Geometrie

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du die Oberfläche und die Mantelfläche einer Pyramide berechnen kannst. Schau dir auch ganz einfach unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Wie berechnet man die Oberfläche einer Pyramide?

Die Oberfläche einer Pyramide besteht aus einer Grundfläche und einer Mantelfläche.

O = \textcolor{orange}{G} + \textcolor{blue}{M}.

  • 0 ist die Oberfläche der Pyramide.
  • G ist die Grundfläche der Pyramide.
  • M ist die Mantelfläche der Pyramide.
Pyramide, Dreieck, Viereck, Grundfläche, Mantelfläche
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Dreieckspyramide und Viereckspyramide

Die Grundfläche kann verschiedene Formen annehmen, zum Beispiel ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck und so weiter.

Je nachdem, wie viele Seiten deine Grundfläche hat, hast du genauso viele Dreiecke als Seitenflächen. Bei einer dreieckigen Grundfläche hast du deshalb drei Seiten. Bei einer viereckigen Pyramide vier und so weiter. 

Oberfläche quadratische Pyramide

Stell dir vor, du hast eine quadratische Pyramide mit a = b = 5cm und \textcolor{red}{h_a} = \textcolor{red}{h_b} = \textcolor{red}{9\text{cm}} gegeben.

Viereck, Viereckspyramide, Dreick, Höhe, Seite, Basis
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quadratische Pyramide

1. Grundfläche Pyramide berechnen:  a und b sind gleich lang, also ist die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat. Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnest du ganz einfach, indem du beide Seitenlängen multiplizierst. 

G = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} = 25\text{cm}^2

2. Dreiecksfläche berechnen:  Damit du die Mantelfläche berechnen kannst, brauchst du zunächst den Flächeninhalt von einem der seitlichen Dreiecke. Dafür verwendest du die Formel für den Flächeninhalt in einem Dreieck .

A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{h_a} \cdot \textcolor{blue}{a}

Dort kannst du nun deine gegebenen Werte einsetzen.

A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{9\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} = 22,5\text{cm}^2

3. Mantelfläche der quadratischen Pyramide berechnen: Da die seitlichen Dreiecke alle gleich groß sind, multiplizierst du den Flächeninhalt mit 4.

M= 4 \cdot A_\Delta = 4 \cdot 22,5\text{cm}^2 = 90\text{cm}^2

4. Oberfläche Pyramide berechnen: Die gesamte Oberfläche ergibt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche, die du in die Pyramide Oberfläche Formel einsetzt.

O = G + M = 25\text{cm}^2 + 90\text{cm}^2 = 115\text{cm}^2

Du findest hier also einen Oberflächeninhalt der Pyramide von 115\text{cm}^2.

Oberfläche rechteckige Pyramide

Nehmen wir an, du hast eine Pyramide, bei der die mittlere Höhe h = 6cm gegeben ist. Wie gehst du jetzt vor?

Pyramide, Rechteck, Netz, Höhe, Winkel
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Rechteckspyramide mit Netz

1. Grundfläche Pyramide berechnen:  Die Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 8cm und b = 5cm.  Um den Flächeninhalt zu berechnen, multiplizierst du beide Seiten miteinander.

G = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} = 40\text{cm}^2

2. Dreiecksfläche ermitteln: Die Mantelfläche der Pyramide besteht aus vier Dreiecken. Gegenüberliegende Dreiecke sind dabei gleich groß. Das Problem ist aber, dass du \textcolor{red}{h_a} und \textcolor{red}{h_b} nicht angegeben hast. 

A_{\Delta_a} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a}

A_{\Delta_b} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{h_b}

3. Dreieckshöhen berechnen: Die Seitenhöhe der Dreiecke kannst du über den Satz des Pythagoras bestimmen. Denn \frac{\textcolor{blue}{a}}{2} und die Pyramidenhöhe h bilden zusammen mit der gesuchten Dreieckshöhe \textcolor{red}{h_b} ein rechtwinkliges Dreieck. Das gleiche gilt auch für das Dreieck auf der Seite b.

