Geometrie
Geometrische Körper
 – Video

Hier erklären wir dir, was die Oberfläche vom Zylinder ist und wie du die Fläche vom Zylinder ganz einfach berechnen kannst. Du möchtest dir das lieber ansehen? Dann schau dir jetzt unser Video zum Oberflächeninhalt vom Zylinder an! Dort erklären wir es dir mit vielen Beispielen Schritt für Schritt.

Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?

Der Zylinder gehört zu den Körpern und sieht aus wie ein Rohr oder eine Konservendose. Oben und unten findest du die zwei Grundflächen, die ein Kreis sind. 

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Zylinder
  • Der Zylinder besteht aus der blauen Deck– und Grundfläche und der roten Mantelfläche.
  • r ist der Radius.
  • h ist die Höhe

Die Oberfläche vom Zylinder besteht dabei aus allen Flächen, die du berühren kannst. Deshalb setzt sich die Fläche beim Zylinder aus den beiden Grundflächen und der Mantelfläche  zusammen. 

\text{Oberfläche} = 2 \cdot \text{Grundfläche} + \text{Mantelfläche}

O = 2 \cdot G + M

Diese Zylinder Oberfläche kannst du konkret berechnen, wenn du den Radius der Grundfläche und die Höhe gegeben hast. Es gibt eine Zylinder Formel für die Oberfläche vom Zylinder. Damit findest du schnell heraus, wie groß der Flächeninhalt vom Zylinder ist. 

    \begin{align*} O &= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot (\textcolor{blue}{r}+\textcolor{red}{h}) \\ &= (2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2) + (2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{red}{h}) \end{align*}

Schauen wir uns den Flächeninhalt vom Zylinder mal genauer an. 

Zylinder Oberfläche berechnen

Wenn du die Oberfläche vom Zylinder berechnen willst, brauchst du die Grundfläche, die Deckfläche und die Mantelfläche . Die blaue Grund- und Deckfläche haben die Form eines Kreises und die rote Mantelfläche sieht aus wie ein Rechteck. 

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Zylinder Netz

Beispiel 1

Berechnen wir die Zylinder Oberfläche mit der oberen Formel. Dafür ist ein Zylinder mit Radius \textcolor{blue}{r=4\text{cm}} und Höhe \textcolor{red}{h=2\text{cm}} gegeben. 

  • Formel aufstellen: 

O=2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot (\textcolor{blue}{r} + \textcolor{red}{h})

  • Angaben einsetzen:

O = 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{4\text{cm}} \cdot (\textcolor{blue}{4\text{cm}} + \textcolor{red}{2\text{cm}})

  • Ergebnis berechnen:

O = 8\text{cm} \cdot \pi \cdot 6\text{cm} \approx 150,80 \text{cm}^2

Die Zylinderoberfläche beträgt also 150,80 \text{cm}^2

Beispiel 2

Du sollst die Oberfläche von einem Zylinder mit Radius \textcolor{blue}{r=30\text{mm}} und Höhe \textcolor{red}{h=6\text{cm}} berechnen. Das geht in wenigen Schritten.

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Oberfläche Zylinder: Beispiel 2
  • Angaben umrechnen: Zuerst sorgst du dafür, dass beide Angaben dieselbe Einheit haben.

\textcolor{blue}{r} = 30\text{mm} = 3\text{cm}

  • Grundfläche berechnen: Als nächstes ermittelst du den Flächeninhalt der Grundfläche G.

G=\pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

G=\pi \cdot \textcolor{blue}{3\text{cm}}^2 \approx 28,27\text{cm}^2

  • Mantelfläche berechnen: Dann bestimmst du die Mantelfläche als Flächeninhalt eines Rechtecks.

M = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{h}

M = 2 \cdot \textcolor{blue}{3\text{cm}} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{6\text{cm}} \approx 113,10 \text{cm}^2

  • Fläche Zylinder zusammensetzen: Zum Schluss kannst du die ganze Oberfläche vom Zylinder zusammensetzen.

