Abstand Punkt Ebene
Du suchst nach einem einfachen Rechenweg für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene? In diesem Artikel erklären wir dir, wie du ihn mit Hilfe der Formel oder des Lotfußpunktverfahrens bestimmen kannst und zeigen dir die Rechenschritte an einer Beispielaufgabe.
Für alle audiovisuellen Lerntypen haben wir zudem ein Erklärvideo zum Abstand Punkt Ebene erstellt.
Abstand Punkt Ebene einfach erklärt
Wenn du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen sollst, dann ist damit in der Regel die kürzeste Verbindung zwischen den beiden gemeint. Du erhältst sie, indem du eine Linie vom Punkt aus ziehst, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese Linie bezeichnet man auch als das, durch den Punkt gefällte, Lot. Die Länge der Strecke vom Punkt 
zum Schnittpunkt 
des Lotes und der Ebene ist dann genau der Abstand zwischen Punkt und Gerade 
.
Ist ein dreidimensionaler Raum gegeben, kannst du den Abstand ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen. Möchtest du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes , verwendest du am besten den Lösungsweg des Lotfußpunktverfahrens.
Abstand Punkt Ebene Formel
Der schnellste Rechenweg, um direkt die kürzeste Distanz zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen, ist die Abstandsformel. Der Abstand eines Punktes 
zu einer Ebene 
beträgt:
Ebene in Normalform: 
![\[d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-429d624a6cf014c5d0d5eb1351ec8cfa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ebene in Koordinatenform: 
![\[d=\frac{\vert n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 \vert}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3 ^2}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1e2fda792e745387840a0c5bc75d552_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bei der Berechnung des Abstandes einer Ebene zu einem Punkt mit der Formel musst du diesen Schritten folgen:
- Falls die Ebenengleichung in Parameterform vorliegt, bestimme den Normalenvektor (liegt die Koordinaten- oder Normalenform vor, springe direkt zu Schritt 2).
- Setze die passenden Werte der Ebenengleichung und des Punktes in die Formel ein.
- Löse die Formel und berechne den Abstand
.
Beispiel „Abstandsformel“
Wir suchen den Abstand zwischen dem Punkt 
und der Ebene E (in Parameterform gegeben).
![\[E: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) + \phi \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77f42b97aaccc5fd6a1db00c03df087c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 1
Im ersten Schritt bestimmen wir den Normalenvektor der Ebenengleichung, da diese in der Aufgabenstellung in Parameterform gegeben ist. Wäre die Koordinatenform gegeben, so könnten wir einfach die andere Schreibweise der Formel nutzen und sofort losrechnen. Zur Berechnung des Normalenvektors der Ebene stellen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren auf.
![\[\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3dae3aef1b8076aeb2bfc13dc78d763_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 2
Wir setzen den Vektor des Punktes , den Vektor des Aufpunkts und den Normalenvektor der Ebenengleichung in die Abstandsformel ein.
![\[d(E, P) = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert} =\frac{ \Biggl | \Biggl[ \left( \begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \Biggr] \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right) \Biggl |}{\Biggl | \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right) \Biggl |}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ffa354e909932aceefddca104e7f5e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 3
Jetzt müssen wir nur noch die aufgestellte Gleichung auflösen und erhalten den Abstand von Punkt und Ebene.
![\[d(E, P) = \frac{ \Biggl | \left( \begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right) \Biggl |}{\Biggl | \left( \begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right) \Biggl |} = \frac{\vert (-12) + (-12) +2 \vert}{\sqrt{(-2)^2+6^2+(-2)^2}} = \sqrt{11} \approx 3,32 \;\text{LE} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-acdbb02470dd79b86f2aca6f8921445f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren
Mit dem Lotfußpunktverfahren erhalten wir neben dem Abstand auch die Koordinatenposition in der Ebene, die dem außerhalb liegenden Punkt am nächsten kommt. Als Hilfsmittel erstellen wir bei diesem Ansatz eine Gerade, die durch den Punkt verläuft und senkrecht auf der Ebene steht. Anschließend berechnen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Gerade mit der Ebene und dessen Entfernung zum untersuchten Punkt.
- Stelle eine Hilfsgerade
auf, die senkrecht durch die Ebene verläuft und den Punkt enthält. - Bestimme den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) von Hilfsgerade und Ebene.
- Berechne den Abstand zwischen Punkt und Ebene:
.
Beispiel „Lotfußpunktverfahren“
Wir suchen wieder den Abstand des Punktes 
von der Ebene E.
![\[ E: \Biggl[ \vec{x} - \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) \Biggr] \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bebbab1112d2231190db94820117523_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 1
Im ersten Schritt müssen wir die Gleichung einer Hilfsgeraden aufstellen, die durch den Punkt verläuft und senkrecht auf steht. Hierzu setzen wir für die Gerade den Punkt als Aufpunkt fest und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.
![\[ h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7dc2b21410ca60fb7465560b504e76e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 2
Als nächstes bestimmen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Geraden mit der Ebene . Dazu setzen wir die Koordinaten von in die Ebene ein.
Das Einsetzen ist deutlich leichter, wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt. Am besten wandelst du sie immer in diese Form um.
Jetzt setzen wir die Koordinaten von ein.
Die Koordinaten des Schnittpunktes können wir nun berechnen, indem wir das 
in die Geradengleichung übertragen:
![\[\vec{s} = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b00fa4ad0fe3e1208d86505eff259912_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 3
Der Abstand von zu ergibt sich jetzt aus dem Betrag des Verbindungsvektors 
.
![\[\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3f073ecfe969a705454e1c30adccf11_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ d = \sqrt{3^2+1^2+2^2} = \sqrt{14} \approx 3,7 \;\text{LE} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2e9a7ba0ae9956214582008591d7f70_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Abstandsrechnungen in der Geometrie
Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:
- Abstand zwischen zwei Punkten (Abstand zweier Punkte )
- Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Abstand Punkt Gerade )
- Abstand zwischen zwei Geraden (Abstand Gerade Gerade )
- wenn die Geraden parallel verlaufen (Abstand Gerade Gerade )
- wenn die Geraden windschief zueinander stehen (Abstand windschiefer Geraden )
