Geometrie
Vierecke
 – Video

In diesem Beitrag erklären wir dir mit vielen Beispielen, wie du den Flächeninhalt im Quadrat berechnen kannst. Du möchtest dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video an!

Wie berechnet man den Flächeninhalt vom Quadrat?

Zuerst musst du wissen: was ist ein Quadrat? Ein Quadrat ist ein ganz besonderes Viereck. Alle vier Seiten sind im Quadrat gleich lang und alle vier Winkel sind gleich groß. Sie haben genau 90°. 

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Flächeninhalt Quadrat

Der Flächeninhalt beim Quadrat umfasst die ganze Fläche, die vom Quadrat eingeschlossen wird und auch alle Punkte auf den Seitenlinien. Für den Flächeninhalt gibt es eine Formel.

A = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

Um die Fläche von einem Quadrat zu bestimmen, rechnest du also Seitenlänge a mal Seitenlänge a.

Flächeninhalt Quadrat berechnen

Schauen wir uns ein paar Beispiele zum Flächeninhalt im Quadrat an.

Beispiel 1

Mit der Formel kannst du ganz schnell den Flächeninhalt von einem Quadrat mit der Seitenlänge \textcolor{blue}{a=5\text{cm}} berechnen. 

  • Formel aufstellen: Am Anfang notierst du dir die Formel für den Flächeninhalt im Quadrat.

A = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

  • Angaben einsetzen: Dann ersetzt du das a durch den angegebenen Zahlenwert.

A = \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen: Zum Schluss musst du nur noch die Zahlen multiplizieren und auch die Einheiten malnehmen.

A = (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{5}) ( \textcolor{blue}{\text{cm}} \cdot \textcolor{blue}{\text{cm}})= (\textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{5}) \text{cm}^2 = 25\text{cm}^2

Hinweis: Statt 5 \cdot 5 kannst du auch 5^2 rechnen.

Beispiel 2

Schauen wir uns noch die Flächenberechnung im Quadrat mit Seitenlänge \textcolor{blue}{a=3\text{m}} an.

  • Formel aufstellen:

A=\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

  • Angaben einsetzen:

A = \textcolor{blue}{3 \text{m}} \cdot \textcolor{blue}{3\text{m}}

  • Ergebnis ausrechnen:

A = (\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{3}) \text{m}^2 = 9\text{m}^2

Weil die Seitenlänge hier in der Längeneinheit m (Meter) gegeben war, bekommst du die Fläche vom Quadrat in m². 

Beispiel bei gegebenem Umfang

Manchmal hast du für das Berechnen der Quadrat Fläche nicht die Seitenlänge, sondern nur den Umfang vom Quadrat gegeben. Mit einem kleinen Umweg kannst du auch dann den Flächeninhalt vom Quadrat berechnen. Dafür ist der Umfang U=28\text{cm} gegeben.

  • Formel für Umfang aufstellen:

U = 4 \cdot a

  • Seitenlänge a berechnen:

    \begin{align*} 4 \cdot a &= U && |:4 \\ a &= \frac{U}{4} \\ a &= \frac{28\text{cm}}{4} = 7\text{cm} \end{align*}

  • Formel für Flächeninhalt vom Quadrat aufstellen:

A = a \cdot a

  • Seitenlänge einsetzen:

A = 7\text{cm} \cdot 7\text{cm}

  • Ergebnis berechnen:

A = 49\text{cm}^2

Anwendungsaufgabe

Die Flächeninhalt Formel brauchst du auch häufiger bei Anwendungsaufgaben mit einem Quadrat. Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an.

Ein Spielplatz in deiner Nachbarschaft soll mit weichen Bodenplatten ausgelegt werden. Jede der Platten ist 1m² groß. Der Spielplatz hat eine quadratische Form und ist an jeder Seite sechs Meter lang. Berechne, wie viele Platten die Stadt kaufen muss, um den ganzen Spielplatz auslegen zu können.

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Anwendungsaufgabe: Spielplatz

Lösung

Die Aufgabe kannst du mit einer Flächenberechnung vom Quadrat lösen. Weil jede der Platten 1m² groß ist, musst du nur den Flächeninhalt vom Quadrat berechnen.

A = a \cdot a = 6\text{m} \cdot 6\text{m} = 36\text{m}^2

Die Stadt braucht 36 Platten, um den ganzen Spielplatz auszulegen. 

Anwendungsbeispiel

Manchmal ist die Fläche in einem Quadrat nicht ganz ausgefüllt. Trotzdem kannst du den blauen Flächeninhalt in wenigen Schritten berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor.

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Anwendungsbeispiel: Flächeninhalt Quadrat

Berechne zuerst den Flächeninhalt vom großen Quadrat und ziehe dann die Fläche des kleinen Quadrats im Inneren ab. 

  • Großes Quadrat berechnen: Auch das funktioniert wieder mit der Quadrat Formel für den Flächeninhalt.

A_{\text{großes Quadrat}} = a \cdot a = 7\text{cm} \cdot 7\text{cm} = 49\text{cm}^2

  • Kleines Quadrat berechnen: Jetzt machst du das gleiche nochmal mit dem kleineren Quadrat.

A_{\text{kleines Quadrat}} = a \cdot a = 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} = 9\text{cm}^2

  • Fläche zusammensetzen: Zum Schluss musst du die Werte nur noch abziehen.

A = A_{\text{großes Quadrat}} - A_{\text{kleines Quadrat}}

A = 49\text{cm}^2-9\text{cm}^2 = 40\text{cm}^2

Der Flächeninhalt der blauen Figur beträgt damit 40cm². 

Herleitung Quadrat Formel

Die Formel für den Flächeninhalt im Quadrat ist eigentlich nur ein Spezialfall vom Flächeninhalt Rechteck .

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Flächeninhalt Rechteck

Dort berechnest du den Flächeninhalt durch die Formel Länge mal Breite.

A_{\text{Rechteck}} = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}

Bei einem Quadrat funktioniert das genauso, allerdings sind dort alle vier Seiten gleich lang. Es gilt

\textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b}.

Deshalb berechnest du den Flächeninhalt vom Quadrat mit der vereinfachten Formel

A_{\text{Quadrat}} = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}.

Quadrat berechnen

Neben dem Flächeninhalt kannst du auch den Umfang im Quadrat berechnen. Dafür gibt es nochmal eine eigene Quadrat Formel. Die Formel zum Umfang erklären wir dir nochmal ausführlich mit mehreren Beispielen in unserem extra Video dazu. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Umfang Quadrat

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