Geometrie
Geometrische Körper
 – Video

Hier erklären wir dir, wie du die Oberfläche eines Quaders und die Würfel Oberfläche berechnen kannst. In unserem Video zeigen wir dir die Berechnung mit vielen Beispielen. Schau es dir gleich an! 

Wie berechnet man die Oberfläche eines Quaders oder Würfels?

Die Oberfläche vom Quader setzt sich aus den verschiedenen Flächen zusammen. Du berechnest für jedes der Rechtecke den Flächeninhalt und addierst die Ergebnisse zum Oberflächeninhalt vom Quader. 

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Oberfläche eines Quaders

Natürlich gibt es auch für die Oberfläche von einem Quader eine Formel

O_{\text{Quader}} = 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + 2 \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c} + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c}

Eigentlich ist der Würfel ein Spezialfall vom Quader. Die Seiten beim Würfel sind nämlich alle gleich lang (a = b = c). Deshalb kannst du in der Quader Formel für b ein a einsetzen und für c ebenfalls ein a schreiben. 

O_{\text{Würfel}} = 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a} + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a} + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

= 6 \cdot \textcolor{blue}{a}^2

Das ist die Formel für die Oberfläche eines Würfels. Schauen wir uns die Oberfläche vom Würfel und die Quader Oberfläche mal genauer an.

Oberfläche Würfel berechnen

Eigentlich ist ein Würfel nur ein Quader, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Du brauchst dafür nur die Seitenlänge a

O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot \textcolor{blue}{a}^2

Du kannst die Oberfläche beim Würfel berechnen, indem du die Formel anwendest.

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Würfel mit Netz

Wenn du die Würfel Oberfläche aufschneidest und flach ausbreitest, dann bekommst du das sogenannte Netz des Würfels. Hier erkennst du, dass die Grundlage für die Oberfläche ein Quadrat ist. Genauer gesagt besteht der Würfel aus sechs Quadraten, aus denen du die Oberfläche vom Würfel berechnen kannst.

Beispiel

Du sollst die Fläche von einem Würfel mit Seitenlänge \textcolor{blue}{a=5\text{cm}} berechnen. Das geht in wenigen Schritten. 

  • Formel aufstellen:

O = 6 \cdot \textcolor{blue}{a}^2

  • Angaben einsetzen:

O = 6 \cdot (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2

  • Ergebnis berechnen:

O = 6 \cdot 25\text{cm}^2 = 150\text{cm}^2

Mit den Schritten kannst du bei jedem Würfel den Oberflächeninhalt berechnen. 

Oberfläche Quader berechnen

Ganz ähnlich funktioniert das, wenn der Oberflächeninhalt eines Quaders gesucht ist. Du kannst für die Oberfläche vom Quader die Formel benutzen, die du bereits kennen gelernt hast. 

O_{\text{Quader}} = 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + 2 \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c} + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c} 

Für die Oberflächenberechnung beim Quader müssen die drei Seitenlängen a, b und c gegeben sein. Nur so kannst du den Oberflächeninhalt vom Quader bestimmen. 

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Quader mit Netz

Auch die Quader Oberfläche kannst du als Netz darstellen. So erkennst du gut die einzelnen Flächen, die zusammen den Oberflächeninhalt eines Quaders ergeben. Die Oberfläche eines Quaders ergibt sich aus dem Flächeninhalt der Quader Flächen. 

Beispiel

Der Quader in unserem Beispiel hat eine Länge von \textcolor{blue}{a=8\text{cm}} und eine Breite von \textcolor{red}{b=3\text{cm}}. Außerdem ist er \textcolor{orange}{c=5\text{cm}} hoch. Du kannst mit der Formel bei dem Quader den Oberflächeninhalt bestimmen.

  • Formel aufstellen:

O = 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + 2 \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c} + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c}

  • Angaben einsetzen:

O = 2 \cdot \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{3\text{cm}} + 2 \cdot \textcolor{red}{3\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{5\text{cm}} + 2 \cdot \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{5\text{cm}}

  • Ergebnis berechnen:

O = 2 \cdot 24\text{cm}^2 + 2 \cdot 15\text{cm}^2 + 2 \cdot 40\text{cm}^2 = 48\text{cm}^2 + 30\text{cm}^2 + 80\text{cm}^2 = 158\text{cm}^2

Die Oberfläche vom Quader beträgt in unserem Beispiel also 158cm². Mit den Schritten und der Formel kannst du natürlich jede Quader Oberfläche bestimmen.

Volumen Quader und Würfel

Neben dem Oberflächeninhalt vom Quader und Würfel spielt das Volumen eine große Rolle. Damit du deine nächste Prüfung auch wirklich bestehst, schau dir gleich unser Video dazu an! 

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Zum Video: Volumen Quader und Würfel

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