Geometrie

In diesem Beitrag erfährst du, was ein Kreisausschnitt ist und wie du ihn berechnen kannst. Schau dir unser Video dazu an! Dort erklären wir es dir anschaulich.

Inhaltsübersicht

Kreisausschnitt einfach erklärt

Ein Kreisausschnitt ist ein Anteil der Fläche eines Kreises, der eng mit dem Kreisbogen b zusammenhängt. 

Kreis, Winkel, Bogen, Radius, Durchmesser
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Kreisbogen und Kreisausschnitt

Was ist ein Kreisausschnitt?

Der Kreisausschnitt oder Kreissektor \textcolor{violet}{A_S} ist ein Teil des Flächeninhalts eines Kreises. Der Kreisausschnitts \textcolor{violet}{A_S} hängt vom Winkel \textcolor{orange}{\alpha} ab. Außerdem siehst du, dass der Anteil des Kreisausschnitts am Umfang des Kreises mit dem Kreisbogen b identisch ist. Um den Kreisausschnitt zu berechnen, verwendest du die Formel

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2.

Kreisausschnitt berechnen

Der Anteil des Kreisausschnitts \textcolor{violet}{A_S} an der gesamten Kreisfläche entspricht dem Anteil \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ}. Diesen Anteil multiplizierst du mit dem Flächeninhalt A eines Kreises .

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot\underbrace{ \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2}_{= A}

Lass uns ein Beispiel dazu anschauen.

Beispiel

Stell dir vor, du hast folgenden Kreis mit Radius r = 7,5cm und dem Winkel 217° vorgegeben.

Kreis, Winkel, Bogen, Ausschnitt, Radius
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Gesucht: Kreisausschnitt As

Du sollst nun den Kreisausschnitt \textcolor{violet}{A_S} berechnen. Dazu befolgst du folgende Schritte.

  • 1. Formel aufstellen: Schreib die Kreisausschnitt Formel noch einmal hin.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • 2. Werte einsetzen: Setz die Angaben in die Kreisausschnitt Formel ein.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2

  • 3. Kreisausschnitt berechnen: Löse die Rechnung mit deinem Taschenrechner .

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{217^\circ}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (\textcolor{blue}{{7,5\text{cm}}})^2

\textcolor{violet}{A_S \approx 106,52\text{cm}^2}

Du siehst, dass der Kreissektor eine Fläche von 106,52\text{cm}^2 hat.

Durchmesser mit Kreisausschnitt berechnen

Diesmal suchst du den Durchmesser des Kreises. 

Kreis, Winkel, Radius, Durchmesser, Kreisausschnitt
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Gesucht: Durchmesser d

Du kennst den Winkel mit 26° und die Fläche vom Kreisausschnitt mit \textcolor{violet}{80\text{cm}^2}.

  • 1. Formel aufstellen: Zuerst schreibst du die Kreisausschnitt Formel auf.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2

  • 2. Gleichung auflösen: Du brauchst den Radius. Also musst du die Formel nach r auflösen.

\textcolor{violet}{A_S} =\frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | : \pi

\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} = \frac{\textcolor{orange}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}

\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}} = \textcolor{blue}{r}^2 \quad | \sqrt{}

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{A_S}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{\alpha}}

  • 3. Werte einsetzen: Setze \textcolor{violet}{A_S = 80\text{cm}^2}  und \textcolor{orange}{\alpha = 26^\circ} ein.

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}

  • 4. Durchmesser ausrechnen: Du rechnest das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.

\textcolor{blue}{r} = \sqrt{\frac{\textcolor{violet}{80\text{cm}^2}}{\pi} \cdot \frac{360^\circ}{\textcolor{orange}{26^\circ}}

\textcolor{blue}{r \approx 18{,}78\ \text{cm}} 

d = 2 \cdot \textcolor{blue}{r} \approx 37{,}56\ \text{cm}

Der Radius beträgt ungefähr 18,78 cm und der Durchmesser doppelt so viel, also circa 37,56 cm.

Gradmaß und Bogenmaß

Mit der Kreisbogen Formel kannst du auch die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß durchführen. Um den vollen Durchblick zu dem Thema zu bekommen, musst du dir unser Video dazu anschauen! 

Zum Video: Gradmaß und Bogenmaß
Zum Video: Gradmaß und Bogenmaß

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