Dreieck, Höhe, rechter Winkel, Pyramide
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Gesucht: Dreieckshöhe hb

\textcolor{red}{h_b} = \sqrt{(\frac{\textcolor{blue}{a}}{2})^2 + \textcolor{red}{h}^2} = \sqrt{(\frac{\textcolor{blue}{8\text{cm}}}{2})^2 + (\textcolor{red}{6\text{cm}})^2} \approx 7,2\text{cm} 

\textcolor{red}{h_a} = \sqrt{(\frac{\textcolor{blue}{b}}{2})^2 + \textcolor{red}{h}^2} = \sqrt{(\frac{\textcolor{blue}{5\text{cm}}}{2})^2 + (\textcolor{red}{6\text{cm}})^2} \approx 6,5\text{cm} 

4. Dreiecksflächen berechnen: Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke über a und b. Dazu benutzt du die Seiten, auf denen das Dreieck jeweils steht und die Höhen \textcolor{red}{h_a} und \textcolor{red}{h_b}, die du gerade ausgerechnet hast.  

A_{\Delta_a} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{6,5\text{cm}} = 26\text{cm}^2

A_{\Delta_b} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{h_b} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{7,2\text{cm}} = 18\text{cm}^2

5. Mantelfläche Pyramide berechnen: Insgesamt hast du zweimal die Fläche über der Seite a und zweimal die Fläche über der Seite b. Das setzt du in die die Mantelfläche Pyramide Formel ein

M = 2 \cdot A_{\Delta_a} + 2 \cdot A_{\Delta_b} = 2 \cdot 26\text{cm}^2 + 2 \cdot 18\text{cm}^2 = 88\text{cm}^2

6. Oberfläche Pyramide berechnen: Für den gesamten Oberflächeninhalt der Pyramide addierst du die Grundfläche und die Mantelfläche.

O = G + M = 40\text{cm}^2 + 88\text{cm}^2 = 128\text{cm}^2

Diese Pyramide hat damit also eine Oberfläche von 128\text{cm}^2.

Oberfläche dreieckige Pyramide

Du solltest auch wissen, wie du die Oberfläche einer dreieckigen Pyramide berechnest. Deshalb schauen wir uns dafür auch ein Beispiel an. Du hast eine Pyramide gegeben, bei der alle Höhen und die Seitenlängen der Grundfläche gegeben sind.

Pyramide, Dreieck, Seiten, Länge, Höhe
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dreieckige Pyramide

1. Grundfläche Pyramide berechnen: Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck, das heißt du verwendest die Formel für den Flächeninhalt von einem Dreieck und kannst b = 5cm als Höhe verwenden.

G = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}

Dort setzt du die Breite \textcolor{blue}{a = 6\text{cm}} und die Höhe \textcolor{blue}{b = 5\text{cm}} ein.

G = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} = \frac{1}{2} \cdot 15\text{cm}^2 = 30\text{cm}^2

2. Dreiecksflächen berechnen: Die Mantelfläche besteht aus drei unterschiedlichen Dreiecken. Berechne für alle drei den Flächeninhalt.

A_\Delta_a = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{h_a} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{7\text{cm}} = 21\text{cm}^2

A_\Delta_b = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{h_b} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{6,5\text{cm}} = 16,25\text{cm}^2

A_\Delta_c = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{c} \cdot \textcolor{red}{h_c} = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7,8\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{6\text{cm}}=23,4\text{cm}^2

3. Mantelfläche Pyramide berechnen: Nun musst du die drei Seiten noch zusammenrechnen.

M = A_\Delta_a +  A_\Delta_b +A_\Delta_c = 21\text{cm}^2 + 16,25\text{cm}^2 + 23,4\text{cm}^2= 60,65\text{cm}^2

4. Oberfläche Pyramide berechnen: Der gesamte Oberflächeninhalt der Pyramide entspricht der Grundfläche plus die Mantelfläche.

O = G + M = 30\text{cm}^2 + 60,65\text{cm}^2= 90, 65\text{cm}^2

Die Oberfläche dieser Dreieckspyramide beträgt also 90, 65\text{cm}^2.

Volumen Pyramide

Neben der Oberfläche einer Pyramide gibt es natürlich auch noch das Volumen, das dir angibt, wie viel in eine Pyramide hineinpasst. Schau dir unser Video zum Volumen der Pyramide unbedingt auch noch an, damit du für den Körper Pyramide einen wirklich guten Überblick bekommst! 

Zum Video: Volumen Pyramide , Oberfläche Pyramide
Zum Video: Volumen Pyramide

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