Geometrie
Pyramide und Kegel
 – Video

Was ist ein Pyramidenstumpf und wie berechnest du sein Volumen? Die Antworten auf deine Fragen bekommst du hier und in unserem Video !

Pyramidenstumpf einfach erklärt

Der Pyramidenstumpf ist ein geometrischer Körper . Er sieht aus wie eine Pyramide , bei der die Spitze abgeschnitten wurde.

Ein Pyramidenstumpf hat eine quadratische Grundfläche mit den Seitenlängen a und eine quadratische Schnittfläche mit den Seitenlängen b. Seine Seitenflächen haben die Form von gleichschenkligen Trapezen . Gemeinsam bilden die vier Seitenflächen die Mantelfläche M.

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Pyramidenstumpf

Den Abstand von der Grundfläche bis zur Schnittfläche nennst du Höhe h des Stumpfes. Eine andere Höhe im Pyramidenstumpf ist die Höhe der Mantelfläche. Du nennst sie Höhe hm.

Du kannst den Pyramidenstumpf auch berechnen. Wie das geht, siehst du jetzt!

Pyramidenstumpf Volumen

Das Volumen V beschreibt den Rauminhalt, also das Innere eines Körpers. Es sagt dir zum Beispiel, wie viel Luft in den Pyramidenstumpf passt. Doch wie lautet die Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes?

Um das Volumen des Pyramidenstumpfs zu berechnen, benutzt du die Formel

VPyramidenstumpf = \frac{\textcolor{blue}{h}}{3} · (a2 + a · b + b2)

Beispiel: Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes mit den Längen a = 8 cm, b = 4 cm und der Höhe h = 3 cm

Lösung: Setze die Werte in die Pyramidenstumpf Formel ein und rechne aus. Du erhältst

VPyramidenstumpf = \frac{\textcolor{blue}{3 cm}}{3} · ((8 cm)2 + 8 cm · 4 cm + (4 cm)2)

VPyramidenstumpf = 112 cm3

Auch die Flächen des Pyramidenstumpfs kannst du berechnen. Schau dir an, wie das geht!

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Pyramidenstumpf berechnen

Jetzt erfährst du, wie du die Grund– und die Schnittfläche, die Mantelfläche und die gesamte Oberfläche des Pyramidenstumpfes berechnest!

Grund- und Schnittfläche

Die obere und die untere Fläche im Pyramidenstumpf kannst du ganz einfach berechnen, denn sie haben die Form von Quadraten . Du rechnest Seitenlänge mal Seitenlänge.

Die Pyramidenstumpf Formeln für die Grund- und Schnittfläche sind also

G = a · a

S = b · b

Mantelfläche

Die Mantelfläche M besteht aus den vier gleichschenkligen Trapezen. Die Fläche A eines Trapezes berechnest du mit der Formel

ATrapez = ½ · (a + b) · h

Die Seiten a und b sind die Längen der Grund- und der Schnittfläche. Die Höhe ist in diesem Fall die Höhe hm der Mantelfläche. Weil die Mantelfläche aus 4 Trapezen besteht, rechnest du die Fläche noch mal 4. Dadurch bekommst du die Pyramidenstumpf Formel für die Mantelfläche

M = 4 · ½ · (a + b) · hm  → M = 2 · (a + b) · hm

Oberfläche

Um die gesamte Oberfläche des Pyramidenstumpfes zu bestimmen, rechnest du die Grundfläche, die Schnittfläche und die Mantelfläche zusammen. Dadurch bekommst du die Pyramidenstumpf Formel

OPyramidenstumpf = G + S + M

OPyramidenstumpf = (a · a) + (b · b) + 2 · (a + b) · hm

Pyramidenstumpf — kurz & knapp

Der Pyramidenstumpf ist ein spezieller Typ von Polyedern (Vielfächern). Er entsteht, wenn eine quadratische Ausgangspyramide parallel zu ihrer Grundfläche an den Mantelflächen abgeschnitten wird. Dadurch erhältst du eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide).

Kegelstumpf

Neben dem Pyramidenstumpf gibt es auch noch den Kegelstumpf . Er sieht aus wie ein Kegel mit abgeschnittener Spitze. Wie du ihn berechnest, zeigen wir dir in unserem Video!

Zum Video: Kegelstumpf
Zum Video: Kegelstumpf

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