf Mantelfläche A_M = (\textcolor{blue}{r_1} + \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \pi \cdot \textbf{m}
Oberfläche O = A_G +A_D + A_M = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + (\textcolor{blue}{r_1}+ \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \textbf{m}]
Volumen Kegelstumpf V = \frac{\textcolor{red}{h} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]

Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie du das Volumen berechnen kannst.

Volumen Kegelstumpf

Stell dir dazu vor, du hast einen Stumpf mit \textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}} und \textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}} sowie der Seitenhöhe \textbf{m} = 8,25\text{cm}.

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Gesucht: Volumen Kegelstumpf

 Du sollst das Volumen vom Kegelstumpf berechnen. Wie gehst du dazu vor? 

1. Formel für Volumen Kegelstumpf aufstellen: Schreib dir am besten zuerst die Formel auf, mit der du das Volumen berechnen kannst. 

V = \frac{\textcolor{red}{h}\ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]

V = \frac{\textcolor{red}{\textbf{?}} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + \textcolor{blue}{6 \text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{4 \text{cm}}]

2. Höhe finden: Wenn du dir den Stumpf nochmal anschaust, stellst du fest, dass die Höhenicht angegeben ist. Es gibt aber eine Möglichkeit, die Höhe herauszufinden. Dazu verwendest du den Satz des Pythagoras . Das geht, da die Seitenhöhe \textbf{m}, die Höhe und der Streckenabschnitt \textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2} ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

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Gesucht: Höhe im Kegelstumpf

Der Satz des Pythagoras lautet hier: 

\textbf{m}^2 = \textcolor{red}{h}^2 + (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2

Das löst du nach \textcolor{red}{h}^2 auf, indem du (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2 abziehst.

\textcolor{red}{h}^2 = \textbf{m}^2 - (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2

Um nur zu bekommen, ziehst du jetzt noch die Wurzel.

\textcolor{red}{h} = \sqrt{\textbf{m}^2 - (\textcolor{blue}{r_1} - \textcolor{teal}{r_2})^2}

3. Höhe berechnen: Du hast den Satz vom Pythagoras nach h aufgelöst. In die Formel für die Höhe setzt du jetzt \textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}, \textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}} und \textbf{m} = 8,25cm ein.

\textcolor{red}{h} = \sqrt{(8,25\text{cm})^2 - (\textcolor{blue}{6\text{cm}} - \textcolor{teal}{4\text{cm}})^2}

\textcolor{red}{h} \approx \textcolor{red}{8\text{cm}}

4. Volumen Kegelstumpf berechnen: Die fehlende Höhe h hast du also gefunden. Jetzt setzt du den gerade berechneten Wert \textcolor{red}{h = 8\text{cm}} und die beiden Radien \textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}} und \textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}} in die Formel für das Volumen ein. 

V = \frac{\textcolor{red}{h} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + \textcolor{blue}{r_1} \cdot \textcolor{teal}{r_2}]

V = \frac{\textcolor{red}{8\text{cm}} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + \textcolor{blue}{6\text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{4\text{cm}}]

Das berechnest du einfach mit deinem Taschenrechner.

V = \frac{\textcolor{red}{8\text{cm}} \ \cdot \ \pi}{3} \cdot [ (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + \textcolor{blue}{6\text{cm}} \cdot \textcolor{teal}{4\text{cm}}] = 636,7\text{cm}^3

Der Kegelstumpf hat also ein Volumen von 636,7\text{cm}^3. Super! Machen wir weiter mit seiner Oberfläche.

Kegelstumpf Mantelfläche und Oberfläche

Jetzt nimm an, du sollst die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnen. Sie besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Abwicklung bzw. Mantelfläche. Die gesamte Oberfläche kannst du dir mit der rechten Grafik vielleicht noch besser vorstellen. 

Abwicklung Kegelstumpf, Kegelstumpf, Kegelstumpf Mantelfläche
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Oberfläche und Abwicklung Kegelstumpf
  • 1. Grundfläche berechnen: Berechne als erstes die Grundfläche. Das ist nichts anderes als ein Kreis mit dem Radius \textcolor{blue}{r_1 = 6\text{cm}}.

 A_G = (\textcolor{blue}{r_1})^2 \cdot \pi  = (\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 \cdot \pi \approx 113,1\text{cm}^2

  • 2. Deckfläche berechnen: Die Deckfläche ist ein Kreis mit dem Radius \textcolor{teal}{r_2 = 4\text{cm}}.

A_D =(\textcolor{teal}{r_2})^2\cdot \pi = (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 \cdot \pi \approx 50,3\text{cm}^2

  • 3. Mantelfläche berechnen: Setze die gegeben Werte in die Formel für die Mantelfläche ein.

 A_M = (\textcolor{blue}{r_1} + \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \pi \cdot \textbf{m} = (\textcolor{blue}{6\text{cm}} + \textcolor{teal}{4\text{cm}}) \cdot \pi \cdot 8,25\text{cm} \approx 259,2\text{cm}^2

  • 4. Oberfläche berechnen: Um die ganze Oberfläche zu berechnen, addierst du ihre drei Bestandteile Grund-, Deck- und Mantelfläche.

O = A_G +A_D + A_M = 113,1\text{cm}^2 + 50,3\text{cm}^2 + 259,2\text{cm}^2 = 422,6 \text{cm}^2

Das gleiche würdest du herausbekommen, wenn du die Werte in die Formel für die gesamte Oberfläche einsetzt.

O = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{r_1})^2 + (\textcolor{teal}{r_2})^2 + (\textcolor{blue}{r_1}+ \textcolor{teal}{r_2}) \cdot \textbf{m}]

O = \pi \cdot [(\textcolor{blue}{6\text{cm}})^2 + (\textcolor{teal}{4\text{cm}})^2 + (\textcolor{blue}{6\text{cm}} +\textcolor{teal}{4\text{cm}}) \cdot 8,25\text{cm}] = 422,6 \text{cm}^2

Der Kegelstumpf hat also eine Gesamtoberfläche von 422,6 \text{cm}^2. Sehr gut!

Volumen Kegel

Jetzt weißt du also, wie du für einen Kegelstumpf Volumen und Abwicklung berechnen kannst. Da liegt es natürlich auch nahe, dass du das Gleiche für andere geometrische Körper können musst. Schau dir jetzt unbedingt noch unser Video zum Thema Volumen eines Prismas an, damit du mit einem Prisma genauso gut umgehen kannst wie mit einem Kegelstumpf! 

Zum Video: Volumen Prisma, Kegelstumpf
Zum Video: Volumen Prisma

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