Geometrie
Pyramide und Kegel
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Was ist eine Pyramide und welche Arten von Pyramiden gibt es in Mathe? Die Antworten auf deine Fragen bekommst du hier und in unserem Video !

Was ist eine Pyramide?

Eine Pyramide in Mathe ist ein geometrischer Körper . Er hat eine Spitze S und als Grundfläche G ein beliebiges Vieleck, zum Beispiel ein Dreieck , Viereck oder Fünfeck. Die Seitenflächen haben die Form von Dreiecken.

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Pyramide

Den Abstand von der Spitze S zur Grundfläche G ist die Höhe h. Die Kanten der Grundflächen heißen Grundkanten und die Kanten der Seitenflächen nennst du Seitenkanten.

Rechnest du alle Seitenflächen zusammen, bekommst du die Mantelfläche M der Pyramide.

Sonderformen der Pyramide

In der Geometrie gibt es verschiedene Formen der Pyramide. Welche das sind und was für Eigenschaften sie haben, siehst du hier: 

Gerade Pyramide

Die gerade Pyramide hat folgende Eigenschaften:

  • Alle Kanten der Mantelfläche sind gleich lang.
  • Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M.
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Gerade Pyramide

Regelmäßige/reguläre Pyramide

Bei einer regelmäßigen Pyramide ist

  • die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck. Also ein Vieleck mit gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Hier ist das ein Quadrat .
  • die Spitze S senkrecht über der Mittelpunkt M.
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Regelmäßige Pyramide

Schiefe Pyramide

Bei einer schiefen Pyramide

  • liegt die Spitze S nicht senkrecht über dem Mittelpunkt M.
  • ist das Volumen genauso groß wie bei einer geraden Pyramide mit derselben Höhe h.
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Schiefe Pyramide

Reguläres Tetraeder

Ein reguläres Tetraeder hat

  • vier gleichseitige Dreiecke als Flächen.
  • sechs gleich lange Kanten.
  • eine Spitze S, die senkrecht über dem Mittelpunkt M liegt.
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Reguläres Tetraeder

Super! Jetzt kennst du die verschiedenen Formen der Pyramide. Bei einer Pyramide in der Geometrie gibt es auch einige Größen, die du berechnen kannst. Welche Formeln es dafür gibt, siehst du als Nächstes! 

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Volumen Pyramide

Das Innere einer Pyramide, also das Volumen V kannst du mit der Grundfläche und der Höhe ganz einfach berechnen. Du benutzt dafür die Formel

VPyramide = ⅓ · G · h

Achte darauf, dass die Grundfläche unterschiedliche Formen haben kann. Um sie richtig zu berechnen, benutzt du die dazu passende Formel. 

Beispiel: Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge a = 4 cm und der Höhe h = 8 cm

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Volumen Pyramide

Die Grundfläche ist ein Quadrat, also berechnest du sie mit der Formel für den Quadrat Flächeninhalt G = a · a.

Ersetze das G durch die Quadrat Formel und setze deine Werte ein: 

VPyramide = ⅓ · a · a · h

VPyramide = ⅓ · 4 cm · 4 cm · 8 cm

VPyramide ≈ 42,7 cm3

Das Volumen ist 42,7 cm3 groß.

Hat die Pyramide eine andere Grundfläche, benutzt du andere Formeln. Hier siehst du, welche das sind:

Oberfläche Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist das Äußere, das du berühren kannst. Du berechnest sie, indem du die Grundfläche G mit der Mantelfläche M der Pyramide addierst.

OPyramide = G + M

Die Grundfläche und die Mantelfläche können unterschiedliche Formen haben. Schau dir zum Beispiel eine reguläre Pyramide an.

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Netz einer regulären Pyramide

Weil die Grundfläche ein Quadrat ist und die vier Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind, bekommst du diese Formel:

OPyramide = a · a + 4 · \textcolor{orange}{\frac{a \cdot h_a}{2}}

Pyramide berechnen

Bei einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche kannst du außerdem noch die Diagonale d, die Höhe ha und die Seitenkanten berechnen. Wie das geht, siehst du hier:

Diagonale d

Die Diagonale der Grundfläche berechnest du mit dem Satz des Pythagoras :

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Diagonale im Quadrat

Du bekommst die Formel:

d2 = a2 + a2

d2 = 2 · a2

d = \sqrt{2} · a

Seitenfläche

Bei der Seitenfläche kannst du die Höhe ha berechnen. Hier siehst du, wie das geht:

Höhe ha

Die Höhe ha ist die längste Seite der Seitenfläche.

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Höhe ha eines Dreiecks

Du berechnest sie mit dem Pythagoras:

ha2 = (\frac{a}{2})2 + h2

ha = \sqrt{(\frac{a}{2})+h^2}

Die Seitenfläche einer Pyramide kannst du auf zwei Wegen berechnen:

1. Mit der Höhe ha

Um die Seitenkante s mit der Höhe ha zu berechnen, benutzt du den Satz des Pythagoras.

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Seitenkante s im Dreieck

Du rechnest:

s2 = (\frac{a}{2})2 + h2

s = \sqrt{(\frac{a}{2})+h^2}

2. Mit der Höhe h

Die Seitenkante s kannst du auch mit der allgemeinen Höhe h berechnen.

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Seitenkante s im Dreieck

Du benutzt dafür auch den Pythagoras:

s2 = (\frac{d}{2})2 + h2

s = \sqrt{(\frac{d}{2})+h^2}

Kegel

Es gibt noch andere geometrische Körper , die du dir unbedingt anschauen solltest. Hier stellen wir dir den Kegel vor. 

Zum Video: Volumen Kegel
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