Geometrie

Koordinatenform

In diesem Artikel zeigen wir dir, was die Koordinatenform einer Gerade oder Ebene ist. Du möchtest das Thema lieber in visueller Form sehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Koordinatenform einfach erklärt  

Die Koordinatenform ist eine Darstellung von Geraden oder Ebenen. Damit kannst du sehr leicht überprüfen, ob ein Punkt auf einer Gerade oder einer Ebene liegt.

Koordinatenform Gerade/Ebene

Für eine Gerade gilt

g: ax + by = c

und für eine Ebene ist

g: ax_1+ bx_2+ cx_3= d.

Dabei sind a, b, c und d beliebige Zahlen.

Bemerkung: Die Koordinatenform ist nichts anderes, als die ausmultiplizierte Form der Normalenform . Außerdem kannst du Geraden und Ebenen auch mit der Parameterform  darstellen.

Koordinatenform Gerade  

Du kannst jede Gerade g mit der Koordinatenform darstellen.

g: ax + by = c, \quad a, b, c \in \mathbb{R}

Beispiel

Eine Gerade g wird zum Beispiel durch die Koordinatenform

2x - 3y = 6

dargestellt. Möchtest du nun überprüfen, ob ein Punkt P auf der Gerade liegt, dann setzt du lediglich die Komponenten des Punktes in die Form ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt wird.

So liegt zum Beispiel der Punkt P(6|2) auf der Gerade g, denn

2 \cdot6 - 3 \cdot 2 = 6.

Der Punkt Q(3|1) hingegen liegt nicht auf der Gerade, da

2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 3 \neq 6.

Besondere Fälle  

Dabei können folgende Fälle auftreten:

  • Ist a = 0, dann ist die Gerade g parallel zur x-Achse.
  • Bei b = 0 verläuft die Gerade g parallel zur y-Achse.
  • Ist c = 0, dann geht die Gerade g durch den Ursprung.
  • Bei c = 1 schneidet die Gerade g die Achsen in den Punkten (\frac{1}{a}|0) und (0|\frac{1}{b}).

Koordinatenform Ebene

Analog kannst du auch eine Ebene durch eine Koordinatenform beschreiben.

E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}

Hinweis: Anstelle von x_1,x_2 und x_3 findest du auch manchmal die Bezeichnung x,y,z.

Beispiel

Die Koordinatenform

E: 3x_1 - 4x_2 + x_3 = 2

beschreibt eine Ebene im \mathbb{R}^3. Um nun zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du die Komponenten des Punktes in die Koordinatenform der Ebene ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist.

Der Punkt P(2|0|-4) liegt zum Beispiel auf der Ebene, da

3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + (-4) = 2.

Aber der Punkt Q(1|5|3) liegt nicht auf der Ebene, denn

3 \cdot 1 - 4 \cdot 5 + 3 = -14 \neq 2.

Besondere Fälle  

Es können folgende Fälle auftreten:

  • Ist a=0, so verläuft die Ebene parallel zur x_1-Achse.
  • Bei b=0 ist die Ebene parallel zur x_2-Achse.
  • Ist c=0, dann ist die Ebene parallel zur x_3-Achse.
  • Ist d=0, so geht die Ebene durch den Ursprung.
  • Und ist d=1, dann schneidet die Ebene die Achsen bei (\frac{1}{a}|0|0), (0|\frac{1}{b}|0) und (0|0|\frac{1}{c})

Koordinatenform Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Ebene E: -4x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -12 liegen.

a) P(2|-3|-1)

b) Q(1|-2|0)

Lösung

Um zu überprüfen, ob die Punkte auf der Ebene liegen, setzt du die Komponenten der Punkte in die Form ein und schaust, ob du dabei -12 erhältst.

a) -4 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1) = -12

Der Punkt P liegt demnach auf der Ebene.

b) -4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) - 2 \cdot 0 = -8 \neq -12.

Also liegt der Punkt Q nicht auf der Ebene.

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