O = 2 \cdot G +M

O = 2 \cdot 28,27\text{cm}^2 + 113,10 \text{cm}^2 = 169,64\text{cm}^2

Damit ist die Zylinderoberfläche 169,64\text{cm}^2 groß.

Anwendungsbeispiel

Du möchtest eine zylinderförmige Chipsdose als Geschenk verpacken. Die Dose hat einen Durchmesser von d=7\text{cm} und ist h=25\text{cm} hoch. Wie viel Geschenkpapier brauchst du zum Verpacken?

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Anwendungsbeispiel

Die Antwort auf diese Frage liefert dir die Oberfläche vom Zylinder. Mit der Formel kannst du den Oberflächeninhalt vom Zylinder schnell berechnen. 

  • Radius berechnen: Zuerst musst du aus dem Durchmesser den Radius berechnen. 

\textcolor{blue}{r}=\frac{d}{2} = \frac{7\text{cm}}{2} = \textcolor{blue}{3,5\text{cm}}

  • Formel aufstellen:

O = 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot (\textcolor{blue}{r}+\textcolor{red}{h})

  • Zahlenwerte einsetzen:

O = 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{3,5\text{cm}} \cdot (\textcolor{blue}{3,5\text{cm}} + \textcolor{red}{25\text{cm}})

  • Zylinderfläche ausrechnen:

O = \pi \cdot 7\text{cm} \cdot 28,5\text{cm} \approx 626,75\text{cm}^2

Zum Verpacken der Chipsdose brauchst du also mindestens 626,75cm² Geschenkpapier. 

Herleitung Formel Oberfläche Zylinder

Du hast schon gesehen, dass sich die Formel für die Fläche vom Zylinder aus verschiedenen Teilen zusammensetzt. 

O = 2 \cdot G + M

Die Grundfläche und die Deckfläche des Zylinders sind genau gleich groß. Beide haben die Form von einem Kreis und mit der Formel für den Flächeninhalt vom Kreis  kannst du diese Fläche berechnen. So bekommst du den ersten Teil vom Oberflächeninhalt Zylinder.

G = r^2 \cdot \pi

Dann fehlt nur noch die Mantelfläche. Stell dir vor du würdest den Zylinder an der Seite einmal aufschneiden und glatt rollen. Die Fläche, die dadurch entsteht, sieht aus wie ein Rechteck .

Um den Flächeninhalt der Mantelfläche zu berechnen, brauchst du also die Rechteck Formel, Länge mal Breite. 

M = l \cdot b

Die Länge entspricht dabei dem Umfang von der Grundfläche, denn diese Kante passt ja genau einmal um die Grundfläche herum. Für den Kreisumfang  gibt es natürlich auch eine Formel.

U = 2 \cdot \pi \cdot r

Die Breite der Mantelfläche ist außerdem die Höhe des Zylinders. Damit kannst du die Mantelfläche berechnen.

M = \underbrace{2 \cdot \pi \cdot r}_{\text{Länge}} \cdot \underbrace{h}_{\text{Breite}}

M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h

Zum Schluss musst du diese beiden Teile nur noch zum Flächeninhalt vom Zylinder zusammensetzen.

O = 2 \cdot G + M

O = 2 \cdot \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{G} + \underbrace{2 \cdot \pi \cdot r \cdot h}_{M}=

=(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r + (2 \cdot \pi \cdot r) \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (r+h)

Auf diese Weise kannst du jede Zylinderfläche berechnen. 

Mehr zum Zylinder

Neben der Oberfläche haben wir auch ein extra Video zum Thema Mantelfläche vom Zylinder für dich vorbereitet. Die letzte große Formel beim Zylinder betrifft das Volumen. In unserem Video zum Volumen vom Zylinder erklären wir dir genauer was das ist. Schau es dir gleich an, damit du einen Zylinder immer problemlos berechnen kannst!

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Zum Video: Volumen Zylinder

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