Geometrie

Abstand Punkt Ebene

Du suchst nach einem einfachen Rechenweg für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene? In diesem Artikel erklären wir dir, wie du ihn mit Hilfe der Formel oder des Lotfußpunktverfahrens bestimmen kannst und zeigen dir die Rechenschritte an einer Beispielaufgabe.

Für alle audiovisuellen Lerntypen haben wir zudem ein Erklärvideo zum Abstand Punkt Ebene erstellt.

Inhaltsübersicht

Abstand Punkt Ebene einfach erklärt

Wenn du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen sollst, dann ist damit in der Regel die kürzeste Verbindung zwischen den beiden gemeint. Du erhältst sie, indem du eine Linie vom Punkt aus ziehst, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese Linie bezeichnet man auch als das, durch den Punkt gefällte, Lot. Die Länge der Strecke vom Punkt P zum Schnittpunkt S des Lotes und der Ebene ist dann genau der Abstand zwischen Punkt und Gerade \overline{PS}.

Ist ein dreidimensionaler Raum gegeben, kannst du den Abstand ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen. Möchtest du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes S, verwendest du am besten den Lösungsweg des Lotfußpunktverfahrens.

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Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene Formel

Der schnellste Rechenweg, um direkt die kürzeste Distanz zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen, ist die Abstandsformel. Der Abstand eines Punktes P (p_1 \vert p_2 \vert p_3) zu einer Ebene E beträgt:

Abstandsformel Punkt Ebene

Ebene in Normalform: E: (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}

Ebene in Koordinatenform: E: n_1 x+n_2 y+n_3 z = k

d=\frac{\vert n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 \vert}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3 ^2}}

Bei der Berechnung des Abstandes einer Ebene zu einem Punkt mit der Formel musst du diesen Schritten folgen:

Abstand berechnen
  1. Falls die Ebenengleichung in Parameterform vorliegt, bestimme den Normalenvektor (liegt die Koordinaten- oder Normalenform vor, springe direkt zu Schritt 2).
  2. Setze die passenden Werte der Ebenengleichung und des Punktes in die Formel ein.
  3. Löse die Formel und berechne den Abstand d.

Beispiel „Abstandsformel“

Wir suchen den Abstand d zwischen dem Punkt P \ (6 \vert 0 \vert 3) und der Ebene E (in Parameterform gegeben).

E: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 4 \\\ \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 4 \\\ \end{array}\right) + \phi \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \\\ \end{array}\right)

Schritt 1

Im ersten Schritt bestimmen wir den Normalenvektor der Ebenengleichung, da diese in der Aufgabenstellung in Parameterform gegeben ist. Wäre die Koordinatenform gegeben, so könnten wir einfach die andere Schreibweise der Formel nutzen und sofort losrechnen. Zur Berechnung des Normalenvektors der Ebene E stellen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren auf.

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 4 \\\ \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-1) -  4 \cdot 0 \\\ 4 \cdot 1 -  2 \cdot (-1) \\\ 2 \cdot 0 -  2 \cdot 1 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 6 \\\ -2 \\\ \end{array}\right)

Schritt 2

Wir setzen den Vektor des Punktes P, den Vektor des Aufpunkts und den Normalenvektor der Ebenengleichung in die Abstandsformel ein.

d(E, P) = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert} =\frac{ \Biggl | \Biggl[ \left( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ 3 \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 4 \\\ \end{array}\right) \Biggr] \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 6 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) \Biggl |}{\Biggl | \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 6 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) \Biggl |}

Schritt 3

Jetzt müssen wir nur noch die aufgestellte Gleichung auflösen und erhalten den Abstand von Punkt und Ebene.

d(E, P) = \frac{ \Biggl | \left( \begin{array}{c} 4 \\\ -2 \\\ -1 \\\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 6 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) \Biggl |}{\Biggl | \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 6 \\\ -2 \\\ \end{array}\right) \Biggl |} = \frac{\vert (-8) + (-12) +2 \vert}{\sqrt{(-2)^2+6^2+(-2)^2}} = \frac{9 \sqrt{11}}{11} \approx 2,71 LE

Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren

Mit dem Lotfußpunktverfahren erhalten wir neben dem Abstand auch die Koordinatenposition in der Ebene, die dem außerhalb liegenden Punkt am nächsten kommt. Als Hilfsmittel erstellen wir bei diesem Ansatz eine Gerade, die durch den Punkt verläuft und senkrecht auf der Ebene steht. Anschließend berechnen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Gerade mit der Ebene und dessen Entfernung zum untersuchten Punkt.

Abstand Punkt Ebene berechnen
  1. Stelle eine Hilfsgerade h auf, die senkrecht durch die Ebene E verläuft und den Punkt P enthält.
  2. Bestimme den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) von Hilfsgerade und Ebene.
  3. Berechne den Abstand zwischen Punkt und Ebene: d = \vert \vec{PS} \vert.
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Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren

Beispiel „Lotfußpunktverfahren“

Wir suchen wieder den Abstand d des Punktes P \ (4 \vert 2 \vert 2) von der Ebene E.

E: \Biggl[ \vec{x} - \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ -1 \\\ \end{array}\right) \Biggr] \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) = 0

Schritt 1

Im ersten Schritt müssen wir die Gleichung einer Hilfsgeraden h aufstellen, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht auf E steht. Hierzu setzen wir für die Gerade den Punkt P als Aufpunkt fest und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.

h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ 2 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right)

Schritt 2

Als nächstes bestimmen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Geraden h mit der Ebene E. Dazu setzen wir die Koordinaten von h in die Ebene ein.

Tipp 

Das Einsetzen ist deutlich leichter, wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt. Am besten wandelst du sie immer in diese Form um.

 

E: 3 x_1 + 1 x_2 + 2 x_3 - (3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1)) = 0

E: 3 x_1 + 1 x_2 + 2 x_3 = 4

Jetzt setzen wir die Koordinaten von h ein.

3 (4 + 3 \lambda) + (2+1\lambda) + 2 (2+2\lambda) = 4

14 \lambda = -14

\lambda = -1

Die Koordinaten des Schnittpunktes S können wir nun berechnen, indem wir das \lambda in die Geradengleichung übertragen:

\vec{s} = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ 2 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) =  \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)

S \ (1 \vert 1 \vert 0)

Schritt 3

Der Abstand von P zu E ergibt sich jetzt aus dem Betrag des Verbindungsvektors \vec{SP}.

\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ 2 \\\ 2 \\\ \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \\\ \end{array}\right)

d = \sqrt{3^2+1^2+2^2} = \sqrt{14} \approx 3,7 LE

Abstandsrechnungen in der Geometrie

Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:


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