Geometrie
Prisma und Zylinder
 – Video

Du willst wissen, was ein Zylinder ist und wie du die Zylinder Oberfläche berechnen kannst? Hier und in unserem Video erfährst du es!

Oberfläche Zylinder einfach erklärt

Der Zylinder gehört zu den geometrischen Körpern und sieht aus wie ein Rohr oder eine Konservendose. Er besteht aus zwei parallel gegenüberliegenden Kreisflächen und einer Mantelfläche.

 

Die Mantelfläche sieht aus wie ein Rechteck. Sie steht senkrecht (orthogonal), also im 90°-Winkel auf der kreisförmigen Grund – und Deckfläche.

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Zylinder Netz

Die Oberfläche des Zylinders besteht aus allen Flächen, die du berühren kannst. Die Zylinder Oberfläche berechnest du also, indem du die beiden Grundflächen mit der Mantelfläche addierst: O = 2 · Grundfläche + Mantelfläche, oder kurz:

O = 2 · G + M

Diese Zylinder Oberfläche kannst du nur berechnen, wenn du den Radius der Grundfläche und die Höhe gegeben hast.

Schreibst du die Formel O = 2 · G + M ausführlich, rechnest du

O = (2 · π · r2) + (2 · π · r · h) = 2 · π · r · (r + h)

Wieso genau das so ist, zeigen wir dir in unseren Beispielen.

Zylinder Oberfläche berechnen

Wenn du die Oberfläche vom Zylinder berechnen willst, brauchst du die Grundfläche, die Deckfläche und die Mantelfläche . Die blaue Grund- und Deckfläche haben die Form eines Kreises und die rote Mantelfläche sieht aus wie ein Rechteck. 

Beispiel 1

Du sollst die Oberfläche von einem Zylinder mit Radius r = 3 cm und Höhe h = 6 cm berechnen. Das geht in wenigen Schritten.

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Oberfläche Zylinder: Beispiel 2

Die Zylinder Oberflächen Formel ist O = 2 · G + M. Als Erstes berechnest du also die Grundfläche G:

  • Grundfläche berechnen: Die Grundfläche G ist ein Kreis. Für die Fläche eines Kreises brauchst du die Formel G = π · r2.

G = π · r2

G = π · (3 cm)2 ≈ 28,27 cm2

Als Nächstes brauchst du die Mantelfläche M. Dazu verwendest du die Formel für die Mantelfläche M = 2 · π · r · h.

  • Mantelfläche berechnen: 

M = 2 · π · r · h

M = 2 · π · 3 cm · 6 cm ≈ 113,10 cm2

Zum Schluss kannst du die Mantelfläche mit den Grundflächen zusammenrechnen, um die Oberfläche des Zylinders herauszufinden. 

  • Fläche Zylinder zusammensetzen: 

O = 2 · G + M

O = 2 · 28,27 cm2+ 113,10 cm2 = 169,64 cm2.

Damit ist die Zylinderoberfläche 169,64 cm2 groß.

Beispiel 2

Berechne die Zylinder Oberfläche mit der ausführlichen Formel. Dafür ist ein Zylinder mit Radius r = 40 mm und Höhe h = 2 cm gegeben. 

  • Einheiten umrechnen: Zu Beginn musst du beide Einheiten in dieselbe umrechnen. Wie das geht, zeigen wir dir hier .

r = 40 mm = 4 cm

  • Formel aufstellen: Die Formel O = 2 · G + M ist ausgeschrieben O = 2 · π · r · (r + h).

O = 2 · π · r · (r + h)

  • Angaben einsetzen: Setze deine Werte einfach in die Zylinder Oberfläche Formel ein.

O = 2 · π · 4 cm · (4 cm + 2 cm)

  • Ergebnis berechnen:

O = 8 cm · π · 6 cm ≈ 150,8 cm2

Die Zylinderoberfläche beträgt also 150,8 cm2.

Anwendungsbeispiel

Du möchtest eine zylinderförmige Chipsdose als Geschenk verpacken. Die Dose hat einen Durchmesser von d = 7 cm und ist h = 25 cm hoch. Wie viel Geschenkpapier brauchst du zum Verpacken?

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Anwendungsbeispiel

Die Antwort auf diese Frage liefert dir die Oberfläche vom Zylinder. Mit der Formel kannst du den Oberflächeninhalt vom Zylinder schnell berechnen. 

  • Radius berechnen: Zuerst musst du aus dem Durchmesser den Radius berechnen. 

\textcolor{blue}{r}=\frac{d}{2} = \frac{7\text{cm}}{2} = \textcolor{blue}{3,5\text{cm}}

  • Formel aufstellen:

O = 2 · π · r · (r + h)

  • Zahlenwerte einsetzen:

O = 2 · π · 3,5 cm · (3,5 cm + 25 cm)

  • Zylinderfläche ausrechnen:

O = π · 7 cm · 28,5 cm ≈ 626,75 cm2

Zum Verpacken der Chipsdose brauchst du also mindestens 626,75 cm² Geschenkpapier. 

Herleitung Formel Oberfläche Zylinder

Du hast schon gesehen, dass sich die Formel für die Fläche vom Zylinder aus verschiedenen Teilen zusammensetzt. 

O = 2 · G + M

Die Grundfläche und die Deckfläche des Zylinders sind genau gleich groß. Beide haben die Form von einem Kreis und mit der Formel für den Flächeninhalt vom Kreis  kannst du diese Fläche berechnen. So bekommst du den ersten Teil vom Oberflächeninhalt Zylinder.

G = r2 · π

Dann fehlt nur noch die Mantelfläche. Stell dir vor, du würdest den Zylinder an der Seite einmal aufschneiden und glatt rollen. Die Fläche, die dadurch entsteht, sieht aus wie ein Rechteck .

Um den Flächeninhalt der Mantelfläche zu berechnen, brauchst du also die Rechteck Formel, Länge mal Breite. 

M = l · b

Die Länge entspricht dabei dem Umfang von der Grundfläche, denn diese Kante passt ja genau einmal um die Grundfläche herum. Für den Kreisumfang  gibt es natürlich auch eine Formel.

U = 2 · π · r

Die Breite der Mantelfläche ist außerdem die Höhe des Zylinders. Damit kannst du die Mantelfläche berechnen.

M = \underbrace{2 \cdot \pi \cdot r}_{\text{Länge}} \cdot \underbrace{h}_{\text{Breite}}

M = 2 · π ·  r ·  h

Zum Schluss musst du diese beiden Teile nur noch zum Flächeninhalt vom Zylinder zusammensetzen.

O = 2 · G + M

O = 2 \cdot \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{G} + \underbrace{2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}_{M}=

=(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r + (2 \cdot \pi \cdot r) \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (r+h)

Auf diese Weise kannst du jede Zylinderfläche berechnen. 

Volumen Zylinder

Eine weitere wichtige Formel beim Zylinder betrifft das Volumen:

V = r² • π  • h

In unserem Video zum Volumen vom Zylinder erklären wir dir genauer was das ist. Schau es dir gleich an, damit du einen Zylinder immer problemlos berechnen kannst!

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Zum Video: Volumen Zylinder

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