Du suchst nach einem einfachen Rechenweg für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene? In diesem Artikel erklären wir dir, wie du ihn mit Hilfe der Formel oder des Lotfußpunktverfahrens bestimmen kannst und zeigen dir die Rechenschritte an einer Beispielaufgabe.
Für alle audiovisuellen Lerntypen haben wir zudem ein Erklärvideo zum Abstand Punkt Ebene erstellt.
Wenn du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen sollst, dann ist damit in der Regel die kürzeste Verbindung zwischen den beiden gemeint. Du erhältst sie, indem du eine Linie vom Punkt aus ziehst, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese Linie bezeichnet man auch als das, durch den Punkt gefällte, Lot. Die Länge der Strecke vom Punkt zum Schnittpunkt
des Lotes und der Ebene ist dann genau der Abstand zwischen Punkt und Gerade
.
Ist ein dreidimensionaler Raum gegeben, kannst du den Abstand ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen. Möchtest du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes , verwendest du am besten den Lösungsweg des Lotfußpunktverfahrens.
Der schnellste Rechenweg, um direkt die kürzeste Distanz zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen, ist die Abstandsformel. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene
beträgt:
Ebene in Normalform:
Ebene in Koordinatenform:
Bei der Berechnung des Abstandes einer Ebene zu einem Punkt mit der Formel musst du diesen Schritten folgen:
Wir suchen den Abstand zwischen dem Punkt
und der Ebene E (in Parameterform gegeben).
Schritt 1
Im ersten Schritt bestimmen wir den Normalenvektor der Ebenengleichung, da diese in der Aufgabenstellung in Parameterform gegeben ist. Wäre die Koordinatenform gegeben, so könnten wir einfach die andere Schreibweise der Formel nutzen und sofort losrechnen. Zur Berechnung des Normalenvektors der Ebene stellen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren auf.
Schritt 2
Wir setzen den Vektor des Punktes , den Vektor des Aufpunkts und den Normalenvektor der Ebenengleichung in die Abstandsformel ein.
Schritt 3
Jetzt müssen wir nur noch die aufgestellte Gleichung auflösen und erhalten den Abstand von Punkt und Ebene.
Mit dem Lotfußpunktverfahren erhalten wir neben dem Abstand auch die Koordinatenposition in der Ebene, die dem außerhalb liegenden Punkt am nächsten kommt. Als Hilfsmittel erstellen wir bei diesem Ansatz eine Gerade, die durch den Punkt verläuft und senkrecht auf der Ebene steht. Anschließend berechnen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Gerade mit der Ebene und dessen Entfernung zum untersuchten Punkt.
Wir suchen wieder den Abstand des Punktes
von der Ebene E.
Schritt 1
Im ersten Schritt müssen wir die Gleichung einer Hilfsgeraden aufstellen, die durch den Punkt
verläuft und senkrecht auf
steht. Hierzu setzen wir für die Gerade den Punkt
als Aufpunkt fest und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.
Schritt 2
Als nächstes bestimmen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Geraden mit der Ebene
. Dazu setzen wir die Koordinaten von
in die Ebene ein.
Das Einsetzen ist deutlich leichter, wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt. Am besten wandelst du sie immer in diese Form um.
Jetzt setzen wir die Koordinaten von ein.
Die Koordinaten des Schnittpunktes können wir nun berechnen, indem wir das
in die Geradengleichung übertragen:
Schritt 3
Der Abstand von zu
ergibt sich jetzt aus dem Betrag des Verbindungsvektors
.
Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:
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