Geometrie
Einfache geometrische Körper
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Du sollst den Oberflächeninhalt eines Körpers berechnen? Was ist damit gemeint und mit welcher Formel kannst du die Oberfläche ausrechnen? Hier bist du genau richtig, um das herauszufinden! 

Oberflächeninhalt einfach erklärt

Stell dir vor, du möchtest einen Schuhkarton als Verpackung für ein Geschenk nutzen. Dazu bemalst du alle Außenflächen mit einer hübschen Farbe. Der Oberflächeninhalt gibt dann die Größe der bemalten Fläche an. Du bezeichnest ihn mit dem Buchstaben O.%Kommt das Main KW dann früh genug?

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Die Oberfläche besteht aus allen Außenflächen

Jeder dreidimensionale Körper hat so eine Oberfläche. Sie besteht aus allen Flächen des Körpers, die du von außen sehen und anfassen kannst. Die Oberfläche ist also sowas wie die Hülle des Körpers.

Übrigens: Da die Oberfläche eine Fläche ist, gibst du den Oberflächeninhalt in einer Flächeneinheit an. Das sind zum Beispiel Quadratmillimeter (mm2), Quadratzentimeter (cm) oder Quadratmeter (m)

Klasse! Jetzt weißt du, was die Oberfläche ist.%Schau dir auch gerne unser Video an, um mehr darüber zu erfahren! Aber wie berechnet man den Oberflächeninhalt? Mit dieser Frage wollen wir uns am Beispiel des Quaders beschäftigen.

Oberflächeninhalt Formel — Quader

Oft besteht die Oberfläche eines Körpers aus mehreren Teilen. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, bestimmst du also einfach die Flächeninhalte dieser einzelnen Teile und zählst sie anschließend zusammen.

Beim Quader sind das zum Beispiel lauter Rechtecke . Du kannst sie gut an einem sogenannten Quadernetz erkennen. Du erhältst es, wenn du in Gedanken den Quader an einigen Kanten aufschneidest und die einzelnen Flächen aufklappst. 

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Quadernetz — Anschauung

Du siehst: Beim Quader besteht die Oberfläche also aus 6 Rechtecken. Dabei sind jeweils zwei, die sich gegenüber liegen, genau gleich groß.

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Quader und Quadernetz

Die Formel für den Oberflächeninhalt O eines Quaders ist damit: 

O = 2ab + 2ac + 2bc%FS Oberflächeninhalt Formel

Wie diese Formel zustande kommt, kannst du dir so überlegen:

  • Die Vorderseite des Quaders hat als Seitenlängen  a und  b.  Du verwendest die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks und rechnest: A = a · b. Die gegenüberliegende Rückseite hat aber genau dieselbe Größe. Das ergibt zusammen also 2 · a · b

  • Für den Flächeninhalt der beiden Seitenflächen multiplizierst du jeweils  a mit c. Daher kommt der Teil 2 · a · c in der Formel. 

  • Dazu kommen dann noch die Grundfläche und die Deckfläche mit einem Flächeninhalt von jeweils b · c.

Übrigens: Die beiden Seitenflächen zusammen mit der Vorder- und der Rückseite bezeichnest du auch als Mantelfläche M. Wenn du die Grundfläche mit G und die Deckfläche mit D bezeichnest, kannst du die Formel um den Oberflächeninhalt zu berechnen, auch so schreiben:  O = M + G + D.

Super! Jetzt kennst du die Oberflächen Formel. Wie du sie anwendest, um damit den Oberflächeninhalt eines Quaders zu berechnen, siehst du am folgenden Beispiel!

Oberflächeninhalt berechnen — Beispiel

Stell dir vor du, hast einen Quader mit den folgenden Maßen gegeben:

  • a = 5 cm
  • b = 2 cm 
  • c = 3 cm
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Oberfläche ausrechnen — Beispiel

Was ist der Oberflächeninhalt dieses Quaders?

Um die gesamte Oberfläche auszurechnen, berechnest du also zunächst die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke:

  • 2ab für Vorder- und Rückseite: 2 · 5 cm · 2 cm = 20 cm2 
  • 2ac für die Seitenflächen: 2 · 5 cm · 3 cm = 30 cm2
  • 2bc für Grund- und Deckfläche: 2 ·  2 cm · 3 cm = 12 cm2

Das setzt du dann in die Oberflächen Formel ein. Insgesamt beträgt der Oberflächeninhalt also: 

O = 2ab + 2ac + 2bc = 2 · 5 cm · 2 cm + 2 · 5 cm · 3 cm + 2 ·  2 cm · 3 cm = 20 cm2 + 30 cm2 + 12 cm262 cm2

Spezialfall Würfel

Ein Würfel ist auch ein Quader. Aber er hat die Besonderheit, dass alle Seiten gleich lang und somit alle Flächen gleich groß sind. Jedes der 6 Rechtecke ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A = a · a = a2

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Oberflächeninhalt Würfel

Du kannst hier also die Oberfläche mit der Formel O = 6a2 berechnen. Bei einer Seitenlänge von a = 2 cm wäre der Oberflächeninhalt beispielsweise  O = 6 · (2cm)= 24cm2.

Du willst dein Wissen zur Oberflächenberechnung gleich anwenden? Dann probier‘ mal, ob du in der folgenden Aufgabe die Oberfläche ausrechnen kannst!

Oberflächenberechnung — Aufgabe

Du hast für deine Mutter ein Geschenk gekauft und es in einen quaderförmigen Schuhkarton gepackt. Den möchtest du nun rundherum hübsch anmalen.

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Aufgabe: Oberfläche Schuhkarton

Aufgabe: Der Karton hat die Seitenlängen 20 cm, 10 cm und  5 cm. Mit einer Tube Farbe kannst du eine Fläche von 500 cm2 bemalen. Reicht eine Tube, um alle Außenflächen zu färben? 

Tipp: Vielleicht wunderst du dich, dass hier der Begriff „Oberflächeninhalt“ gar nicht vorkommt. Aber hinter dieser Textaufgabe steckt eigentlich die Frage: Was ist der Oberflächeninhalt des Schuhkartons? Lass dich also nicht von der Formulierung verwirren, sondern erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders, die du gelernt hast: O = 2ab + 2ac + 2bc.

Lösungsweg: Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, setzt du in die Oberflächen Formel O = 2ab + 2ac + 2bc einfach die konkreten Zahlen aus der Aufgabe ein. Aber welchen Wert haben jetzt jeweils a, b und c? Welche Seitenlänge du welchem Buchstaben zuordnest, spielt keine Rolle. Du musst dich nur einmal festlegen. Wähle zum Beispiel a = 20 cm, b = 10 cm und c = 5 cm. Du bekommst also:

O = 2 · 20 cm · 10 cm + 2 · 20 cm · 5 cm + 2 · 10 cm · 5 cm = 400 cm2 + 200 cm2 + 100 cm= 700 cm2

Lösung: Du brauchst also genug Farbe um 700 cm2 zu bemalen. Eine Tube für 500 cm2 reicht somit nicht aus. Damit du alle Außenflächen anmalen kannst, benötigst du eine weitere Farbtube.

Oberflächeninhalt — Die wichtigsten Fragen

  • Was ist die Oberfläche eines Körpers?
    Die Oberfläche eines Körpers besteht aus allen Flächen, die du von außen berühren kannst. Es ist also so etwas wie die Hülle, die den Körper umgibt. 

  • Wie berechnet man den Oberflächeninhalt?
    Der Oberflächeninhalt gibt die Größe der Oberfläche eines Körpers an. Um ihn zu berechnen, addierst du die Flächeninhalte aller Außenflächen.  

  • Was ist die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders?
    Um den Oberflächeninhalt eines Quaders mit Seitenlängen a, b, und c zu berechnen, musst du die Flächeninhalte der 6 Rechtecke zusammenzählen, aus denen er besteht. Da je zwei gegenüberliegende Flächen die selbe Größe haben, ergibt sich die Formel: O = 2ab + 2ac + 2bc. 

Volumen berechnen

Wie man den Oberflächeninhalt berechnet hast du jetzt gelernt! Eine weitere wichtige Größe im Umgang mit Körpern ist das Volumen. Es gibt an, wie viel in einen Körper rein passt. Wie du das berechnest, erfährst du in unserem Video zum Thema Volumen berechnen. Schau doch direkt mal rein!

zum Video: Volumen berechnen
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